第四界数学建模网络挑战赛第二阶段特等与一等1423队题

2011年第四届“互动杯”数学中国 客机水面迫降时的姿 关键 水面迫 机翼升 粘滞阻 波浪 要姿态接触水面是相对最好的选择通过前面的讨论，我们已经知道飞机在平静水面迫降时飞机的受力情况和运动情况飞机在接触水面之前我们通过近似主要考虑了空气对机机受到的重力和水对它的粘滞阻力，进而确定它落水后的运动情况从而确定客机在河面上迫降时，以何种姿态接触水面是相对最好的选择之前讨论的是在水面平静的理想情况下的飞机迫降，我们知道水面始终保持平静是不现实的由于风对水的作用以及其他一些原因，水面上经常会产生波浪所以，我们在讨论飞机在水面迫降时就必须考虑到波浪对飞机的作用面的讨论中我们把飞机与轮船对比，同样的，在这里我们仍把飞机和轮船对比来研究波浪力对飞机的作用参考轮船在水中受波浪力的作用来研究飞机在水中受波浪力的作用利用参考文献计算得到波浪力对其进行无量纲化处理得到求得的波浪力带入之前的中计算得到飞机落水时的方向与波浪的方向之间的（填写参赛队号（填写所选题目英Indiscussingthesecurityissuesoflargeaircraftdlandingonthewater,themostimportantquestionisthathowtheaircraftlandingonthewatercanwegetthebestresults.Accordingtothepreviousdiscussion,wealreadyknowtheconditionsofdandmovementoftheaircraftwhenitbemadeadlandingincalmwater.Wehavegottheknowledgeofthemainconsiderationbytheairliftofthewingbeforetheneincontactwithwaternearly;wesimplifiedtheaircraftasacylindermodelwhenitfellintothewater.Thenwemaketheysisofit,wemainconsideratethegravityandwaterbytheaircraft'ssticktoitdelay,andtodeterminethemovementwhenitfellintothewater.Todeterminethesecurityissuesoflargeaircraftdlandingonthewater,themostimportantquestionisthathowtheaircraftlandingonthewatercanwegetthebestresults.Wehavediscussedtheissueofaircraftlandingonthecalmwatersurfaceundertheidealconditions,weknowthatwaterisalwayscalmisnotrealistic.Theroleofwaterduetowindandotherreasons,thewateroftenproducewaves.Therefore,wediscussthequestionthatwhentheaircraftmadeadlandinginthewatertobetakenintoaccounttheroleofwavesontheaircraft.Inthepreviousdiscussion,wecompareaircraftandships，herewearecomparedtoaircraftandshipstostudytheeffectofwavesontheaircraft.Referencevesselinthewaterbywavetostudytheroleofaircraftinthewaterbywaveloads.Calculatedbyreferencetothedimensionlesswavesprocessingofitstruevalueandestimatedvaluebytheratio,butalsobythemoreaccuratemeasurementdatacanbecalculatedtoobtainthewaves.Toobtainthewavescalculatedintotheformula，wecangettheanglebetweenthepropagationdirectionandthedirectionwhentheaircraftfellintothesea.二、问题分随着现代社会飞速发展，国际间的交流越来越频繁飞机逐渐成为人们生活中的不可或缺的交通工具同时，随着海域上空空间的开发，海域上空的航线在逐渐增加，如大型客机在水域上方飞行,如果出现全部发动机同时停车或者燃油耗尽的情况,必须进行水上迫降 迫降过程中,飞机会受到很大的水体冲击力,发生不同程度的破坏给乘客和机组成员的生命安全带来极大对于飞机在水面上迫降的问题首先我们应保证机体不受过大损伤主要是保证机舱里的人员安全也就是说水面对飞机的反冲力应当尽量小因此,世界各国都把水上迫降内容编制进客机的适航规范,将其作为取得适航证的一个重要条件飞机进行水上迫降,其表面压力分布冲击力运动速度和运动姿态以及水面形状等均随时间发生快速变化,是一类典型的物体高速冲击水面的问题影响规律俯仰角增加,飞机水上迫降过程中的最大纵向力单调增加,最向力、最大低头力矩和表面最大冲击压力均先增加后减小,因此该飞机适宜以较大俯仰角进行阶段达到最大值，随后迅速下降，最后保持稳定同时，随着降落速度、飞行速度和降落仰角的增大，机身压强的最大值也随之增大与降落速度和降落仰角相比，飞行速度滑平板摩擦阻力这样，当已知船飞机模型的水线长，速度，及湿表面积就可以利用平板摩擦阻力来计算飞机摩擦阻力保证乘客和机组人员的人身安全作为飞机的设计者和来说，他们的职保证飞机完整性飞机的发明和制造都需要很大的一笔花销，在以保证乘客降落速度、飞行速度和降落仰角的增大，机身压强的最大值也随之增大与降落速度和三、模型的假飞机接触水面时的竖直速度为vy四、定义与符号的说 FmFn的矢量 ML gAB v 13.Oyz K(z)zδxLC S 在该处长度为 fPk机身与波 五、模型的建立与求 假设，飞机与水平面的夹角为，飞机机身与海浪 方向夹角为 可得出以下：FmF1Pcosk （1-FnP F2(,k （1- 方向一致;F2(,k)是侧面水流对飞机侧面的水压力，是粘滞阻力系数与k首先是F1的求解在竖直方向上的运动是一个变速运动，假设在飞机接触水面时的竖直速度为

F1tMvy vyv= （1- （3（4）F1= （1-得到冲力的最小值Fmin图（一图（a）AB叫做翼弦，以机身为参考系，空气相对于飞机而流动，翼弦与气流方向的夹角叫冲角由于机翼特有的横截面形状以及微小的冲角，气流经过机翼上下两侧流动的情况不同紧靠上侧绕过机翼的气流通翼尾部形成如图（b）所示的涡旋，称启动涡旋流体最初没有角动量又未受到外力矩的作用，其角动量应守恒既然其中一部分受到涡旋，则流体的另一部分必然要沿反方向旋转，以保持总角动量守恒，这反方向的旋转便是围绕机翼的环流，如图些黏性流体问题的一种有效方法现在把机翼附面层以外流体当作没有黏性，空气低速流动时，又可将空气看作是不可压缩的，即附面层以外的空气为理想流体再假设气流12ghp相同如不考虑机翼上下的高度差，对于图（b）122221112

12

p2用表u示扰动的气流速度，并粗略认为机翼上下因环流而引起的速度的大小相等并等于v,且与气流u方向平行，由速度合成得 u v环 2uv环式中的v环与机翼的形状有关这一已表明机翼上下有压强差，足以说明升力的来下面进一步求升力表达式在机翼选取坐标系Oyzyzzzdz的元升力，现用dF图（二 ( p1) 2uv环 （1-.式中2环y是z的函数，叫做机翼z处的环流，现用 K(z)表示 K(z)=2b

（1- 0uK （1-b表示机翼长度将上式中常数ub u0K （1-b 如机翼是长为b宽为a的长方形，则上式为 ubK而

（1-（1-F吓1/2v2 （1-破碎波等各种变形后叠加而成关于大尺度结构物上的波浪荷载,现有的理论及计算方照现有的理论及计算方法计算作用在大直径薄壳圆筒上的波浪场与实际并不吻合多元线性回归分析可以研究多个变量之间的线性相关关系,而且通过相应的数学变换多元线性回归分析也可以研究多个变量之间的非线性相关关系作用在大直径薄壳圆筒上的波浪荷载显然与波浪要素及结构尺寸相关只要有大量的现场观测数据或者实验数据,我们就可以通过多元线性回归的方法对波浪荷载进行研究,而不需要考虑结构物周围的波浪形态回归分析已经被广泛应用于生产、生活及科研中,本文作者在实验的基础上,将多元线性回归分析引入波浪研究中,对作用在大直径薄壳上的波浪荷载进行了 作用于大直径薄壳圆筒上的波浪荷载的大小与多个因素有关波浪与结构相互作用破碎波等叠加而成,要考虑上述所有因素通过波浪理论来求解非常为此拟通过模型实验对于作用在结构物上的波浪力及其力矩的大量实测数据,采用多元线性回归分析方法来得到相应的简单可行的表达式,并且可以用此来验证圆柱壳结构在波浪力作1]PMH0、筒前波高H、波数k、PP0P1kdp2kap3kh0p4h0/ （2-MM0M1kdM2kaM3kh0M4h0/ （2-模型的多元指自变量有多个,即kd、ka、kh0、h0/h,而因变量P或M是 量实验测得的各变量的值Pi、Mi、kidi、kiai、kih0i、h0i/hi为变量P、Mkdkakh0h0h及其弯矩ML对其进行无量

M MM 方程(2-1)、(2-2)是 的平面,称为P、M对kd、ka、kh0h0h的回归平面,

Pjj0,1234)其中P0是写,以下将Pj变为j)

（2

0(j0,1,2,3,

（2- n

kd

kakhh/h 1i

i

i

i

kd(kd)2

k2adk2hdkd(h/h)k

0i ii i

i

i

i

ii Fiii kdk2da(ka)k2haka /h)k

i

i i

0i

i

ii Fiii k k2d k2a (kh)kh /h)k0i 1 i 2 i i i

i0i 4i0i Fii0ii1 0(h0i/hi)1kidi(h0i/hi)2kiai(h0i/hi)3kih0i(h0i/hi)4(h0i/hi

(h/h i

（2-2-5)j

0,1,2,3,4)的最小二乘估计j( kkk22kkk222

1X

h03/h3 Yy3 2 • • 3 h0n/hn 2-5)n汕

kBXTY

·kndn Fii • y3 汕kan

Fiih/ h/ · /h n

汕Fi(h0ihi ·h01/h1k k k k · /hAXTX 1 nn 2

•＾ ＾h/

/

· /h k ·

/h

n

2-5)AXTXX

(2-＾最小二乘估计＾(XTX)1X＾＾ ＾

(2- P0P1kdP2kaP3h0P4h0/ (2- M0M1kdM2kaM3h0M4h0/ (2-对于P、M、kd、ka、kh0、h0/h线性相关显著性检验可以通过两个统计指标来实施,即样本复相关系数R和服从自由度为(k,n-k-1)的F分 中k表示参变量个数,n表示样本总数仍然以波浪力为例:现分别记S= ()2 i S=区 )2，S=区 R

Q意义相同),且STSR由STSRSE来构造回归方程的显著性检验统计量其中样本复相关系数R=SR

当R1另外服从自由度为（k， SRSRSE

F

（2-对于给定的相关水平,可以求得与自由度（k， 1）相关的临界值入[4],（邱大洪，《波浪=p=MMMF2(,k向的合力便是飞机摩擦阻力另外由于水具有粘性，旋涡处的水压力下降，从而改变了沿飞机表面的压力分布情况，这种由粘性引起飞机前后压力不平衡而产生粘压阻力因由于飞机形状比较复杂，目前用理论精确计算飞机的摩擦阻力尚不能付诸工程实用为此船舶工程中仍不得不沿用傅汝德相当平板假定即飞机的摩擦阻力与同速度、同长度、同湿面积的平板摩擦阻力相等这一假定是计算飞机摩擦阻力的基础由于飞机在水中的运动与船类似可以利用这一假设来计算飞机在水里运动时到摩擦阻力 流xδ流xδ 置— 图5平板边界平故平板表面处的水质点均被吸附在平板上，平板表面上流速为零随着与平板表面距离yyδ在相应平板各处距离为δ的点，可连成一界面，此界面称为界层边界该处与板面的距离作为界层厚度值根据实验测定，影响边界层厚度的主要因素是流速xν为层流而在平板后部，水质点互相碰撞，运动方向极不规则，但其平均速度还是沿平板方向前进，界层厚度沿板长方向的增长较层流情况为快，这种流动称为紊流(又称湍流)实际上在层流和紊流之间还有一段过渡状态称为过渡流或变流，如图2-2所示 6x层流状态：Re＜(3.5~5.0)×105xx(3.5~5.0)×105＜Rexx湍流状态：Rex1xδ=5.2Re2 (3-x

δ (3- 飞机表面是个三维曲面，水流经过时，也会产生边界层由于飞机表面纵向和横向曲率的影响，飞机周围的三维边界层与平板的二维边界层有明显的不同其主要差别在假定，机翼边界以内纵向压力处处相等，而飞机边界层内则存在纵向压力梯度即首部压力高，中部较低而尾部又相应有所升高由于流体的粘性作用，在这种纵向压力分布情况下，不管尾部是否出现界层分离，均使尾部的压力较首部压力有所下降因而飞机相比亦存在差异但是飞机摩擦阻力的成因、特性与平板情况基本相同，因此飞机摩擦物体的边界层问题仍然是十分的因此，目前计算飞机摩擦阻力均不得不以光滑平板摩擦阻力系数为基础先介绍一下光滑平板摩擦阻力系数计算，然后说明飞fRf

1.328Re (3-ρυ22船工程实际，因其对应的雷诺数范围为：Re＜(3.5~5.0)×105一般船舶的雷诺数在yδoδ设δ为距平板前端x处的界层厚度，根据牛顿第二定律，作用在平板上的摩擦阻力等于单位时间内的动量损失而动量损失率等于单位时间内在xdy与速度损失(υ-u)的乘积所以由平板前端至x处一段内单位宽度平板的摩擦阻力为：δ ρudy(υ (3- 这里υ为边界层外的速度，ux 0τd (3-xτρdδu(υu)d (3-dx τρυ2dδu(1u)ddx0 τρυ2d (3-dθδu(1udy0 Lx0θ0；xL时，θR Lρυ2dθdxρυ2θdθρυ2

L d

(3- 2 ρυL2由此可见，如能确定边界层内的速度分布，则平板紊流摩擦阻力即可导出通常在运用动量积分方程解决界层问题时，界层内的速度分布情况是假定的由于所假定的速度分布形式不同，导出的光滑平板紊流阻力系数计算也不相同，由于飞机在从可以把这个过程中的速度分布看成指数分布速度为指数分布的计算方法如下：u(y

(3- 根据边界层的实验结果，对于不同的雷诺数，nRe＜2×107时，n7，1Cf=0.072/

(3- Re1/

(3-在“相当平板”假定的前提下，应用平板摩擦阻力来计算飞机的摩擦阻力面积S就可以利用平板摩擦阻力来计算飞机摩擦阻力

LW1，速度Vs，及湿实践证明，飞机表面粗糙度对摩擦阻力的影响是很显著的对飞机阻力来说，由于R(CΔC)1ρυ2 （3- (1)围长l，并沿船长方向积分即得： 02ld （3-必进行纵向斜度的修正其理由如下：ddRfαdd某点处的 部摩擦阻力系数C，在该处 度为dL'的微面积 图8飞机湿表面面积的计 为dRC1ρυ22ld

（3- 11 11 L dRcosαL

C

2ldLcosα

C2ldL

ρυC （3-

其中，湿面积S系按(24f，F2=Rf （3-Rf是上式的飞机在水中的摩擦力，为飞机的仰角四求解Fmn标，即飞机外壁所受压力最小换句话说，就是飞机所受总的压力的一次求导为零，由FF2F （4-我们先把函数看作是k的函数,F对kFmn k先将式下展开化简

F2F2F F2F2P2tan2cos22PFtancosP2sin2coscos2PFtan2F m根据以上F的值式下可看为cosk的一元二次方程，在第一段问题中，我们知道mFmnF'

<0, F所以，我们求出的cosk

coskk

P(tan2