2023年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第61讲离散型随机变量及其分布列实战演练理

PAGEPAGE32022年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布第61讲离散型随机变量及其分布列实战演练理1．(2022·全国卷Ⅰ)某公司方案购置2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件缺乏再购置，那么每个500元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购置2台机器的同时购置的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)假设要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购置易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解析：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购置易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.2．(2022·四川卷)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．解析：(1)由题意，知参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).所以X的分布列为Y123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)因此，X的数学期望为E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.3．(2022·陕西卷)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T/分钟25303540频数/次20304010(1)求T的分布列与数学期望E(T)；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．解析：(1)由统计结果可得T的频率分布为T/分钟25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)＝25×0.2＋30×0.3＋35×0.4＋40×0.1＝32(分钟)．(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟〞，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟〞．P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.4．(2022·天津卷改编)为推动乒乓球运动的开展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加．现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手2名；乙协会的运发动5名，其中种子选手3名．从这8名运发动中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会〞，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．解析：(1)由，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A发生的概率为eq\f(6,35).(2)随机变量X的所有可能取值