2023届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题五解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质课时作业理

PAGEPAGE62022届高考数学二轮复习第一局部专题篇专题五解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质课时作业理1．双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率等于eq\f(\r(3),3)b，那么该双曲线的焦距为()A．2eq\r(5) B．2eq\r(6)C．6 D．8解析：设双曲线的焦距为2c.由得eq\f(c,2)＝eq\f(\r(3),3)b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，那么该双曲线的焦距为8.答案：D2．(2022·高考全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，那么k＝()A.eq\f(1,2) B．1C.eq\f(3,2) D．2解析：根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF⊥x轴，知点P，F的横坐标相等，再根据点P在曲线y＝eq\f(k,x)上求出k.∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝eq\f(k,x)(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)得k＝2.应选D.答案：D3．(2022·湖南模拟)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1、F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，那么此双曲线的方程为()A.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 B.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1 D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1解析：由可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，那么半径r＝eq\r(32＋42)＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝eq\f(b,a)x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，应选C.答案：C4．(2022·广东五校联考)双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，那么该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()A.eq\r(5) B．4eq\r(2)C．3 D．5解析：由题易得抛物线的焦点为(3,0)，∴双曲线的右焦点为(3,0)，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，∴双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(\r(5),2)x，即eq\r(5)x－2y＝0，∴所求距离为d＝eq\f(|3\r(5)|,\r(5＋4))＝eq\r(5).答案：A5．(2022·高考全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，那么C的焦点到准线的距离为()A．2 B．4C．6 D．8解析：设出抛物线和圆的方程，将点的坐标代入，联立方程组求解．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴不妨设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5))).∵点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圆x2＋y2＝r2上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(16,p2)＋8＝r2，,\f(p2,4)＋5＝r2，))∴eq\f(16,p2)＋8＝eq\f(p2,4)＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.答案：B6．(2022·郑州模拟)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，假设△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，那么椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2) B．2－eq\r(3)C.eq\r(5)－2 D.eq\r(6)－eq\r(3)解析：设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，假设△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，那么|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝eq\r(2)m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋eq\r(2)m，即m＝(4－2eq\r(2))a，那么|AF2|＝2a－m＝(2eq\r(2)－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－eq\r(2))2a2＋4(eq\r(2)－1)2a2，即有c2＝(9－6eq\r(2))a2，即c＝(eq\r(6)－eq\r(3))a，即e＝eq\f(c,a)＝eq\r(6)－eq\r(3)，应选D.答案：D7．(2022·西安模拟)过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，那么|AB|＝________.解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，将x＝2代入y＝±eq\r(3)x，得y＝±2eq\r(3)，∴|AB|＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)8．(2022·高考北京卷)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．假设正方形OABC的边长为2，那么a＝________.解析：根据图形分析出半焦距长、实半轴长与虚半轴长之间的关系，进而求解．不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，那么双曲线如下图．∵四边形OABC为正方形，|OA|＝2，∴c＝|OB|＝2eq\r(2)，∠AOB＝eq\f(π,4).∵直线OA是渐近线，方程为y＝eq\f(b,a)x，∴eq\f(b,a)＝tan∠AOB＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案：29.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上横坐标为eq\f(1,2)的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．(1)求抛物线的方程；(2)设过点P(6,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，假设以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．解析：(1)由题意知eq\f(1,2)＋eq\f(p,2)＝eq\r(\f(1,4)＋p)，解得p＝2或p＝0(舍去)．∴抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意可知，直线l不垂直于y轴，可设直线l：x＝my＋6，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋6，))可得y2－4my－24＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝4m，,y1y2＝－24.))∵以AB为直径的圆过点F，∴FA⊥FB，即eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝0.可得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋5m(y1＋y2)＋25＝－24(1＋m2)＋20解得m＝±eq\f(1,2)，∴直线l的方程为x＝±eq\f(1,2)y＋6，即2x±y－12＝0.10.如图，椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→)).(1)求椭圆E的离心率；(2)假设点P为椭圆上的一个动点，且△PAB面积的最大值为eq\f(2\r(3)＋2,3)，求椭圆E的方程．解析：(1)∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝3eq\o(FA,\s\up6(→))，B(0，－b)，F(c,0)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)c，\f(1,3)b)).代入椭圆方程可得eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4c,3)))2,a2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,3)))2,b2)＝1，得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，即离心率e＝eq\f(\r(2),2).(2)由(1)可得a＝eq\r(2)c，b＝c，可得kAB＝1，所以直线AB的方程为y＝x－c.可得点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)c，\f(1,3)c))，B(0，－c)，|AB|＝eq\f(4\r(2),3)c.当△PAB面积取最大值时，动点P离直线AB的距离最远．设直线l：y＝x＋m(m>0)为椭圆E的一条切线，且l∥AB.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,2c2)＋\f(y2,c2)＝1))⇒3x2＋4mx＋2m2－2c2＝0，由Δ＝0⇒m＝eq\r(3)c.故l：y＝x＋eq\r(3)c，此时直线l与直线AB之间的距离d，即为动点P到直线AB的最远距离．又直线AB的方程为y＝x－c，由两平行线间距离公式得d＝eq\f(\r(3)＋1c,\r(2)).此时S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)·eq\f(4\r(2),3)c·eq\f(\r(3)＋1c,\r(2))＝eq\f(2\r(3)＋2,3)c2＝eq\f(2\r(3)＋2,3)，所以c＝1，a＝eq\r(2)，b＝1，因此椭圆E的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.11．(2022·昆明模拟)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝eq\f(1,2)，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2eq\r(3).(1)求椭圆的方程；(2)假设过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0时，求点P的坐标．解析：(1)由题意可知e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,2)×2ab＝2eq\r(3)，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝eq\r(3)，所以椭圆方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，所以2＋x1＝eq\f(16k2,3＋4k2)⇒x1＝eq\f(8k2－6,3＋4k2)，那么Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2－6,3＋4k2)，\f(－12k,3＋4k2)))，所以BD中点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8k2,3＋4k2)，\f(－6k,3＋4k2)))，那么直线BD的垂直平分线方程为y－eq\f(－6k,3＋4k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8k2,3＋4k2)))，得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2k,3＋4k2))).又eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0