初三数学二次函数解析式的求解

【基础知识】

知识点一二次函数的定义（基础）

考点分析：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式例1、下列函数中，是二次函数的是.

①y=x2－4x+1；②y=2x2；

③y=2x2+4x；④y=－3x；

⑤y=－2x－1；

⑥y=mx2

+nx+p；⑦y=(4,x)；⑧y=－5x。

例2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2体所经过的路程为。

+2t，则t＝4秒时，该物

例3、若函数y=(m2

+2m－7)x2

+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。

知识点二二次函数的对称轴、顶点、最值

应对方法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c则最值为4ac-b2

4a

例1．抛物线y=2x2

+4x+m2

－m经过坐标原点，则m的值为。

例2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝.

例3．抛物线y＝x

2＋3x的顶点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

例4．已知抛物线y＝x

2

1

＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_.4

例5．若二次函数y=3x

2

+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。

例6．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn物线的开口________.。

＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛

例7．已知二次函数y=x

2－4x+m－3的最小值为3，则m＝。

知识点三函数y=ax

2

+bx+c的图象和性质

出题分析：抛物线、对称轴、开口、顶点坐标

例1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。

2

例2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。

例3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式。

例4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：

11

（1）y=x2－2x+1；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－x2+x－4

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知识点四二次函数的增减性

方法：看图形，抛物线上升则为增，抛物线下降则为减（解题画草图、找顶点）

例1.二次函数y=3x

x=1时，函数有最

2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y随x的增大而；当值是。

例2.已知函数y=4x2－mx+5，当x>－2时,y随x的增大而增大；当x<－2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为。

例3.已知二次函数y=x2

－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是.

15

例4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x,y),B(x,y),C(x,y)且3<x<x<x，则y,y,y的

112233123123

大小关系为.

知识点五二次函数的平移

做题技法：只要两个函数的a相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x－

h)2

+k，平移规律：左加右减，对x；上加下减，直接加减

3

例1.抛物线y=－x2

2

向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为。

例2.抛物线y=2x2，，可以得到y=2(x+4}2－3。

例3.将抛物线y=x

2

+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式

为。

知识点六函数的图象特征与a、b、c的关系

技巧：a决定开口方向，b的值决定对称轴，c的值决定抛物线与y轴的交点

例1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（）

A.a>0,b>0,c>0

C.a>0,b<0,c=0

B.a>0,b>0,c=0

D.a>0,b<0,c<0

例2.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：

①c>0；②a+b+c>0为（）

③a-b+c>0④b2

-4ac<0⑤abc<0；其中正确的

A．①②

B．①④C．①②③D．①③⑤

例3.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax

2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）

知识点七二次函数与x轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）

技巧：对于二次函数y=ax2

+bx+c，△=b24ac

①

eq\o\ac(△,0)

＞，二次函数与x轴有两个交点；

②△=0，二次函数与x轴有一个交点，而且交点就是二次函数的顶点；③△＜0，二次函数与x轴没有交点。

例1、如果二次函数y＝x

（写一个即可）

2

＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝

例2、二次函数y＝x

2

-2x-3图象与x轴交点之间的距离为

例3、抛物线y＝－3x

2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是()

A.没有交点B.只有一个交点C.有两个交点D.有三个交点

例4、若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m的取值范围是

知识点八函数解析式的求法

1、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；

例1、已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式

y=a(x－h)2

+k求解。

例2、已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

3、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x)(x－x)。

12

例3、二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

知识点九二次函数应用

1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价

格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.

(1)试求y与x的之间的关系式.

(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

巩固练习：

二次函数的定义

1、若函数y=(m－2)xm－2+5x+1是关于

x

的二次函数，则m的值为。

二次函数的对称轴、顶点、最值

2．抛物线y=x2

+2x－3的对称轴是。

3．已知二次函数y=x2

－2ax+2a+3，当a=

时，该函数y的最小值为0.

4．已知二次函数y=mx2

+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝______

二次函数的平移、增减性、图象

5.如果将抛物线y=2x2

－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。

6.将抛物线y=ax2

+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x

2－4x－1则

a＝，b＝，c＝.

7.将抛物线y＝ax2

向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后

的抛物线的关系式为_.

8.把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

9.已知函数y=4x2

－mx+5，当x>－2时,y随x的增大而增大；当x<－2时，y随x的增大而减少；则x

＝1时,y的值为。

10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（）

A．a+b+c>0

C．a-b+c>0

二次函数与x轴、y轴的交点

B．b>-2a

D．c<0

1.

已知抛物线y＝x

2

-2x-8，

（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；

（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，且它的顶点为P，

eq\o\ac(△,求)

ABP的面积。

函数解析式的求法

2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。

4．抛物线y=2x2+bx+c与x轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式。

5．若抛物线y=ax

2

+bx+c的顶点坐标为（1，3），且与y