半导体物理3教学课件

半导体物理光电工程学院微电子教学部冯世娟fengsj@2023/3/11第三章半导体中载流子的统计分布引言

半导体的电导率直接依赖于导带电子和价带空穴的多少，因此电子在各个能级上如何分布是个根本问题。

前面我们提到半导体是热敏的。这是因为在平衡时，半导体中的载流子是由热激发产生的。处于低能级上的电子，如价带电子，可以从晶格的热振动或晶体中的热辐射获得能量，跃迁到高能态导带中去。温度愈高，热激发愈频繁，因此载流子的多少与温度有密切联系。这一章就是要讨论在包括有杂质存在的半导体中载流子的数目及其随温度的变化。2023/3/12引言热平衡和热平衡载流子本征激发：电子+空穴杂质电离：电子or空穴同时，电子可以从高能量的量子态跃迁到低能量的量子态，并向晶格放出一定的能量，从而使导带中的电子和价带中的空穴不断减少。这一过程称为载流子的复合。在一定温度下，载流子的产生和复合将达到动态平衡——热平衡状态。这时，半导体中的导电电子浓度和空穴浓度都保持一个稳定的数值，这种处于热平衡状态下的导电电子和空穴称为热平衡载流子。2023/3/13引言2023/3/14引言解决问题的思路：热平衡是一种动态平衡，载流子在各个能级之间跃迁，但它们在每个能级上出现的几率是不同的。要讨论热平衡载流子的统计分布，首先要解决下述问题：1）载流子在允许的量子态上的分布函数（几率函数）2）允许的量子态按能量如何分布——能量状态密度g（E）2023/3/15第三章半导体中载流子的统计分布3.1状态密度3.2费米能级和载流子的统计分布3.3本征半导体的载流子浓度3.4杂质半导体的载流子浓度3.5一般情况下的载流子统计分布（自学）3.6简并半导体2023/3/163.1状态密度1.三维情况下的自由电子气（复习）三维情况下自由粒子的运动遵循薛定谔方程考虑在边长L的立方体中的电子要求波函数是x、y、z的周期函数，周期为Lk的分量是这个问题的量子数，此外，还要考虑自旋方向的量子数。2023/3/173.1状态密度三维情况下电子每个允许状态可以表示为k空间中一个球内的点，它对应自旋相反的两个电子，二者的能量相同。波矢分量kx、ky、kz量子化的结果是：k空间中每个最小允许体积元是(1/L)3，即这个体积中指存在一个允许的波矢（电子态），由一组三重量子数kx、ky、kz决定。考虑自旋，k空间的态密度为k空间中，电子态是均匀分布的。2023/3/183.1状态密度2.

状态密度的定义单位能量间隔内的状态数目k空间考虑自旋后的态密度为按能量分布的状态密度能量变化dEk状态变化dkk空间体积的变化dΩ*状态数的变化dZE-k关系2023/3/193.1状态密度例子：球形等能面导带的E-k关系球形等能面方程球体的体积当E→E+dE时，球体的半径k→k+dk球体体积Ω*→Ω*+dΩ*状态数Z→Z+dZ2023/3/1103.1状态密度导带中单位能量间隔的状态数——状态密度2023/3/1113.1状态密度价带中单位能量间隔的状态数特点：状态密度与能量呈抛物线关系有效质量越大，状态密度也越大仅适用于能带极值附近2023/3/1123.1状态密度椭球等能面（导带）实际半导体中，导带存在多个极值2023/3/1133.1状态密度考虑到Si、Ge的导带底存在s个极值导带底电子状态密度有效质量2023/3/1143.1状态密度Si、Ge的价带顶，处于k=0处，等能面为球面，有两支，一为重空穴

一为轻空穴价带的总状态密度价带顶空穴状态密度有效质量2023/3/1153.1状态密度一维三维二维2023/3/1163.2费米能级和载流子的统计分布1.费米分布函数f（E）能量为E的一个量子态被一个电子占据的几率为EF——费米能级（化学势）热平衡系统具有统一的化学势统一的费米能级决定EF的条件：2023/3/1173.2费米能级和载流子的统计分布费米分布函数的性质费米能级的意义：标志了某能级被电子占据的水平2023/3/1183.2费米能级和载流子的统计分布费米分布函数中，若E-EF>>k0T，则分母中的1可以忽略，此时玻尔兹曼分布函数2023/3/1193.2费米能级和载流子的统计分布费米—狄拉克统计只容许每个量子态最多被1个电子占据（每个能级最多被2个自旋相反的电子占据——泡利不相容原理）。在f~0的情况下，这种限制所带来的影响将是很小的。因此费米分布和玻尔兹曼分布趋于一致。服从玻尔兹曼分布的电子系统——非简并系统相应的半导体——非简并半导体服从费米分布的电子系统——简并系统相应的半导体——简并半导体2023/3/1203.2费米能级和载流子的统计分布电子的费米分布函数空穴的费米分布函数电子的玻尔兹曼分布函数空穴的玻尔兹曼分布函数2023/3/1213.2费米能级和载流子的统计分布在多数情形下，半导体中的EF在离开带边若干k0T的禁带中。这时，导带能级被电子占据的几率很小，价带能级被空穴占据的几率也是很小的。电子和空穴的多少显然依赖于费米能级的位置。费米能级愈靠近导带，则导带中电子浓度愈高，半导体表现为n型；反之，当费米能级靠近价带时，则表现为p型。2023/3/1223.2费米能级和载流子的统计分布2.导带电子和价带空穴浓度导带电子浓度导带中的电子数目导带中电子浓度设EC-EF>>k0T，则可采用下列近似

采用玻尔兹曼分布函数

gc适用整个导带

积分上限改为∞2023/3/1233.2费米能级和载流子的统计分布2023/3/1243.2费米能级和载流子的统计分布定义：导带有效状态密度热平衡下，导带电子浓度不是一个常数，而是温度的函数2023/3/1253.2费米能级和载流子的统计分布价带空穴浓度价带有效状态密度2023/3/1263.2费米能级和载流子的统计分布3.载流子浓度的乘积只与mn*、mp*、Eg和T有关，与EF和掺杂浓度无关。材料参数无论本征半导体，还是杂质半导体，只要是热平衡下的非简并半导体，都适用。2023/3/1273.2费米能级和载流子的统计分布两个结论：1.当材料一定时，n0、p0随EF和T而变化；2.当温度T一定时，n0×p0仅仅与材料相关。2023/3/1283.3本征半导体的载流子浓度1.本征载流子浓度ni没有杂质、没有缺陷的半导体，其费米能级和载流子浓度只由材料的本征性质决定，故称为本征半导体。本征半导体的电中性条件将Nc、Nv代入2023/3/1293.3本征半导体的载流子浓度ni与禁带宽度Egni与温度T测量值2023/3/1303.3本征半导体的载流子浓度注意：对于某种特定半导体，T确定，ni也确定。室温下：斜率极限工作温度Si：520KGe：320KGaAs：720K“高温”半导体2023/3/1313.3本征半导体的载流子浓度本征载流子浓度的意义可作为判断半导体材料的热平衡条件。当半导体处于热平衡时，载流子浓度的乘积n0×p0保持恒定，如果电子的浓度增加，则空穴的浓度要减少；反之亦然。

——针对非简并半导体而言因此，若已知ni和一种载流子浓度，则可根据上式求出另一种载流子浓度。2023/3/1323.3本征半导体的载流子浓度2.

本征半导体费米能级的位置由电中性条件本征半导体的费米能级Ei基本位于禁带中线处2023/3/1333.3本征半导体的载流子浓度本征费米能级位于禁带中线处，满足n0＝p0的关系。但是由于导带有效状态密度Nc和价带有效状态密度Nv中分别含有电子状态密度有效质量mdn和价带空穴状态密度有效质量mdp。由于两者数值上的差异，使本征半导体的费米能级偏离禁带中央。如果费米能级偏离禁带中线很小，可以认为费米能级基本上位于禁带中央。2023/3/1343.4杂质半导体的载流子浓度1.

杂质能级上的电子和空穴杂质能级的分布函数：电子或空穴占据杂质能级的几率能带中的能级——可以容纳2个电子杂质能级——只可以容纳1个电子↑↓↑↓全空↑↓全空2023/3/1353.4杂质半导体的载流子浓度可以证明见补充材料：电子占据杂质能级的几率(1)电子占据施主能级的几率讨论：1°当ED>>EF时，fD(E)→0

2°当ED<<EF时，fD(E)→13°当ED=EF时，fD(E)=2/3(2)空穴占据受主能级的几率E-EFED-EF2023/3/1363.4杂质半导体的载流子浓度电子占据杂质能级的几率*杂质能级最多只能容纳某个自旋相反的电子gD和gA分别是施主和受主的基态简并度2023/3/1373.4杂质半导体的载流子浓度请分别说明施主和受主杂质能级位于费米能级之上、之下和等于费米能级时的杂质电离情况施主：杂质能级位于费米能级之上全电离杂质能级位于费米能级之下几乎不电离杂质能级等于费米能级1/3电离受主：杂质能级位于费米能级之上几乎不电离杂质能级位于费米能级之下全电离杂质能级等于费米能级1/3电离2023/3/1383.4杂质半导体的载流子浓度几个概念施主能级上的电子浓度nD电离的施主浓度nD+（未电离的施主浓度）受主能级上的空穴浓度pA电离的受主浓度pA-（未电离的受主浓度）2023/3/1393.4杂质半导体的载流子浓度2.单一杂质半导体中的载流子浓度以n型半导体为例电中性条件和EF假设只含一种杂质，杂质浓度为ND，施主能级为ED。在热平衡条件下，半导体是电中性的：导带电子浓度价带空穴浓度电离施主浓度总的负电荷浓度总的正电荷浓度只要T确定，EF就能确定，n0、p0随即确定2023/3/1403.4杂质半导体的载流子浓度分不同温区进行讨论(1)低温弱电离区≈02023/3/1413.4杂质半导体的载流子浓度(2)中等电离区=χ22023/3/1423.4杂质半导体的载流子浓度讨论：→0时，低温弱电离区>>1时，强电离区(3)强电离区电中性方程χχ2023/3/1433.4杂质半导体的载流子浓度注意a低温弱电离区强电离区EF在ED上EF在ED下当EF=ED，1/3的杂质电离2023/3/1443.4杂质半导体的载流子浓度注意b弱电离与强电离的区分决定因素杂质电离能杂质浓度温度一般认为：室温下杂质全部电离2023/3/1453.4杂质半导体的载流子浓度(4)过渡区（强电离区→本征激发区）此时需要考虑本征激发电中性条件EF！2023/3/1463.4杂质半导体的载流子浓度n0、p0的另一种表达双曲正弦函数2023/3/1473.4杂质半导体的载流子浓度讨论更接近强电离区更接近本征区2023/3/1483.4杂质半导体的载流子浓度(5)高温本征激发区在此温度下，和本征半导体的情况类似2023/3/1493.4杂质半导体的载流子浓度小结（对于n型半导体）——EF随T的变化2023/3/1503.4杂质半导体的载流子浓度小结——电子浓度n0随T的变化2023/3/1513.4杂质半导体的载流子浓度小结——EF随ND的变化以室温为例，此时杂质几乎全部电离EF——反映半导体的导电类型和掺杂水平ND高强n型NA低弱p型NA高强p型ND低弱n型本征高度补偿2023/3/1523.4杂质半导体的载流子浓度3.少数载流子浓度多数载流子少数载流子n型半导体电子空穴p型半导体空穴电子2023/3/1533.4杂质半导体的载流子浓度与杂质浓度的关系与温度的关系2023/3/1543.4杂质半导体的载流子浓度基本要求能够写出只掺杂一种杂质的半导体的电中性方程能够熟练计算室温下的载流子浓度和费米能级在掺杂浓度一定的情况下，能够解释费米能级、多子浓度随温度的变化关系2023/3/1553.4杂质半导体的载流子浓度例题1室温下,已知硅的p0=0.5×1010cm-3，其Eg=1.12eV，Nc=Nv=1019cm-3，求:

(1)电子浓度n0；

(2)EF的位置；

(3)该半导体的类型。2023/3/1563.4杂质半导体的载流子浓度例题2

若两块Si样品中的电子浓度分别为2.25×1010cm-3和6.8×1016cm-3，试分别求出其中的空穴的浓度和费米能级的相对位置，并判断样品的导电类型。(假定为室温)2023/3/1573.4杂质半导体的载流子浓度例题3证明n型半导体的EF大于本征半导体的Ei。2023/3/1583.4杂质半导体的载流子浓度例题4如果半导体只含有浓度为ND的施主，当温度升高到

求证，费米能量EF具有最大值

2023/3/1593.4杂质半导体的载流子浓度例题5若Si中的ND＝1×1017cm-3，△ED＝0.012eV，求施主杂质3/4电离时所需的温度。2023/3/1603.4杂质半导体的载流子浓度根据具体条件，写出电中性方程代入相应的公式求解费米能级和载流子浓度其他相关参数（如温度）2023/3/1613.4杂质半导体的载流子浓度作业：P81:1、2、7、15、18补充1：设二维正方格子的晶格常数为a，若电子能量为：E(k)=h2(kx2+ky2)

/2mn*，求状态密度。补充2：三块硅材料，室温下（300K）空穴浓度分别为：p01=2.25×1016cm-3，p02=1.5×1010cm-3，p03=2.25×104cm-3。(1)

求三者的电子浓度n01，n02，n03；(2)

判断三者的类型；

(3)计算三者的EF位置。

2023/3/1623.5一般情况下的载流子统计分布自学：p70-7410-15min主要内容：电中性方程的一般形式用解析法求解载流子浓度及费米能级2023/3/1633.5一般情况下的载流子统计分布1.两种杂质情况以ND>NA为例电中性条件分温区进行讨论仅EF和T未知2023/3/1643.5一般情况下的载流子统计分布(1)低温弱电离区∵ND>NA受主杂质全电离n型半导体同时，极低温度下，施主杂质不能完全电离，所以EF位于ED上下。分情况讨论2023/3/1653.5一般情况下的载流子统计分布(1)低温弱电离区a.极低温度下此时2023/3/1663.5一般情况下的载流子统计分布(1)低温弱电离区b.温度升高此时(类似于单一杂质情况)2023/3/1673.5一般情况下的载流子统计分布综上所述，对于ND>>NA的情形，载流子浓度(取对数坐标)对1／T的曲线将出现斜率不同的两个区域，低温下的斜率为较高温度下斜率的两倍．发生转折的电子浓度应为受主浓度。掺杂浓度为7.41014cm-3的p型Si的实际测量结果。由发生转折的空穴浓度可以定出其中所含施主浓度约为1011cm-3。2023/3/1683.5一般情况下的载流子统计分布(1)低温弱电离区c.一般情形2023/3/1693.5一般情况下的载流子统计分布(2)强电离区即需要考虑杂质的补偿作用(3)过渡区2023/3/1703.5一般情况下的载流子统计分布(4)高温本征激发区此时和本征半导体相同注意：少数载流子浓度仍然为非简并系统的热平衡状态2023/3/1713.5一般情况下的载流子统计分布2.多种施主、受主并存基本要求1）掌握半导体同时含有施主杂质和受主杂质情况下电中性方程的一般表达式。2）能较熟练地分析和计算补偿型半导体的载流子浓度和费米能级（强电离区）2023/3/1723.5一般情况下的载流子统计分布小结请同学们自己总结掺杂半导体，在各温区下的电中性方程！电中性方程低温弱电离区强电离区过渡区高温本征激发本征n型p型ND>NA2023/3/1733.6简并半导体1.简并的出现以掺某种n型杂质为例，在室温下，处于强电离区此时，当玻尔兹曼统计不再适用~1必须考虑泡里不相容原理，采用费米统计分布——载流子的简并化简并半导体2023/3/1743.6简并半导体2.简并半导体的载流子浓度仍以掺某种n型杂质为例费米积分!!!2023/3/1753.6简并半导体3.简并化条件非简并与简并情况下的相对误差则，相对误差非简并简并弱简并2023/3/1763.6简并半导体简并化条件n型p型2023/3/1773.6简并半导体简并临界浓度的估算2023/3/1783.6简并半导体一般来说，半导体发生简并时，掺杂浓度接近或大于导带底有效状态密度Nc（价带顶有效状态密度Nv）。对于杂质电离能小的杂质（容易电离），则杂质浓度较小时就会发生简并（容易简并化）。对于不同种类的半导体，因导带底有效状态密度和价带顶有效密度各不相同。一般规律是有效状态密度小的材料，其发生简并的杂质浓度较小。2023/3/1793.6简并半导体简并浓度的正式计算强简并条件注意：Nc与温度有关2023/3/1803.6简并半导体4.简并时杂质的电离情况非简并时，室温下，通常EF<ED，nD+≈ND简并时，EF≥EC，则nD+<ND简并时，杂质不能充分电离简并半导体电子浓度较高，费米能级远在施主能级之上，使施主