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第十讲

数值积分1第1页第1页第十讲主要知识点求积公式、代数精度概念牛顿－柯特斯公式、复化求积公式、龙贝格公式、高斯型求积公式*各种求积公式代数精度2第2页第2页引言依据微积分基本定理,只要找到被积函数原函数，，便有牛顿-莱伯公式

由于大量被积函数找不到用初等函数表示原函数，而试验测量或数值计算给出通常是一张函数表，因此牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接利用。因此有必要研究积分数值计算问题。3第3页第3页数值求积基本思想依据积分中值定理，就是说，底为而高为矩形面积恰恰等于所求曲边梯形面积。

取内若干个节点处高度，通过加权平均办法生成平均高度，这类求积公式称机械求积公式：

式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点权。4第4页第4页定积分思想

1.求积公式普通形式我们知道，定积分是求和式极限即。它几何意义是曲边梯形面积。从定义可知，定积分基本分析办法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分准确值。5第5页第5页矩形公式将被积函数在a处泰勒展开，在x、a之间，在上连续，而在上不变号（非负），由积分中值定理知于是有．

两端积分注意右端第二项，设式称为左矩形公式，其余项为，6第6页第6页矩形公式(续)或者写为同理，有右矩形公式和中矩形公式7第7页第7页插值型求积公式由插值理论可知，任一函数给定一组节点后，可用一n次多项式对其插值，即因此当为拉格朗日插值多项式时，即则，

8第8页第8页插值型求积公式(续)其中通常称公式为插值型求积公式。9第9页第9页代数精度概念数值求积方法是近似方法，为确保精度，自然希望所提供求积公式对于“尽也许多”函数是准确。假如机械求积公式对均能准确成立但对不准确，则称机械求积公式含有次代数精度。实际上，令求积公式对准确成立，即得

可见，在求积公式节点给定情况下，求积公式结构问题本质上是个解线性方程组代数问题。10第10页第10页插值型求积公式代数精度(续1）

容易验证左（右）矩形公式含有零次代数精度，中矩形公式含有一次代数精度。对于插值型求积公式其余项因此对于次数小于n多项式其余项因而插值型求积公式至少含有n次代数精度。11第11页第11页插值型求积公式代数精度(续2）反之，假如求积公式至少含有n次代数精度，则对于插值基函数（为n次多项式）求积公式准确成立，即注意到，上式右端事实上等于即求积公式为插值型求积公式。12第12页第12页插值型求积公式代数精度(续3）定理

机械求积公式至少有次代数精度充分必要条件是它是插值型。13第13页第13页梯形公式

利用插值求积公式，结构等距节点插值多项式

并以近似

，这样就能够得到各种近似公式．过两点，作直线以近似得：易见，上式几何意义是用梯形面积近似代替曲边梯形面积，故称式为梯形求积公式，如图所表示。14第14页第14页梯形公式(续1）定理5.2设在区间

上含有二阶连续导数，则梯形求积公式有误差预计：证实：由插值求积公式误差(5.9)式得由于，且，用积分中值定理，存在使15第15页第15页梯形公式(续2）显然梯形公式至少含有一次代数精度。能够令则有因此梯形公式代数精度为1。

16第16页第16页梯形公式例题例1利用梯形公式计算解：．17第17页第17页牛顿－柯特斯公式

设分为等份，步长，取等分点结构出插值型求积公式（其中）称作阶牛顿－柯特斯公式。一阶和二阶牛顿－柯特斯公式分别是梯形公式和辛甫生公式四阶牛顿－柯特斯公式，也称为柯特斯公式：18第18页第18页几种低阶求积公式代数精度

阶牛顿－柯特斯公式至少有次代数精度，事实上，二阶辛甫生公式与四阶柯特斯公式在精度方面会取得“额外”好处，它们分别有3次和5次代数精度。因此，在几种低阶牛顿－柯特斯公式中，人们更感兴趣是梯形公式（它最简朴、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。19第19页第19页几种低阶求积公式余项

利用线性插值余项公式以及积分中值定理，我们能够得到梯形公式余项：利用埃尔米特插值余项公式以及积分中值定理我们能够得到辛甫生公式余项：

另外，我们能够得到下列柯特斯公式分余项：20第20页第20页复化求积公式

在使用牛顿－柯特斯公式时，通过提升阶途径并不总能取得满意效果，为了改进求积公式精度，一个行之有效办法是复化求积。

将分为等份，步长，分点所谓复化求积公式，就是先用低阶求积公式求得每个子段上积分值，然后用作为积近似值。复化梯形公式有下列形式：其余项为：21第21页第21页把区间［a，b］分割成n等分，分点得到

复化左矩形公式

△

复化求积公式(续1）22第22页第22页复化求积公式(续2）23第23页第23页梯形法递推化实际计算中，由于要事先给出一个适当步长往往很困难，因此我们往往采用变步长计算方案，即在步长逐步分半过程中，重复利用复化求积公式进行计算，直到所求得积分值满足精度要求为止。

设表示复化梯形求得积分值，其下标是等分数，由此则有递推公式其中24第24页第24页

梯形法加速梯形法算法简朴，但精度低，收敛速度缓提高收敛速度以节约计算量呢？由复化梯形公式截断误差公式可得，整理得，由此可知，

这样导出加速公式是辛甫生公式：25第25页第25页龙贝格算法我们能够在步长逐步分半过程中将粗糙积分值逐步加工为精度较高积分值：或者说将收敛缓慢梯形值序列加工成收敛快速积分值序列，这种加速办法称为龙贝格算法。26第26页第26页［例2］用Romberg公式计算积分解：按Romberg公式求积环节进行计算，结果下列：龙贝格算法例题27第27页第27页龙贝格算法例题(续1）28第28页第28页龙贝格算法例题(续2）29第29页第29页把区间再分半，重复环节(4)，可算出结果：

至此得，由于计算只用小数点后五位，故准确度只要求到0.00001因此积分龙贝格算法例题(续3）30第30页第30页高精度求积公式不失普通性，设

，考虑下列求积公式

我们将会看到，适当选取求积节点能够使上述求积公式含有次代数精度，这种高精度求积公式称为高斯（Gauss）公式，高斯公式求积节点称为高斯点。31第31页第31页高斯点基本特性

尽管高斯点确实定原则上能够化为代数问题，但是由于所归结方程组是非线性，而它求解存在实质性困难，因此我们要从研究高斯点基本特性着手处理高斯公式结构问题。

设是求积公式中高斯点，令

则有下列结论：定理

节点是高斯点充足必要条件是多项式与一切次数多项式正交，即成立32第32页第32页勒让德多项式以高斯点为零点次多项式称为勒让德(Legendre)多项式。普通，勒让德多项式能够依据来求得。33第33页第33页

牛顿—柯特斯型求积公式是封闭型（区间[a,b]两端点a,b均是求积节点）并且要求求积节点是等距,受此限制，牛顿—柯特斯型求积公式代数准确度只能是n(n为奇数)或n+1(n为偶数)。而假如对求积节点也适当选取,即在求积公式中不但Ak并且xk也加以选取,这就能够增长自由度，从而可提升求积公式代数准确度。高斯公式34第34页第34页高