高中数学必修一知识点总结

高一数学知识总结必修一一、集合一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的确定性如：世界上最高的山元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（）元素的无序性:如：和是表示同一个集合集合的表示：{}：{校的篮球队员}{太洋大西洋,印度洋,冰洋}用拉丁字母表示集合：我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或整数集Z有理数集

实数集列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。例如：

{a,b,c⋯⋯}描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。{xR|,{x|语言描述法：例：{不是直角角形的三角形}Venn图:韦恩图（文氏图）是用条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。4集合的分类：

有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合

例：{x|x=－5二、集合间的基本关系“包含”关系—子集注意：AB有两种可能（）A是的一部分，；（2A与B是同一集合。反之:集合A不含于集合B,或集合B不包含集合A,作AB或BA2“相等”关系：(5≥，且5，uuuuuuuuuuuuuu实例：设

“元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且AB那就说集合A集合B的真子集，记作AB(或A)如果AB,BC,那么A如果AB同时A那么不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。含有n个元素的集合的子集的共有22.

2个；真子集共有

1个：非空真子集共有集合的基本运算运算

交

集

并

集

补

集类型定义

由所有属于A且属于B的元素所组成的集合做A,B的交集．记作AB‘A交’），

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的集．记作：A（读作‘A并

设是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作A，即韦

即A且x

B=｛

A

’），即A={x|xA，或

B}})．

A=

{xS,恩

A

BAB

图

A示

图1

图性

A

A=A

A

A=A

A)B)=

u

(A

B)A

ΦΦ

A

Φ=A

A)

B)=(A

B)AA

B=BB

A

A

AA

B=BB

Ａ

A

A质

A

B

B

A

B

B

A

Φ．容斥原理有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)．重点习题：注意：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个或多个集合的交集，有助于解题1.求方程x

x0的解集；2.设A4,2a

，5,1a，已知AIB

，则实数

a

。3.设关于

x

的方程

x

0

，

x

r

的解集分别为A，，若AUB3,4，AI

3，求p,q,的值。4.设A={x|x

+cx+15=0},又A

，，AB={3}，求实数a,b,c

的值5.

设

A

xx

pxxM,N1,4,7,10。若

ANA，AM求p,q的值。6.设

A

xx4x，Bxx

a0

B（１）若

AIB，求a的；（２）若

AUB

，求

a

的值．7.某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为

％，电视机拥有率为

％，洗衣机拥有率为％，至少拥有上述三种电器中两种以上的占么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为多少？

％，三种电器齐全的为

％，那二、函数（一）函数定义域、值域求法综合设、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系

f，使对于集合

A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)它对应，那么就称

fA

为从集合A到合B的一个函数（function），记作f(x),xA，其中x做自变量，的取值范围A叫做数的定义域（），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{fx)xA}

叫做函数的值域。定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；（1）对应法则是一个函数符号，表示为“

yx的函数”绝对不能理解为“

y于f与x的乘积”，在不同的函数中，

f的具体含义不一样；

不一定是解析式，在不少问题中，对应法则

f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号g(x)、、等符号来表示；

表外，常自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号

f(a)来示。如函数

+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=2

×。注意：f(a)是常量，是变量，f(a)是函数（2）定义域是自变量x的取值范围；

中当自变量时的函数值。注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；如：y=x2

(x

y=x(x>0)；y=1与y=x

②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数

x集合；在实际中，还必须考虑

x代表的具体量的允许值范围；如：一个矩形的宽为

xm长是宽的倍，其面积为y=2x

2

，此函数的定义域为

x>0,而不是

x

。（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。（求值域通常用观察法、配方法、代换法）定义域的求法：当确定用解析式

表示的函数的定域时，常有下种况（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集

；如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；如果是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，

那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即使每个部分有意义的实数的集合的交集）；（5）如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。函数的三种表示方法（1）解析法（将两个变量的函数关系，用一个等式表示）：如

y3x

1,Sr2r,

6t

等。（2）列表法（列出表格表示两个变量的函数关系）：如：平方表，三角函数表，利息表，列车时刻表，国民生产总值表等。优点：不需要计算，就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。（3图象法（用图象来表示两个变量的函数关系）

（二）函数奇偶性与单调性问题的解题策略一般地，设函数

f(x)的定义域为

I：如果对于属于

I内某个区间上的任意两个自变量的值

x、x,当x

x时都有f)<1f(x).那么就说

在这个区间上是

增函数（function

）。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值

xx<x时f(x)>f(x).2那么就是f(x)这个区间上是

减函数(decreasing

。如果函数

某个区间是增函数或减函数

,那么就说函说

在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的，减函数的图象是下降的。1．函数最大值与最小值的含义

的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升一般地，设函数

yf(x)

的定义域为

I

，如果存在实数

M

满足：（1对于任意的

xI

，都有

f(x)

M

；（2存在

x

I

，使得

f)

M

。那么，我们称

M函数yf

的最大值（maximumvalue）.．二次函数给区上的最值x，x，有①利用二次函数的性质求最值对二次函数

y

来说，若给定区间是

()

，则当0时，函数有最小值是

4ac

，当

a

0

时，函数有最大值是

4ac

；若给定区间是，则4a必须先判断函数在这个区间上的单调性，然后再求最值。②利用图像求函数的最值③利用函数的单调性求最值3.一般地，（板书）如果对于函数的定义域内任意一个

4a

x，有，那么函数就叫做偶函数（function）。（图像关于y轴对称）4.一般地，（板书）如果对于函数f(x)的定义域内任意一个

f(x)

f(x)

，那么函数就叫做奇函数(oddfunction)。（图像关于原点对称）注意：奇函数在两个对称区间内的单调性是相同的；偶函数在两个对称区间内的单调性是相反的；（三）函数解析式的表达求函数解析式的常用方法有：1、待定系数法例1（1已知二次函数

f(x)

满足

f(1)

，

f(1)

，图象过原点，求

f(x)

；（已知二次函数

f(x)

，其图象的顶点是(1,2)，且经过原点，

f

．解：（）由题意设

f(x)ax

，∵

f(1)，f(1)5

，且图象过原点，a

c

a3∴

a

∴

2c

cf(x)∴（）由题意设

．f1)

，又∵图象经过原点，∴

f(0)

，∴2

得

a2

，∴

f

．说明：（）已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；（）基本步骤：设出函数的一般式（或顶点式或两根式等）代入已知条件，通过解方程（组）确定未知系数。2、代入法例2根据已知条件，求函数表达式．已知已知

ff

x

，求f(x1)．，g(2x1，求f[和g[f(x)].解：（1）

f(x)

x

∴

f1)(x1)

xx

．（）∵

f(x)

，

2x1∴

f[x)]

3[g(x)]

3(2x

∴

g[f(x)]

2[f(x)]12(3x1

说明：已知f(x)求f[(x)]，常用“代入法”基本方法：将函数f(x)中的x用g(x)3、配凑法与换元法：

来代替，化简得函数表达式．例（）已知

f(x

x2x，求f(x).（2已知

f(x

x2x求f1)

．解：（）法一配凑法：∵

f1)(x1)

(x1)

(x1)

x∴

f(x)x

．法二换元法：令

x1t，则xt，f(t1)

t

4t∴

f(x)

x

．（2设

x1，则xu，

x(u1)

于是

f(u)

2(u1)u

1(u1)∴

f(x)

x∴

f(x

(1)

x

x1)即

f(x1)x

x0)

.说明：已知f[g(x)]求f(x)的解析式，常用配凑法、换元法；换元时，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间量的取值范围．4、构造方程法例3已知

满足

f(x)

f()

，求f(x).

x解：∵

f(x)f()x

--------

①将①中x换成

得f()

xf(x)

1

)

-------

②xx①×②得f(x)

6x

3∴

f(x)

2x

1

xx说明：已知f(x)与f(

x)

，或

f(x)

与

f()

之间的关系式，求

f(x)

的解析式，可通过“互换”关系构造方程的方法，消去

f(x)

x或

f(

)

，解出

f(x)

.x（三）恒成立问题的求解策略主要讨论二次函数问题（四）反函数的几种题型及方法反函数的定义一般地，设函数

y

f(x)(xA)

的值域是C，根据这个函数中

x,y

的关系，用yx表示出，得到

x=

若对于y在中的任何一个值，通过

x=(y)，在A中都有唯一的值和它对应那，x=

(y)就表示y是自变量，是自变量

y函数，这样的函数

x=

(y)(yC)叫做函数

y

f(x)(x

A)

的反函数，记

x

f

1

(y)

习惯上改写成

y

f

(x)1.求反函数的基本步骤：一求值域：求原函数的值域二反解：视y为常量，从

y

fx

中解出唯一表达式

xf

1

y

，三对换：将x

y

互换，得

y

fx

，并注明定义域。2.反函数

yf

1

x

与原函数

y

fx

的关系：性质1

y

fx1

的定义域、值域分别为

yfx

的值域、定义域。性质2若

y

fx

存在反函数，且

y

fx

为奇函数，则

yf

x

也为奇函数。性质3若

y

fx

为单调函数，则

y

f

1

x同yfx

有相同的单调性。性质4

y

fx和yf

x

在同一直角坐标系中，图像关于

yx

对称。探讨1所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数yf(x)

来说，不一定反数如

yx

,只有“一一射”定的函数才有反函数，yx

2

,x[0,

)有函数是

yx22探讨2互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数yf(x)

是定义域A到值域C的射，而它的反函数y

f(是集合到集合A的映射，因此，函数y

f(x)

的定义域正好是它的反函数

y

f(x)的域；函

数y

f(x)的值域正好是它的反数yf

(x)

的定义域f[f

(x)]x,f

[fx)]x

（如下表）：函数

y

f(x)

反函数

y

f

(x)定义域值域

A

A探讨3

y

f

(x)

的反函数是？若函数y

f(x)

有反函数yf

(x)

，那么函数yf

(x)

的反函数就是

yf(x)

，这就是说，函数

y

f(x)

与yf

(x)

互为反函数例1已知

f

x

x3

1

，求

f

1

x

（对数函数形式）解：

fx

的值域为

R,

令

y

x3

1，则

x3

y

y1

x3

x2

y

1

f

1

x2

x

1

3例2已知

f

x

2

x

2

1求f

1

x

（指数函数形式）解：令

y

x2

，值域为y1，

x

2

y1log

y1

xx

y

1

f

1

xlog

x

2x0

x例3已知

fx1x1

2

x1，求f

x

（根式形式）解：

令

2yx10x

Qx1

1x0x1

2

10x1

2

1

21x10yyx

21y

x1xy

1fxx

1x1例4求

y

xx且

的反函数

（分式形式）x122解：由题意知，

y

，反解为

yx1x

y

y

y

原函数的反函数为

y

x

x

例5已知

f

x1x

2x1x1,2，求fx的反函数

（二次函数形式）解：Q

x

2x

1令xt

3

xt

所以原函数可化为ftt1t1t2

即

fx

x

2xyfx

x

2（2y7）

y2x

xy2（2y7

）f所以例6求

的反函数x1

fx

1xx

x00

x22x的反函数

7

（分段函数形式）2解：

x0时，yx则xyx时，yx则

（y（y

）则y的反函数为y）则y的反数为

y

xx0)2xx2x(x

所以原函数的泛函数

y

x

注：求分段函数的反函数要分段求，最后要用分段函数的形式表示出来利用反函数求值

（性质一的应用）例7已知

f

x

2x

x1求f

1

的值解一：先求反函数

fx1解：令

y2

，得

x

1x1

x

且

y1x

y

y故

fx

的反函数为

f

1

x

x

x0

f

解二：根据性质一xxxx解：

xx1x2

即

f

x

例8、已知

fx

x

k

的图像过点1,3，其反函数

yf

x

的图像过点，求fx

的表达式。解：

Qyf

1

x

的图像过

点

2,0

，

fx

的图

像过点

0,2

，2

k

k

1fxa又yfx

的图像过点

1,3

，3

1fx1利用图像

（性质四的应用）例9已知函数

f

x2x

a

xa

的图像关于直线

yx

对称，求a

的值xa

解：由题意

fx

的图像关于直线

y

x

对称，则

fx

f

1

x令

yfx

2x

(

yx2x1x1ayxa

x所以

f

x

1

x

由

fxfx

得

1

=

2x1

解得

a2x

x2x（五）二次函数根的问题——一题多解&指数函数y=a^x运算规律：a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

b属Q)、b属于指数函数图像对称规律：函数与y=a^-x关于y轴对称函数与y=-a^x关于x轴对称函数与y=-a^-x关于坐标原点对称指数函数问题解决方法：1．比较大小例1已知函数fx)的大小关系是_____．

2xxxbxc满足f(1x)fx)，且f(0)3则f()与f)分析：先求，

的值再比较大小，要注意

b

，c

的取值是否在同一单调区间内．解：∵fx)f(1x)，∴函数f(x)的对称轴是x

1．故b2，又f

，∴c

3．xxx≤≤xxxx≤≤x2x∴函数f(x)在∞，上递减，在，∞递增．若x≥0，则x≥

x

≥1，∴f(3x)≥fx)

；若x，则3

x

2

x

1，∴f)f)．综上可得f(3x)≥fx)，即f(cx评注：①比较大小的常用方法有：

≥fx)．作差法、商法、利用函数的单调性或中间量．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2已知(a

(a

5)

x

，则

的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵

(a1)

4

≥

41，∴函数y

(a

在(∞，∞上是增函数，∴3x

x解得x

1

．∴x

的取值范围是

1

，

∞．4

4评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3

求函数y1

x

的定义域和值域．解：由题意可得

6

x2

≥

0

，即6

x

≤

1，∴x

0，故x2．∴函数f的定义域是∞．令t6，则y1t，又∵x≤，∴x2

≤

0．∴0

x

≤1，即0t≤．∴

≤1t1，即0≤y．∴函数的值域是，1．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题0例4函数y

x

1(a

在区间[11]，上有最大值，则a

的值是_______．分析：令t

x

可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后

t的取值范围．解：令ta，则t

0，函数y

x

1可化为y(t

2，其对称轴为t1．∴当1时，∵x

，，maxxxaaaamaxxxaaaa∴

1

≤≤，即

1

≤t≤a．a∴当t解得

时，y3或

(a1)14．5（舍去）；当0

1时，∵x

，，∴

≤

≤

1，即a≤≤

，∴t

1

时，

1

21214，

解得

1

或

1

（舍去），∴a

1的值是或．3

5评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5解方程3

x

2

3

2x

80．解：原方程可化为(3)

x2

803

x

x9，令t(t0)，上述程可化为

80t9，解得t

9或t

（舍去），∴

3

x

9，∴x2，经检验原方程的解是x．9评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6为了得到函数

y9

x

5的图象，可以把函数

y

x

的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移B．向右平移9个单位长度，再向下平移C．向左平移个单位长度，再向上平移D．向右平移2个单位长度，再向下平移

5个单位长度5个单位长度5个单位长度5个单位长度分析：注意先将函数

y

9

x

5转化为t3，再利用图象的平移规律进行判断．2解：∵y3

x

5

3

x2

5，∴把函数y的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数

y9

x

5的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．&对数函数如果a，且，M，N0，那么：1○logeq\o\ac(○,2)eq\o\ac(○,)log

a

(M)logM

MlogM－N；

N；Nnanaeq\o\ac(○,3)eq\o\ac(○,)logMlog注意：换底公式

a

M(nR)．log

a

b

cc

a

（a，a；0，且；

）幂函数y=x^a(a属于1幂函数定义：一般地，形如y(aR)的函数称为幂函数，其中为常数．2幂函数性质归纳．（1所有的幂函数在（0+）都有定义并且图象都过点（，1；（20时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[是增函数．特别地，当时幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

)

（）0时，幂函数的图象在区间(0,)

上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在y右方无限地逼近y轴正半轴，当趋于时，图象在x轴上方无限地逼近轴正半轴．三、方程的根与函数的零点1函数零点的概念：对于函数yf(x)

，把使f(x)

成立的实数叫做函数yf(xD

的零点。2函数零点的意义：函数f(x)零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x交点的横坐标。即：方程f(x)

有实数根

函数f(x)

的图象与x轴有交点

函数

f(x)

有零点．3函数零点的求法：eq\o\ac(○,1)

f0

的实数根；○

2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数f(x)

的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．4二次函数的零点：二次函数ax

c(0)

．（1）△＞０，方程ax

c0有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程ax

c0有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程ax

c0无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．重点习题：1.下列图象中不能表示函数