湖北省2020年高二数学上学期期中考试卷（三）

湖北省2020年高二数学上学期期中考试卷(三)

(文科)

(考试时间120分钟满分150分)

一、单项选择题：本题12小题，每小题5分，共60分。

1.抛物线y=4x2的焦点坐标是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,士)D.与,0)

1616

2222

2.圆Ci：(x-m)+(y+2)=9与圆C2：(x+1)+(y-m)=4内切，

则m的值()

A.-2B.-1C.-2或-1D.2或1

3.命题若"x2+y2=0,则x=y=0"的否命题是()

A.若x2+y2=0,则x,y中至少有一个不为0

B.若*2+丫2。0,则x,y中至少有一个不为0

C.若x2+yVo,则x,y都不为0

D.若x2+y2=0,则x,y都不为0

4.已知Fi、F2为双曲线C：x2-y2=l的左、右焦点，点P在C上，Z

F1PF2=60°,则|PFI|・|PF2]=()

A.2B.4C.6D.8

2

5.对于抛物线C：x=4y,我们称满足x24y°的点M(x0,y0)在抛

物线的内部，则直线l：x0x=2(y+yo)与抛物线C公共点的个数是()

A.0B.1C.2D.1或2

6.设F]是椭圆x2+4二i的下焦点，。为坐标原点，点P在椭圆上，

则画•记的最大值为()

A.4+273B.4-2V3C.V2-1D.V3+1

7.过点（2,0）引直线I与曲线尸万7相交于A,B两点，。为坐

标原点，当^AOB的面积取最大值时，直线I的斜率等于（）

A.等.-V3C.士亭D.一哼

8.设圆（x+1）2+y2=25的圆心为C,A（1,0）是圆内一定点，Q为

圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M

的轨迹方程为（)

2

4x+亚=1

21251

家叫D.4x24y2

C.

"25-^r-1

设椭圆C：4+g=l（a>b>0）的左右焦点分别为FF,过

9.v2

F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点，FiB与y轴相交于点D.若

ADJ_FB则椭圆C的离心率等于（）

A.公返「返D返

2

10.已知双曲线J（a>0,b>0）的左、右焦点分别为Fi，

a

F2,P为双曲线上任一点，且可•用最小值的取值范围是

[-1c2.-1c2],则该双曲线的离心率的取值范围为（）

A.(1,B.[&,2]C.(1,V2)D.[2,+8)

ii.如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为e（o°<e

V90。）的平面所截，截面是一个椭圆.当9为30。时，这个椭圆的离

心率为（）

A.1B.当D.|

22

12.M是椭圆号+=-=1上一点，Fi，F2是椭圆的左、右焦点，1是4

MFF2的内心，延长Ml交F1F2于N,则,价等于（）

A.当B.V2C.2D.1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知命题p,q,如果「p是q的充分而不必要条件，那么p是「

q的条件.

14.已知直线x+y=a与圆x2+y2=l交于A,B两点，。是原点，C是圆

上一点，若赢+而=权，则a的值为一.

15.已知抛物线的方程是y2=2px（p>0）,其焦点是F,AABC的顶点

都在抛物线上，直线AB,AC,BC斜率存在且满足瓦+而+奇。,则

141+1,=

kABkBCkCA.

22

16.已知椭圆C：弓+看（a>b>0）,直线y=x+%与以原点为圆心,

以椭圆C的短半轴为半径的圆相切，Fi，F2为其左右焦点，P为椭圆

C上的任意一点，△F1PF2的重心为G,内心为I,且IG〃FF2,则椭圆

C的标准方程为—.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明

过程或演算步骤.

17.设命题p：Vx£R,x2+x>a,命题q：3xGR,使x?+2ax+2-a=0

(1)写出两个命题的否定形式「p和「q；

(2)若命题([p)Vq为假命题，求实数a的取值范围.

18.已知圆心为C的圆过点A(0,-6)和B(L-5),且圆心在

直线I：x-y+l=0上.

(1)求圆心为C的圆的标准方程；

(2)过点M(2,8)作圆的切线，求切线方程.

2、

19.已知双曲线C：^--y2=l,P是C上的任意点.

(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

(2)设点A的坐标为(5,0),求|PA|的最小值.

20.已知椭圆与+X，i(a〉b>0)的离心率为厚，设其左右焦点为Fi，

F2,过F2的直线I交椭圆于A,B两点，三角形F]AB的周长为8.

(I)求椭圆的标准方程；

(II)设0为坐标原点，若OA_LOB,求直线I的方程.

21.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)上有两个动点A,B,它们

的横坐标分别为a,a+2,当a=l时，点A到x轴的距离为正，M是y

轴正半轴上的一点.

(I)求抛物线C的方程；

(II)若A,B在x轴上方，且|OA|=|OM：,直线MA交x轴于N,

求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值.

2_

22.如图，以椭圆1+/=1的右焦点F2为圆心，1-c为半径作圆F2

(其中c为已知椭圆的半焦距)，过椭圆上一点P作此圆的切线，切

点为T.

(I)若a="|,P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；

(II)设圆F2与x轴的右交点为Q,过点Q作斜率为k(k>0)的直

线I与椭圆相交于A,B两点，若OA_LOB,且|PT|廿孚(a-c)恒

成立，求直线I被圆F2所截得弦长的最大值.

参考答案

一、单项选择题

1.C.2.C.3.B.4.B.5.A.6.A.7.D.8.D.9.B.

10.B.11.A.12.B.

二、填空题

13.答案为：必要不充分

14.答案为：孚.

15.答案为：0

16.答案为：牛+[=1.

二、解答题

2

17.解：(1)-'p：2x0,使得x；+x0Wa；~~'q：Vx£R,x+2ax+2-a

r0.

(2)命题p：VxGR,x2+x>a,*.*x2+x=(x+^产~a<-看.

命题q：2xER,使x?+2ax+2-a=0,AA=4a2-4(2-a)20,解得

a三19或aW-2.

-'p：-'q：-2<a<l.

,命题(-'p)Vq为假命题，

•••「P与q都为假命题，，P与「q都为真命题.

••・4,解得

-2<a<l4

，实数a的取值范围是-2<a<-1

18.解:(1)设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2

(0-a)2+(-6-b)2=r2

222

依题意得：,(1-a)+(-5-b)=r-

a-b+l=O

解得：a=-3,b=-2,r2=25

所以所求的圆的方程为：(x+3)2+(y+2)2=25…

(2)设所求的切线方程的斜率为k,则切线方程为y-8=k(x-2),

即kx-y-2k+8=0

、I-3k+2-2k+8l|5k-10|

又圆心C(-3,-2)到切线的距离d」~每q~~12+J

又由d=r,即味谭L,解得k]...

所求的切线方程为3x-4y+26=0...

若直线的斜率不存在时，即x=2也满足要求.

综上所述，所求的切线方程为x=2或3x-4y+26=0…

19.解：(1)设P(X。,y0),P到两准线的距离记为由,d2

•・•两准线为x-2y=0,x+2y=0..…2'

又•.•点P在曲线C上，

**•Ixo2~4yo2|=xo2-4yo2=4,得d/d2=|"(常数)

即点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数…6

(2)设P(x0,y0),由平面内两点距离公式得

2

222222

|PA|=(x0-5)+y0(x0-5)+y0=x0-10x0+25+-^-7…8'

2门2

2

,•^--y0=P可得几2=午-1

2

•••IPA12=x02一iOxo+25+千-1奇(X。-4产+4…9'

又\•点P在双曲线上，满足|x0|22,

...当Xo=4时，PAI有最小值，PAmin=2...」2,

20.解：(I)由题意可得4a=8,a=2,又e-■芈，得c=J5,

aZ

b2=a2-c2=l,

26

•••椭圆的标准方程为亍+y2=i；

(H)当直线I的斜率不存在时，直线I的方程为X』,此时A

(T，B(V3.尹

水•丽=3-^■4#0,不满足题意；

当直线I的斜率存在时，设斜率为k,则直线方程为y=kx-«k,

2.2_A

联立久X-叵'W(1+4k2)x2-^k2x+12k2-4=0-

12k2-4

设A(xYi),B(x,y),则X[+X2=汽,X1X9=------丁,

P228l+'4k21'l+4kz

-22+2

y1y2=(kx1-V5£)(kx2V3k)=kXjX2~V3k(xj+x2)3k

2

"*限2响2c-u

l+4k2+3k

i9b2-4-v211k2-4

VOA±OB,/.x+y=.■<­一=0,

X12yi2l+4kzl+4kzl+4k；z

解得：k=土号L

直线I的方程为：尸土^^~(X-«).

21.(I)解：由题意得当a=l时，点A坐标为(1,土&),

由题有(士&)2=2p，；卬=1

抛物线C的方程为：y2=2x

(II)证明：由题A(a,V2a)»B(a+2,亚/4)，

V|OA=OM|,

,«M(0,{a?+2a)，

,,Va^+2a-V2a

•，kMA=.....-----

・•・直线MA的方程为：丫=叵打②金,

二&二&_]

-Va+2(Va+2~V2)-a-2-V2>/a+2

直线BN的斜率为定值，该定值为-1.

22.解：(I)由a=-1■得c='1■，…

则当P为椭圆的右顶点时|PF2l=a-c=1,

22

故此时的切线长|PT|=7|PF2|-(I-C)=^...

(II)当IPF2I取得最小值时|PT|取得最小值,W|PF2|min=a-c,

由|PT|与乎(a-c)恒成立，得J(a-c)2-(l-c)2>冬a-c),则

由题意Q点的坐标为(1,0),则直线I的方程为y=k(x-1),代入

得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0,

段A(X],y])，B(X2,N2)，

2,2_2

2a2k2aka

则有x+x-

12久有，勺=㊀2k2+1，

k2（1-a2）

,

可得丫1丫2=卜2[町*2-（x1+x2）+l]=

a2ka1l1

12_2

又O