山东省张店区七校联考2022年中考数学对点突破模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0・5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若X是2的相反数，|y|=3,则y—的值是()

-2C.2或-4D.-2或4

2.下列各式计算正确的是（）

A.(b+2a)(2a-b)=b2-4a22a3+a3=3a6

C.a3*a=a4D.(-a2b)3=a6b3

3.计算（1-1）+厂—2x+l的结果是（

)

xX

1xx-1

A.x—1B.——C.D.

x-lX—1X

4.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，机的值应是（）

1

5.函数y=~^=^的自变量x的取值范围是（）

yJX-2

A.x#2B.x<2C.x>2D.x>2

6.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,AAO5的三个顶点都在格点上，现将AAOB绕点O

逆时针旋转90。后得到对应的△COD,则点A经过的路径弧AC的长为（）

D

A.—71B.nC.27rD.37r

2

4

7.如图，A、B两点在双曲线y=一上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S瞰=1,贝Si+S2=（）

8.如图1,等边AABC的边长为3,分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为♦半径作弧AC、弧CB、弧BA,我们把

这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形.设点I为对称轴的交点，如图2,将这

个图形的顶点A与等边ADEF的顶点D重合，且ABJ_DE,DE=27t,将它沿等边ADEF的边作无滑动的滚动，当它

第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（）

10.如图，将AABC沿DE,EF翻折，顶点A,B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO,若NDOF=142。,

则NC的度数为（）

11.若分式」一有意义，则a的取值范围是（）

a-\

A.a#lB.a#）C.a#l且a#）D.一切实数

12.如图所示，a//b,直线“与直线。之间的距离是（

B.线段尸5的长度

C.线段PC的长度D.线段CD的长度

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.关于x的一元二次方程欠2一21+1=0有实数根，则a的取值范围是.

14.如图，平行线AB、CD被直线EF所截，若N2=130。，则Nl=.

CZ1D

才

15.如图，要使AABCsaACD,需补充的条件是.（只要写出一种）

3

16.在RfAABC中,NC=90。,若A8=4,sinA=《，则斜边AB边上的高CZ＞的长为.

17.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=\2,将△ABC绕点A顺时针方向旋转60。到△ABC的位置，连接CB

贝!ICB=

18.如图，在AABC中，NACB=90。，AC=BC=3,将AABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕,

若AE=2,则sinNBFD的值为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知△ABC,以A为圆心AB为半径作圆交AC于E,延长BA交圆A于D连DE并延长交BC于F,

CE2=CFCB

(1)判断AABC的形状，并证明你的结论；

(2)如图1,若BE=CE=2g,求。A的面积；

(3)如图2,若tanZCEF=-,^cosZC的值.

2

20.(6分)某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的A,B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况:

销售数量

销售时段销售收入

B种型

A种型号

号

第一周3台5台1800元

第二周4台10台3100元

(进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本)

⑴求A,B两种型号的电风扇的销售单价.

(2)若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，则A种型号的电风扇最多能采购多少台？

(3)在⑵的条件下，超市销售完这3()台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能,

请说明理由.

21.(6分)计算：(-4)x(--)+21-(7T-1)°+-^6•

22.(8分)已知：如图所示，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0)

(1)求抛物线的表达式；

(2)设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SAPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标.

x

23.(8分)今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、

B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表.

评估成绩n(分)评定等级频数

90<n<100A2

80<n<90B

70<n<80C15

n<70D6

根据以上信息解答下列问题：

(1)求m的值；

(2)在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；(结果用度、分、秒表示)

(3)从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率.

24.(10分)如图，已知抛物线y=gx2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1),点B(-9,10),AC〃x

轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线1与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与AABC相似，若存

在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

25.（10分）新定义：如图1（图2,图3）,在△ABC中，把AB边绕点A顺时针旋转，把AC边绕点A逆时针旋转,

得到AAB，。，若NBAC+NB，AU=180。，我们称△ABC是△AB，C的“旋补三角形"，AABX7的中线AD叫做△ABC

的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”

（特例感知）（1）①若△ABC是等边三角形（如图2）,BC=1,则AD=；

②若NBAC=90。（如图3）,BC=6,AD=；

（猜想论证）（2）在图1中，当△ABC是任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并证明你的猜想；

（拓展应用）（3）如图1.点A,B,C,D都在半径为5的圆上，且AB与CD不平行，AD=6,点P是四边形ABCD

内一点，且△APD是ABPC的“旋补三角形”，点P是“旋补中心”，请确定点P的位置（要求尺规作图，不写作法，

26.（12分）如图，河的两岸MN与PQ相互平行，点A,B是PQ上的两点，C是MN上的点，某人在点A处测得

NCAQ=30。，再沿AQ方向前进20米到达点B,某人在点A处测得NCAQ=30。，再沿AQ方向前进20米到达点B,

测得NCBQ=60。，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1米，参考数据0M.414,百H.732）

MgN

y:

•/f:

,八女。触

PABQ

27.（12分）山地自行车越来越受中学生的喜爱.一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元,

二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元.求

二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%,

求每辆山地自行车的进价是多少元？

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解析】

直接利用相反数以及绝对值的定义得出x,y的值，进而得出答案.

【详解】

解：是1的相反数，|y|=3,

.*.x=-Ly=±3,

1-

Ay-yx=4或-1.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了有理数的混合运算，正确得出x,y的值是解题关键.

2,C

【解析】

各项计算得到结果，即可作出判断.

解：A、原式=4a2-b?,不符合题意；

B、原式=3a3,不符合题意；

C、原式=at符合题意；

D、原式=-a6b3,不符合题意，

故选C.

3、B

【解析】

先计算括号内分式的加法、将除式分子因式分解，再将除法转化为乘法，约分即可得.

【详解】

科目一，X1、.（x-1）2X-1x1

解：原式=（一-_）;！------------•/\2=----,

XXXX（x-1Jx-1

故选B.

【点睛】

本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.

4、B

【解析】

根据排列规律，10下面的数是12,10右面的数是14,

V8=2x4-0,22=4x6-2,44=6x8-4,

.,./n=12xl4-10=158.

故选C.

5,D

【解析】

根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.

【详解】

"1

解：•函数y=——-有意义，

.*.x-2>0,

即x>2

故选D

【点睛】

本题考查了根式有意义的条件，属于简单题，注意分母也不能等于零是解题关键.

6、A

【解析】

根据旋转的性质和弧长公式解答即可.

【详解】

解：•••将小AQB绕点O逆时针旋转90。后得到对应的△COD,

AZAOC=90°,

•：OC=3,

907rx33

.•.点A经过的路径弧AC的长=I^=-71,

1802

故选：A.

【点睛】

此题考查弧长计算，关键是根据旋转的性质和弧长公式解答.

7、D

【解析】

4

欲求Si+Si,只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=-

x

的系数k,由此即可求出S1+S1.

【详解】

4

•••点A、B是双曲线丫=一上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

x

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,

/.Si+Si=4+4-lxl=2.

故选D.

8、B

【解析】

先判断出莱洛三角形等边ADEF绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可.

【详解】

如图1中，

,等边ADEF的边长为2n,等边AABC的边长为3,

-'•SAGiiF=2jrx3=67r,

由题意知，ABJLDE,AGJLAF,

.,.ZBAG=120°,

」20万了

••s扇形BAG--------------------J加，

360

，图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3(S柜彩AGHF+S用彩BAG)=3(6n+3n)=27兀；

故选B.

【点睛】

本题考查轨迹，弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解题的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF

扫过的图形.

9、A

【解析】

试题解析：•••分式L1xL1—-1的值为零，

X+1

|x|-1=0,x+1,0,

解得：x=l.

故选A.

10、A

【解析】

分析：根据翻折的性质得出NB=NFOE,进而得出NOOF=NA+N8,利用三角形内角和解答即可.

详解：ABCDE,E尸翻折，/.ZA=ZDOE,NB=NFOE,：.ZDOF=ZDOE+ZEOF=ZA+ZB=142°,

:.ZC=180°-ZA-ZB=180°-142°=38°.

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转

化的思想，属于中考常考题型.

11、A

【解析】

分析：根据分母不为零，可得答案

详解：由题意，得

a—1。0,解得a/1.

故选A.

点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键.

12、A

【解析】

分析：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案.

详解：：a〃b,AP±BC

两平行直线a、b之间的距离是AP的长度

，根据平行线间的距离相等

直线a与直线b之间的距离AP的长度

故选A.

点睛：本题考查了平行线之间的距离，属于基础题，关键是掌握平行线之间距离的定义.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、a<l且a#

【解析】

••・关于x的一元二次方程ac2—2x+i=o有实数根,

"0

•,**/、2>解得：aW1,

♦=(-2)-4a20

，a的取值范围为：aWl且.

点睛：解本题时，需注意两点：(1)这是一道关于“x”的一元二次方程，因此；

(2)这道一元二次方程有实数根，因此♦=(-2)2-4。20；这个条件缺一不可，尤其是第一个条件解题时很容易忽

略.

14、50°

【解析】

利用平行线的性质推出NEFC=N2=130。，再根据邻补角的性质即可解决问题.

【详解】

VAB/7CD,

:.NEFC=N2=130°,

.*.Zl=1800-ZEFC=50°,

故答案为50°

【点睛】

本题考查平行线的性质、邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.

15、NACD=NB或NADC=NACB或AD：AC=AC；AB

【解析】

试题分析：VZDAC=ZCAB

.,.当NACD=NB或NADC=NACB或AD：AC=AC：AB时,AABC^AACD.故答案为NACD=NB或NADC=NACB

或AD：AC=AC：AB.

考点：1.相似三角形的判定；2.开放型.

48

16、——

25

【解析】

工e--BC3

如图，I•在RtAABC中，ZC=90°,AB=4,sinA=—=一

AB5

VCD是AB边上的高，

.16348

二CD=ACsinA=—x-=—.

5525

17、v：-1

'.'△ABC绕点A顺时针方向旋转60。得到△AB-C%

.,.AB=AB,,ZBAB,=60°,

.•.△ABB，是等边三角形，

在^ABC^AB，BC中，

一，t

_=r____—,

LL，CL，

二△ABC'gZkB'BC'(SSS),

:.ZABC,=ZB,BC,,

延长BC，交AB，于D,

则BD_LAB',

VNC=90。，AC=BC=、？,

AB=J(0)；+(、0；=2,

，BD=2x==\3,

C，D=;x2=l,

.,.BC=BD-C,D=V3-1.

故答案为：y-'-l.

点睛：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅

助线构造出全等三角形并求出BC，在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点.

1

18->一

2

【解析】

分析：过点D作DG，AB于点G根据折叠性质，可得AE=DE=2,AF=DF,CE=1,

在RtADCE中，由勾股定理求得CD=6,所以DB=3-石；在RtAABC中，由勾股定理得A8=血；在RSDGB

中，由锐角三角函数求得OG=±2二逅，=也；

22

设AF=DF=x,贝！|FG=在RSDFG中，根据勾股定理得方程

2

(上f5)2+(3-X—tf5)2=》2,解得X=3母-娓,从而求得sin/BED.的值

详解：

如图所示，过点D作DGLAB于点G

C

.♦.AE=DE=2,AF=DF,CE=AC-AE=1,

在RtADCE中，由勾股定理得CD=y/ED2-CE2=物-『=百，

.•.DB=3-G;

在RtAABC中，由勾股定理得AB=JAC2+BC2=—32+32=3垃;

在RtADGB中，DG=DB-sinB=(3-y/3)x—=-^~^,GB=DB-sinB=还二;

222

设AF=DF=x,FG=AB-AF-GB=3-x-,

2

在RtADFG中，DF2=DG2+GF2,

即(吟标)2+(3_X_3.”2=,

解得了二38-6，

:.sinZ-BFD-^-=L

DF2

故答案为1.

点睛：主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、锐角三件函数的定义；解题的关键是灵活运用折叠的性质、勾股定理、

锐角三角函数的定义等知识来解决问题.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4

19、(l)AABC为直角三角形，证明见解析；(2)127T；(3)y.

【解析】

(1)由。炉=。/.。8,得4CEFsACBE,：.NCBE=NCEF,由8。为直径，得N4£>E+NA8E=90。,即可得NO5C=90。

故448c为直角三角形.⑵设NE8C=NEC3=x,根据等腰三角形的性质与直角三角形的性质易得x=30。，贝！|NA8E=60。

故AB=BE=2也,则可求出求。A的面积；⑶由(1)知NO=NCFE=NC3E,故tan/C8E=；，设EF=a,BE=2a,利用勾股

定理求出BD=2BF=2s/5a，得AD=AB=®,OE=28E=4a,过F作FK//BD交CE于K,利用平行线分线段成比例得

FKEF1CF1V5,FK3H4一

---=----=—,求得----=—,CF-...a即可求出tanNC=-------—再求出cosNC即可.

ADDE4BF33CF4

【详解】

解：,:CE°=CFCB,

.CECB

^~CF~~CE"

:•△CEFs^CBE,

：./CBE=/CEF,

VAE=AD,

：.ZADE=ZAED=ZFEC=ZCBE,

■:BD为直径，

:.N4OE+NA5E=90。，

:.NCBE+NABE=90。,

：.ZDBC=90°AABC为直角三角形.

⑵•：BE=CE

・••设NEBC=NECB=x,

：./BDE=/EBC=x,

*：AE=AD

:.NAED=NADE=x,

:.NCEF=NAED=x

：.ZBFE=2x

在45。尸中由△内角和可知：

3x=90°

Ax=30°

:.ZABE=60°

：.AB=BE=2yfi

SA=12乃

(3)由(1)知:NQ=NCFE=NCBE,

.".tanXCBE=—,

2

设EF=a,BE=2a,

:.BF=也a,BD=2BF=2#)a,

.".AD=AB=y]5a>

：.,DE=2BE=4a,xtF作FK//BD交CE于K,

.FKEF\

''AD-D£-4

VFK=-a，

4

.CFFKI

.CF1

>•——CF=—a

BF33

图1

【点睛】

此题主要考查圆内的三角形综合问题，解题的关键是熟知圆的切线定理，等腰三角形的性质，及相似三角形的性质.

20、(1)A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台；(2)A种型号的电风扇最多能采购10台；(3)在

(2)的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【解析】

(1)设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的电扇收入1800元，4台A

型号10台B型号的电扇收入3100元，列方程组求解；

(2)设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(30-a)台，根据金额不多余5400元，列不等式求解；

(3)设利润为1400元，列方程求出a的值为20,不符合(2)的条件，可知不能实现目标.

【详解】

(1)设A,B两种型号电风扇的销售单价分别为x元/台、y元/台.

3x+5y=1800x=250

依题意，得＜解得＜

4x+10y=3100J=210

答：A,B两种型号电风扇的销售单价分别为250元/台、210元/台.

(2)设采购A种型号的电风扇a台，则采购B种型号的电风扇(30—a)台.

依题意，得200。+170(30-a)W5400,

解得a<10.

答：A种型号的电风扇最多能采购10台.

(3)依题意，有(250—200)。+(210—170)(30-0)=1400,

解得a=20.

Va<10,

在⑵的条件下超市不能实现利润为1400元的目标.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关

系和不等关系，列方程组和不等式求解.

21、7-.

2

【解析】

分析：按照实数的运算顺序进行运算即可.

详解：原式=4x」+L-1+6,

22

=2+--1+6,

2

点睛：本题考查实数的运算，主要考查零次幕，负整数指数幕，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个

知识点是解题的关键.

22、(l)y=-x2+4x-3；(2)满足条件的P点坐标有3个，它们是(2,1)或(2+0,-1)或(2-叵,-1).

【解析】

(1)由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；

(2)根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P(t,«+4t-3),根据三角形面积公式得到;.2.|-t2+4t-3|=l,然后去

绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标.

【详解】

解:⑴抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3；

⑵设P(t,-t2+4t-3),

因为SAPAB=1,AB=3-1=2,

所以;-t2+4t-3|=L

当-t2+4t-3=l时，ti=t2=2,此时P点坐标为(2,1)；

当-12+如-3=-1时，11=2+后，12=2-四，此时「点坐标为（2+夜，-1）或（2-攻，-1）,

所以满足条件的P点坐标有3个，它们是（2,1）或（2+血，-1）或（2-行，-1）.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择

恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元

一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交

点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

23、（1）25；（2）8。481（3）

【解析】

试题分析：（1）由C等级频数为15除以C等级所占的百分比60%,即可求得m的值；（2）首先求得B等级的频数,

继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其

中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案.

试题解析：（1）等级频数为15,占60%,

.,.m=154-60%=25；

（2）等级频数为：25-2-15-6=2,

AB等级所在扇形的圆心角的大小为：三、360。=28.8。=28。48。

（3）评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A,有两家等级为B,画树状图得：

开始

AABB

/1\/1\/N/T\

ABBABBAABAAB

•••共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，

•••其中至少有一家是A等级的概率为：

考点：频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法.

1Q1Q<

24、（1）抛物线的解析式为y=：；x2-2x+l,（2）四边形AECP的面积的最大值是二，点P（一,--）；（3）Q（4,1）

3424

或(-3,1).

【解析】

(1)把点4,3的坐标代入抛物线的解析式中，求方，c；⑵设P(wi,—ffr-2/n+l),根据S四边彩AECP=SAAEC+SAAPC,

把S四边彩乂“用含机式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(G1),分别求出点A,B,C,P的坐标，求出A5,

BC,CA；用含，的式子表示出PQ,CQ,判断出NA4C=NPC4=45。，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对

应边成比例求A

【详解】

解：(1)将4(0,1),8(9,10)代入函数解析式得：

—x81+96+c=10,c=l,解得b=-2,c=l,

3

所以抛物线的解析式J=1x2-2x+l；

(2)；AC〃x轴，4(0,1),

A|x2-2x+l=L解得xi=6,必=0(舍)，即C点坐标为(6,1),

・・•点A(0,1),点3(9,10),

，直线A5的解析式为y=%+L设P(m,m2-2m+l),；・E(盟，盟+1),

/.PE=/w+l-(^m2-2/w+l)=-^m2+3m.

VAC±PE,AC=6,

S四边形AECP=SAAEC+SAAPC——AC*EF-\AC*PF

22

1,1

=-AC-(EF+PF)=-AC-EP

22

=；x6(-；m2+3m)=-m2+9m.

•:0<w<6,

当，”=—9时，四边形AEC尸的面积最大值是8一1，此时尸(91，一5一)；

2424

(3)Vj=|/-2*+1=~(*-3)2-2,

尸(3,-2),PF=yF-yp=3,CF=XF-XC=3,

：.PF=CF,：.ZPCF=45°,

同理可得NEA尸=45°,:.NPCF=ZEAF,

二在直线AC上存在满足条件的点Q,

设Q«,1)且48=90,AC=6,CP=3八,

•.,以C,P,。为顶点的三角形与△ABC相，似，

①当△CPQS/\A3C时，

CQ:AC=CP:AB,(6T):6=3板：9底，解得♦=%所以。(4,1)；

②当△CQPS2U5C时，

C048=CP:4C,(6T)：90=30：6,解得f=-3,所以。(-3,1).

综上所述：当点尸为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点。，使得以C,P,。为顶点的三角形与△A3C相似，Q

本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利

用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解(3)的关键是利用相

似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，以防遗漏.

25、(1)①2；②3；(2)AD=，BC；(3)作图见解析；BC=4；

【解析】

(1)①根据等边三角形的性质可得出AB=AC=1、ZBAC=60,结合，，旋补三角形”的定义可得出AB，=AC=1、

ZB-ACr=120°,利用等腰三角形的三线合一可得出NADC，=90。，通过解直角三角形可求出AD的长度；

②由“旋补三角形”的定义可得出NB，AC，=90o=NBAC、AB=AB\AC=ACS进而可得出△ABCg△AB，U(SAS),

根据全等三角形的性质可得出B，C，=BC=6,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AD的长度；(2)

AD=BC,过点B，作B，E〃A。，且B，E=AU,连接C，E、DE,则四边形ACC，B，为平行四边形，根据平行四边形的性

质结合“旋补三角形”的定义可得出/BAC=/AB，E、BA=AB\CA=EBS进而可证出△BACg△AB，E(SAS),根据

全等三角形的性质可得出BC=AE,由平行四边形的对角线互相平分即可证出AD=；BC；(3)作AB、CD的垂直平分

线，交于点P,则点P为四边形ABCD的外角圆圆心，过点P作PF_LBC于点F,由(2)的结论可求出PF的长度,

在RtABPF中，利用勾股定理可求出BF的长度，进而可求出BC的长度.

【详解】

(1)①..,△ABC是等边三角形，BC=1,

；.AB=AC=1,ZBAC=60,

.•.AB'=AC'=1,NB'AC'=120°.

VAD为等腰△ABC，的中线，

，ADJ_BC,ZCr=30°,

ZADCr=90°.

在RtAADC，中,ZADCf=90°,AC'=1,NC，=30。,

.".AD=AC'=2.

@VZBAC=90°,

:.ZBrACr=90°.

在△ABC和△AB，C中，____,