山东省济南市2021-2022学年高二下学期期末数学试题（含答案解析）

山东省济南市2021-2022学年高二下学期期末数学试题

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.函数/(x)=cos(x—l)的导函数r(x)=()

A.sin(x-1)B.-sin(x-l)

C.cos(x-l)D.-cos(x-l)

2.已知事件4,B,若P(B)=；则「(A|8)=()

3门3-412

A.-B.—C.——D.—

4282149

3-4

Q不岩jJ「x。—JCoA，则实数x的值为()

A.2B.4C.6D.2或6

4.若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每

个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有()

A.12种B.18种C.36种D.54种

5.函数/(x)=e，-ln(x+〃?)在［0,1］上单调递增，则实数的取值范围为()

A.B.1-l,+a>J

C.(0,1］D.

6.已知函数及其导函数/'(x)的定义域均为R,且/'(x+l)为奇函数，则

()

A./(l)=0B.r⑵=o

C.〃。)=〃2)D.r(o)=r(2)

7.(x+2y-3z)4的展开式中，所有不含z的项的系数之和为()

A.16B.32C.27D.81

8.已知离散型随机变量X的分布列为P(X==1,2,…,15),其中a为

常数，则P(XW8)=()

二、多选题

9.某同学将收集到的六对数据制作成散点图如下，得到其经验回归方程为

4：y=O.68x+a,计算其相关系数为仆决定系数为R：.经过分析确定点尸为“离群

点”，把它去掉后，再利用剩下的五对数据计算得到经验回归方程为4h=菽+0.68,

相关系数为4,决定系数为8.下列结论正确的是（）

7八

F・

V力

A.4>q>0B.R：>R；

C.0<b<0.68D.b>0.68

10.已知（x-1）5=旬+0］（》+1）+生（》+1）：!+…+a5（x+l）’,则（）

A.4=-32B.a。+qH-F=-1

C.%=-1D.%+4=-9。

11.甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙

两盒中随机取出，（=1,2）个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学

期望为耳（x）,耳（丫），则下列结论正确的是（）

A.£"X）+g（Y）=3B.£2（%）>£2（/）

C.£,（x）>£,（y）D.£；（x）=E2（y）

12.已知〃x）=/（o）e，+且/'（l）=e+l,则（）

A.存在％w(O,l),使得/(Xo)=0

B.对任意玉片马，都有"⑸>/（号B

C.对任意x尸匕，都存在J,使得/&）—〃々）=/'（/（王—9）

D.若过点（1M）可以作曲线y=/（x）的两条切线，则l<a<e+l

三、填空题

13.已知随机变量X〜N（3,4）,且P（X>3c—2）=P（X<2c+l）,则c的值为

14.已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是

否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方

法抽取24人，则抽取的女生人数为.

15.将（皈展开式中的项重新排列，则x的次数为整数的项全部相邻的排法共

有种.（用数字作答）

16.已知函数〃x）=log2（x+l）一松田伏〉。）,若存在x>0,使得”x）zo成立，则〉

的最大值为.

四、解答题

17.某商场为提高服务质量，随机调查了50位男顾客和50位女顾客，每位顾客对该

商场的服务给出满意或者不满意的评价，得到下面部分列联表：

满意不满意

男顾客10

女顾客15

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：

P（K2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

尸n^ad-bcy

(a+：)(c+d)(a+c)(b+d)

18.已知函数f(x)=x(x-c『在x=-l处取得极小值.

(1)求c的值；

⑵求“X)在区间［Y,0］匕的最值.

19.某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4

个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数.

(1)若有放回的抽取，求X的分布列与期望；

(2)若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超

过:的概率.

20.已知函数小人,-'lnx-3.

(1)求/(*)的单调递增区间；

⑵当时，/(x)40恒成立，求实数〃?的取值范围.

21.在某地区进行某种疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，

则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有〃(〃eN+,„>2)个人，每

人一份血液待检验，有如下两种方案：

方案一：逐份检验，需要检验〃次；

方案二：混合检验，将〃份血液分别取样，混合在一起检验，若检验结果呈阴性，则

〃个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对〃份血液逐份检验，此时共需要检验

»+1次.

(1)若〃=5,且其中两人患有该疾病，采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人

的概率;

(2)已知每个人患该疾病的概率为p(O4p41).

(i)若两种方案检验总次数的期望值相同，求p关于”的函数解析式，，=/(〃)；

(ii)若〃=8,且每单次检验费用相同，为降低总检验费用，选择哪种方案更好？试

说明理由.

22.已知函数/(x)=ln(or)-or2+幺，a>-.

x3

(1)若f(x)存在极大值点，求4的取值范围；

(2)试判断的零点个数，并说明理由.

参考答案:

1.B

【分析】利用复合函数求导法则与基本初等函数求导公式即可

【详解】由复合函数求导法则，r(x)=-sin(x-l).(x-l)'=-sin(x—1),

故选：B

2.A

【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出.

43

【详解】因为尸(功=三P(AB)=；

77

所以尸⑷所篝H.

故选：A.

3.D

【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解.

x<20x<20

3x-4<203x-4<20

【详解】由C°=GT，得.z或'z，解得x=2或x=6,

XGN+XGN+

3x-4=x3x-4=20-x

所以实数x的值为2或6.

故选：D.

4.B

【分析】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，则剩下四盆花有齿组，再

2

分配到各个房间即可得解.

【详解】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组，

则剩下四盆花有《组，再分配到3个不同的房间中，

2

共有4种排法,

所以不同的放法数用义费=18(种).

故选：B.

【点睛】本题考查了排列组合求所有可能，考查了平均分组法，解题关键是平均分组时注

意消序，计算量不大，属于基础题.

答案第1页，共14页

5.A

【分析】根据函数〃x)=e*-ln(x+m)在［0,1］上单调递增，可得/4x)30在［0,1］上恒成

立，然后利用分离参数法即可求解.

【详解】因为/(xbe'-lna+w),所以尸(x)=e'—

因为函数"x)=e，-ln(x+间在［0,1］上单调递增，

所以尸(x)=e、-W*。在［°」］上恒成立，

所以机士4-x在［0,1］上恒成立，即，,xe［0,l］即可

e/nm

令g(x)=/-x,xe［0,l］IjllJ

由函数单调性的性质知，g(x)在［O,］上减函数，

g(xLx=g(°)=}-0=l，即加2/.

所以实数机的取值范围为口,内)。

故选：A.

6.C

【分析】取/'(x+l)=x,f(x)=^x2-x+c,逐项判断.

【详解】解：因为函数“X)及其导函数/'(X)的定义域均为R，且/'(x+1)为奇函数，

所以不妨设/'(x+l)=x,则/'(x)=x-l,/(2)=1/(0)=-1,故BD错误；

取〃x)=gx2_x+c,则〃i)=c_g,〃0)=〃2)=c,故A错误，C正确，

故选：C

7.D

【分析】原问题即为求(x+2y)’展开式中的所有项的系数和，令x=y=l,即可得答案.

【详解】解：(x+2y-3z)4展开式的通项公式为&=C；(x+2y广(-3z)’，

若展开式中的项不含z,PliJr=0,此时符合条件的项为(x+2y)4展开式中的所有项，

令x=y=l,可得所有不含z的项的系数之和为(l+2xl『=81,

故选：D.

答案第2页，共14页

8.B

【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解。=g,进而根据概率公式即可求解.

【详解】P(X=〃)=册+^^="(="+1-6),所以

P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=15)=lna(V1^71-l)=lna=g；

故尸(X48)=P(X=l)+P(X=2)+...+P(X=8)=g(7iTT_l)=|

故选：B

9.AC

【分析】根据散点图对相关性的强弱的影响即可判断四个选项.

【详解】由图可知两变量呈现正相关，故4>0,4>0,去掉“离群点”后，相关性更强，

所以八<4，故故A正确，B不正确.

根据图象当去掉F点后，直线的基本在A,B,C,D,E附近的那条直线上，直线的倾斜程度会

略向x轴偏向，故斜率会变小，因此可判断0〈坂<0.68，故C正确,D错误.

故选：AC.

10.ABD

【分析】使用赋值法可判断AB；令工=丫-1,然后根据通项直接求解可判断CD.

1-

【详解】(x-1)=%+q(x+l)+a2(x+l)H---1"%(犬+1)'

取x=_l,则有%=(-2)5=-32,A正确；

取x=0,则有4+q+…+%=(T)5=-1,B正确；

52As

令x=y-l,pllj(y-2)=an+a,y+a2y++aAy+a5y,

因为%/=(335义(_2)°=V，所以%=1,C错误；

因为,y2=c；y2x(-2)3=-80y2,x(-2)=-10/,所以出+，=-90,D正确.

故选：ABD

II.ACD

【分析】分别求出，=1和，=2这两种情况下的分布列，再求出数学期望.

【详解】当i=l时，X的可能取值为1,2,3,且

答案第3页，共14页

224

p（X=l）=-x-=-；

339

21124

p（X=2）=-x-+-x-=-；

33339

P（X=3）=lxl=l；

339

4415

所以G（X）=lxe+2xw+3xG=a.

y的可能取值为o,i,2,且

P（y=0）=-x-=—；

339

…八21124

P（Y—l）222-X--F—x-=一；

33339

P（y=2）=±2x-2=4-；

339

1444

JWWE,（y）=0x-+lx-+2x-=-.

故A,C正确.

当i=2时，X的可能取值为0,1,2,且

p（X=0）=-xl=l；

339

…21124

P（X=l）=-x-+-x-=-；

33339

224

P（X=2）=-x—=—；

339

1444

^fl^E2（X）=0x-+lx-+2x-=-.

y的可能取值为1，2,3,且

224

p（y=l）=-x-=-；

339

…c、21124

p（y=2）=—X-+-X—=—；

33339

p（y=3）=-x-=—；

339

4415

^fWE2（y）=lx-+2x-+3x-=-.

故B错误，D正确.

故选:：ACD.

12.BCD

【分析】求出/a）,结合了'（。）、r⑴可解出f（o）、r（o）,即有/a）、r（x）的解析式,

答案第4页，共14页

对A,根据f(x)单调性与/(0)、41)的符号即可判断；

对B,根据/(x)单调性，得出函数凹凸性，即可判断；

对C,/(N)二/(乜)为割线斜率,根据/(x)单调性，可知f(x)上是否存在平行于割线的

X]一工2

切线，则有/'偌)=即可判断；

国一了2

对D,设函数“X)的切线方程，代入(1M)可得a=2e'Te'+l,此时有两条切线等价于方

程有两个互异实根，令g(r)=2e'Te'+l,讨论g(f)的单调性、最值，即可判断”的范围.

【详解】尸(力=〃0户+萼，故:(0)=〃0)+粤，.•・广(0)=2/(0),

r(x)=/(O)(e'+l),

再由/'(l)=f(O)(e+l)=e+l,可得"0)=1,/'⑼=2,故"x)=e、+x,

尸(x)=e，+l>0,故/(x)在R上单调递增，

对A,在R上单调递增且〃0)>0,故不存在%«0,1),使得〃为)=0,A错；

对B,f'(x)=e'+l,在R上单调递增，故f(x)在R上增加得越来越快，图像下凸，故对

任意x尸马,都有〃丁)；“一)>/用斗B对；

对C,由上得，/(x)图像下凸，故/(X)图像上任意一条割线AB,必存在与AB平行，切

点为C值/⑷)的切线，此时尸⑷=必止3,即/(玉)-/(功=/'仁)&-々)，故

X\~X2

C对；

对D,设切点为«J。))，则切线方程为y—(e'+/)=(e'+l)(xT),将(La)代入得：

a=2e'-rez+1.要有两条切线，则方程有两个互异实根，

令g(/)=2e'-re'+l,则g'(f)=(l-f)e'，则当t<1时，g'⑺>0,g⑺在(―，1)上单调

递增；当，>1时，g'(r)<0,g⑺在(1,+8)上单调递减，故g(r)nlax=g(l)=e+l,

当了--8时，g(f)=(2-f)d+l7l；当x->+8时，g(z)=(2-r)e,+1->-<»,

答案第5页，共14页

故只需ae(l,e+1),即可使a=2e'-汨+1有两个互异实根，故D对.

故选：BCD

7

13.-##1.4

5

【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解.

【详解】因为随机变量X〜N(3,4),所以直线〃=3为正态曲线的对称轴，

而尸(X>3c-2)=P(X<2c+l),由正态分布的对称性可知，

----------------=3,解得c=g.

7

所以c的值为

,7

故答案为：y.

14.9

【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得.

【详解】由题可知，喜欢徒步的男生有500x0.6=300人，喜欢徒步的女生有450x0.4=180

人，

24

则女生应抽取人数为~^=9人.

300+180

故答案为：9

15.576

【分析】根据二项式定理展开式的通项特征，可确定共有4项次数为整数的项，根据相邻

问题捆绑法即可求解.

【详解】二项式(6+白,的展开式中，通项公式为乙广仁产子，因为?为整数，且

r=0,1,2,345,6,可得厂=0,2,4,6

展开式共有7项，其中x的次数为整数的项有4个，把展开式中的项重新排列，

则x的次数为整数的项相邻，即把4个整次数项捆绑看成一个整体，和3个次数为非整数

的项全排列，然后再考虑解绑，共有方法共有A：A：=576种，

故答案为：576.

16.-^―

eln2

【分析】由〃x)wo,可得(x+l)log4+l)-&(x+l)2M*叫20,同构函数g(x)=xOg2X,

答案第6页，共14页

结合函数的单调性，转化为数力="g?D的最大值问题.

【详解】由/(力=log2(x+l)-k*>0,可得(x+l)log2(x+l)-％(x+l)2MM>0

t+l

即(x+1)log2(x+l)Zk(x+l)2始可，(x+l)log2(x+l)>2Mx叫.log22*()

构造函数g(x)=xk)g2X,显然在(1,K>)上单调递增,

♦•一+1*2g)，即A4她也D,

X+1

令力(X)J°g2(X+l),即求函数的最大值即可，

X+1

h，(x\=山2一四式“+1)=1。8-1幅7+1),

I'(x+1)2(x+1)2

.•.在上单调递增，在(e-l,4w)上单调递减，

力(力的最大值为A(e-1)=焉

即%的最大值为贵

1

故答案为:

e/z?2

47

17.(l)y,Io

(2)没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异,

【分析】(1)根据已知条件得出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相

应的频率，即估计得出的概率；

(2)根据已知条件完成2x2的列联表，利用公式求得观测值与临界值比较即可求解.

(1)

由题意可知，据题意可知，50位男顾客对商场服务满意的有40人，

所以男顾客对商场服务满意率估计为K=治40=;4

因为50位女顾客对商场满意的有35人，

所以女顾客对商场服务满意率估计为g=三35='7.

⑵

由题意可知，由2x2的列联表如图所示

答案第7页，共14页

满意不满意合计

男顾客401050

女顾客351550

合计7525100

由列联表可知K2=1°°X(40X15-35x10)-=工1.333<3,841，

75x25x50x503

所以没有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异,

18.(l)c=-3；

(2)/(x)的最大值为0,最小值为T.

【分析】(1)由题意，根据/'(T)=(),解得c=—1或c=—3,然后分情况讨论即可求解;

(2)由(1)判断函数f(x)在区间［-4,0］上的单调性，然后根据单调性即可求解.

(1)

解：f\x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),

由/X-l)=(-1-c)(—3—c)=0得c=—1或c=一3,

当c=-3时,f(x)=x(x+31,尸(x)=(x+3)(3x+3),

令/(x)>0,可得x>T或x<-3,令/(x)<0,可得一3<x<—l,

所以函数/(x)在区间(—,-3)和(-1,田)上单调递增，在区间(-3,-1)上单调递减，

所以函数Ax)在x=-l处取得极小值；

当c=-l时，/(x)=x(x+1):f(x)=(x+l)(3x+1),

令/(x)>0,可得或x<T,令f(x)<0,可得-lev—,

所以函数/(X)在区间(—,-1)和+8)上单调递增，在区间［-1,-3)上单调递减，

所以函数/*)在X=-1处取得极大值，舍去；

综上，c=-3；

⑵

答案第8页，共14页

解：由(1)知函数f(x)在区间［-4,-3］和［-1,0］上单调递增，在区间［-3,-1］上单调递减，

又因为=-4,/(-3)=0,/(-1)=-4,/(0)=0,

所以.f(x)的最大值为0,最小值为T.

Q

19.(1)分布列见解析，数学期望为1.

小、392

(2)---

495

【分析】(1)依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4,求出对应的概率，即可列出分

布列、求出数学期望.

(2)总体中合格品的比例为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值

不超过;即样品中合格品的比例大于得小于

(1)

有放回的抽取R取到合格品)R取到次品)=-^~,

123123

根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4,

所以「(X=0)=域(号咱4=r,P(X=1)=c；(|)'(二Y,p(x=2)=C冶2(/w,

3Jo1JJo1JJoJ

P(X=3)=c：(|)3(1)'=j1,P(X=4)=Cj(|)44)°=界.

33o1JJo1

X的分布列为：

P01234

1883216

X

818?278?8?

所以X的数学期望E(X)=0XL+1XE+2XW+3X,+4X曾空.

o1ololo1o13

(2)

由题意得总体中合格品的比例为△=

因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过!，

所以样本中样品中合格品的比例大于且小于工，即样品中合格品的个数为2或3.

答案第9页，共14页

p(x=2)=等嘿，“加管啜

所以

p(样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过i)--+—=—

4495495495

20.⑴见详解;

(2)(3,加

【分析】(1)求导，分类解不等式(。)＞0可得；

(2)根据函数单调性分类求得/(X)max，然后解/(X)m"4。可得.

(1)

函数f(X)的定义域为(0,+8)

八%)=(m-x)lnx+(wu-—x2)---—%=(7??-x)(lnx+l)

2x2

当机＜0时，解不等式(加一x)(lnx+D＞0得0＜尤＜1,

e

当时，解不等式(加一x)(lnx+l)＞0得〃?＜不＜,，

ee

当机＞,时，解不等式(加一x)(lnx+l)＞。得,＜x＜〃2,

ee

当〃?=’时，不等式(〃z-x)(lnx+l)＞0无实数解.

e

综上，当，*＜0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)；

e

当04机＜！时，f(X)的单调递增区间为(〃?」)；

ee

当"?＞'时，/(X)的单调递增区间为d,〃?)；

ee

当〃?=［时，/a)无单调递增区间.

e

(2)

由(1)知，当/"＜一时，/(X)在口,+°°)上单调递减,所以l(X)max=f⑴=—■；，显然

e4

/(同40恒成立；

当时，在口,用)上单调递减，所以〃0皿=〃1)=—显然/(x)KO恒成

答案第1()页，共14页

当机＞1时，/(X)在上单调递增，在(丸E)上单调递减，所以

222

因为当x21时〃x)40恒成立，所以q-(21n/M-l)40,解得1＜加4五.

综上，实数机的取值范围为(-8,6]

21.(1)!

(ii)当。＜。＜1-5时，选择方案二；当1-表＜P＜1时,

(2)(i)2=八")=1一五

选择方案一.

【分析】(1)根据古典概型概率公式求解可得；

(2)根据两种方案的期望相等列方程，整理可得。=/(〃)；分别求出两种方案检验费用的

期望，作差构造函数，利用单调性可得.

(1)

将5份待检血液排成一排有父=120；

满足条件的排法：第一步，将两份选一份排在第三位有2种；

第二步，在第一、二位选一个空位排另一份患者血液有2种排法；

第三步，将剩余3份排成一排有父=6.

所以满足条件的排法共2x2x6=24.

所以恰好检验3次就能确定患病两人的概率为奇=(

(2)

(i)因为每个人都有可能患病，故方案一检验次数为定值〃：

记方案二检验次数为X,则X的取值为1,n+\

P(X=l)=(l-p)”,P(X=n+l)=l_(l_”

所以E(X)=(l-p)"+5+l)n-(l-p)”]

由题可知(l-p)"+(“+l)U-(l-p)"]=〃，即“(I-2)"=1,

整理可得P=1-亲，即/?=/(〃)=1一看

答案第11页，共14页

(ii)当〃=8时，记单次检验费用为x,

则方案一：检验费用为“X；

方案二：记检验费为匕则y的分布列为

YX(n+l)x

P(1-P)"l-(l-p)n

则£(y)=x(l-py+(〃+1)M1—(1Lp]"]=[n+l-M(l-p)B]x

E(Y)—nx=\n+\—n(\—p)"]x-nx=\\-n[\—p)"]x

记g(p)=l-〃(l-p)",因为"=8,所以g(p)=l-8(l-p)s

因为0<l-p<l,所以g(p)单调递增,

当1-表时，g(P)=O,

由(i)知,

所以当0<?<1-表时,

g(p)vO,则E(y)<nr；

当1-表<P<1时，g(p)>0,则E(y)>nx.

故当。<。<1-表时，选择方案二;当1-表<。<1时，选择方案一.

”小1蚯

22.(1)—<a<----

33

(2)/(x)有唯一零点.

【分析】(1)求出:⑺=_2a，…卜>0,q>；),然后令

g(x)=-lax3+x-“(x>0,a>g),利用导数可得函数g(x)在(0,；看)上单调递增，在

进而有g(x)1rax最后分g-和

g(X)mx>。两种情况进行讨论，并利用函数零点存在定理与函数极值的定义即可求解；

(2)由(1)知，当等时，”X)在(0,+8)上单调递减，由函数零点存在定理即可判断

答案第12页，共14页

f(x)在(0,M)上存在唯一的零点；当曰时，

f(x)=ln(O¥)-ax2+—„(ar-1)-ax2+—,令/i(x)=(办-1)-加+乌，利用函数零点存在