《反证法》公开课教学设计【高中数学】

4/4《反证法》教学设计教材分析教材分析本节课是反证法部分．证明一般包括直接证明与间接证明．“直接证明”的两种基本方法是综合法和分析法，它们是解决数学问题常用的思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点．所以，本节课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的过程．教学目标教学目标1．培养学生应用反证法证明简单问题的推理技能，能进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思考能力及解决问题的能力．2．了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题．3．培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思考能力．让学生在观察、探究、发现中学习，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．教学重难点教学重难点【教学重点】1.理解反证法的概念；2.体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤；3.用反证法证明简单的命题．【教学难点】理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．课前准备课前准备多媒体课件、黑板．教学过程教学过程复习导入上节课我们学习了用______，______直接证明问题的方法．但是有的问题是显然成立的或要分为多种情况进行讨论．我们再用直接方法就显得比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习或用间接的方法证明一个问题是成立的反证法．新课导入看故事并回答:中国古代有一个叫《路边苦李》的故事：王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子．小伙伴纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动，有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多李子，此必苦李．”小伙伴摘取一个尝了一口果然是苦李．王戎是怎么知道李子是苦的吗？答：_____________．他运用了怎样的推理方法？答：_______．新课讲解1．反证法（1）定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．（2）理解反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件、假设、定义、定理、公理、事实矛盾等．3.反证法可以适用的两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．4.反证法常用的“结论词”和“反设词”5.“反证法”与“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．这里所说的矛盾不是一味追求与原命题题设矛盾，还可以是与已知公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾等．(3)由反证法的定义可知反证法的一般步骤是：①反设：否定结论，即假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②归谬：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾的结果；③由矛盾判断出假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．教学例题1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论A．①②B．②③C．①②③D．①②④答案：C【解析】根据反证法的定义，推导过程中，不能把原结论作为条件使用，其他都可以．2．“实数a，b，c不全大于0”等价于()A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0答案：D【解析】“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于0”．3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，反设正确的是()A．假设三个内角都不大于60°B．假设三个内角都大于60°C．假设三个内角至多有一个大于60°D．假设三个内角至少有两个大于60°答案：B【解析】“至少有一个”的反面是“一个也没有”，即一个也没有不大于60°，也即都大于60°．4.用反证法证明：已知a，b均为有理数，且a和b都是无理数，求证：a

＋b证明：证法一：假设a

＋b为有理数，令a＋b

＝t，则a

＝t－a∴a

＝t∵a，b，t均为有理数，∴也是有理数．即a为有理数，这与已知a为无理数矛盾，故假设不成立.∴a

＋b证法二：假设a+b为有理数，则（a

+b）（a

-由于a＞0，b＞0，得a+b＞0.∴a-b=a-ba∵a，b为有理数，且a+∴a-ba+b为有理数，及a∴a+b

+（a即2a为有理数.从而a也应为为有理数，这与已知a为有理数矛盾，∴a+b一定为无理数.教学总结1.几何问题中适用反证法的类型①一些基本命题的和基本定理②唯一性命题③存在性命题2.反证法要处理好一个