高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景基本概念学案新人教A版必修4

2.1平面向量的实质背景及基本观点预习课本P74～76，思虑并达成以下问题向量是如何定义的？向量与数目有什么差别？如何表示向量？向量的有关观点有哪些？两个向量(向量的模)可否比较大小？(4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？(5)零向量与单位向量有什么特别性？0与0的含义有什么差别？[新知初探]1．向量的观点和表示方法观点：既有大小，又有方向的量称为向量．向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，字母表示：用小写字母a，b，c，表示，手写时一定加箭头[点睛]向量能够用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特别向量向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.1(3)特别向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确立方向．我们规定零向量的方向是随意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不必定同样．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向同样的向量，叫做相等向量，记作：a＝.b(2)平行向量：方向同样或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一直量平行．[点睛]共线向量只是指向量的方向同样或相反；相等向量指大小和方向均同样．[小试身手]1．判断以下命题能否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．( )(3)单位向量的模都相等．()(4)向量AB与向量BA是相等向量．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．有以下物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．此中能够当作是向量的个数( )A．1B．2C．3D．4答案：B3．已知向量a如下图，以下说法不正确的选项是( )A．也能够用MN表示B．方向是由指向MNC．始点是MD．终点是M答案：D如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有______．答案：AB，DC向量的有关观点[典例]有以下说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不一样的两个向量必定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，此中正确的序号为________．2[分析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；对于②，平行向量包含方向同样或相反两种状况，故②错误；对于③，向量能够用有向线段表示，但不可以把两者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数目，故④错误．[答案]①判断一个量能否为向量应从两个方面下手①能否有大小；②能否有方向．理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是随意的，全部的零向量都相等．②单位向量不必定相等，易忽视向量的方向．[活学活用]有以下说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向必定不同样；②若向量AB，CD知足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向同样或相反；④因为零向量方向不确立，故其不可以与任何向量平行．此中正确说法的个数是( )A．1B．2C．3D．4分析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向必定不同样，故①正确；对于②，因为向量不可以比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只好说明a，b的长度相等，确立不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一直量平行，故④错误．向量的表示[典例]在如下图的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出以下向量：3OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)因为点A在点O北偏东45°处，所以在座标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A地点能够确立，画出向量OA如下图．(2)因为点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在座标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B地点能够确立，画出向量AB如下图．因为点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依照勾股定理可得：在座标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C地点能够确立，画出向量BC如下图．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确立起点，再确立方向，最后依照向量模的大小确立向量的终点．必需时，需依照直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择适合的比率关系作出向量．[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米抵达B点，而后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米抵达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米抵达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如下图．4共线向量或相等向量[典例]如下图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OBb，OC＝c.与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？与a共线的向量有哪些？请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.找寻共线向量或相等向量的方法找寻共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再结构同向与反向的向量，注意不要遗漏以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．找寻相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确立哪些是同向共线．5层级一学业水平达标1．以下说法正确的选项是( )A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量分析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不单要求长度相等，还要求方向同样，故B错；C明显正确；共线向量能够是在一条直线上的向量，也能够是所在直线相互平行的向量，故D错．2.如图，在圆OOB，OC，AO是( )中，向量A．有同样起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量分析：选C由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，应选C.3．向量AB与向量BC共线，以下对于向量AC的说法中，正确的为( )A．向量AC与向量AB必定同向B．向量AC，向量AB，向量BC必定共线C．向量AC与向量BC必定相等D．以上说法都不正确分析：选B依据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量必定为共线向量，应选B.如图，在?ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个分析：选C依据向量的基本观点可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则以下各式正确的选项是( )6A．AO＝BOB．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1D．|AO|＝|BO|分析：选D因为a与b的方向不知，故AO与BO没法判断能否相等，故A、B选项均错．又AO与BO均为单位向量．∴|AO|＝|BO|，故C错D对．6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.分析：由勾股定理可知，223，所以|BC|＝3.BC＝AC－AB＝答案：37．设a0，b0是两个单位向量，则以下结论中正确的选项是________(填序号)．①0＝0；②a0＝－b0；③|0|＋|b0|＝2；④a0∥0.abab分析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③8．给出以下四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.此中能使a∥b建立的条件是________(填序号)．分析：若a＝，则a与b大小相等且方向同样，所以∥；若||＝||，则a与b的babab大小相等，而方向不确立，所以不必定有a∥b；方向同样或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与随意愿量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④如图，O是正方形ABCD的中心．写出与向量AB相等的向量；写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.一辆消防车从A地去B地履行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，而后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米抵达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才抵达B地．(1)在如下图的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如下图．(2)由题意知AD＝BC.7所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标如下图，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则以下等式建立的是( )A．AD＝BCB．AC＝BDC．PE＝PFD．EP＝PF分析：选D依据相等向量的定义，剖析可得：A中，AD与BC方向不一样，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不一样，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向同样，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．以下说法正确的选项是( )A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．终点同样的两个向量不共线C．若a≠b，则a必定不与b共线D．单位向量的长度为1分析：选DA中，因为零向量与随意愿量平行，若b＝0，则a与c不必定平行．B中，两向量终点同样，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向同样或相反，所以a与b可能共线．3．若a为任一非零向量，b为单位向量，以下各式：|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.此中正确的选项是( )A．①④B．③C．③④D．②③分析：选Ba为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的观点易判断其余式子均错误．应选B.4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如下图的向量中相等向量有( )A．一组B．二组C．三组D．四组8分析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.5．四边形ABCD知足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．分析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量AD相等的向量为________；与向量OA共线的向量为__________；与向量OA的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)分析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与AD相等的向量为OC；与OA共线的向量为DC，EB；与OA的模相等的向量为OB，OC，DC，EB，AD.答案：OCDC，EBOB，OC，DC，EB，AD7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量．写出图中所示向量与向量FD相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE，FD共线的向量．解：(1)与DE长度相等的向量是EF，FD，AF，FC，BD，DA，CE，EB.与FD相等的向量是CE，EB.与DE共线的向量是AC，AF，FC；与FD共线的向量是CE，EB，CB.8．如图，已知函数y＝x的图象l与直线平行，2，mA0，－2B