2022届重庆市南开中学高考冲刺六数学（文）试题

/18/18/2022届重庆市南开中学高考冲刺六数学（文）试题一、单选题1．若集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】化简集合，即求函数的定义域，按照并集的定义，即可求解.【详解】,.故选:D.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．下列复数运算结果为纯虚数的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】分别求出各选项的值，即可求解.【详解】，选项A错误；，选项B错误；，选项C正确；，选项D错误.故选:C.【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.3．，，若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出的坐标，根据向量坐标加法法则，即可求解.【详解】，.故选:B.【点睛】本题考查向量的线性关系，以及坐标表示，属于基础题.4．从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出从四个数中一次随机取两个的所有情况，统计出所取2个数乘积为奇数的个数，即可求解.【详解】从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，有以下情况：，共有6种取法，其中积为奇数的有，1种取法，所以概率为.故选:A.【点睛】本题考查古典概型的概率，正确列出所有基本事件是解题的关键，属于基础题.5．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．0 B．1 C． D．4【答案】D【解析】做出可行域，根据可行域图形，即可求解.【详解】做可行域，如下图所示：当目标函数过时，取得最大值为.故选:D.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.6．已知，，则“”是“表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先要理解椭圆方程的基本形式，再利用两个命题的关系即可得出必要不充分．【详解】当且时，表示圆，充分性不成立；当表示椭圆时，且，必要性成立，所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件，故选B．【点睛】本题考查了椭圆方程的基本形式，以及命题之间的关系．7．在下列函数中，与最小正周期相同的函数为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据已知可得最小正周期为，逐项求出或利用图像求出函数的周期，即可得出结论.【详解】周期为，选项A不正确；周期为，选项B不正确；做出图像，不是周期函数，选项C不正确；周期为，正确.故选:D.【点睛】本题考查三角函数的周期，要注意带有绝对值函数的图像变化，属于基础题.8．把“正整数除以正整数后的余数为”记为，例如.执行如图的该程序框图，输出的值为（）A．32 B．35 C．37 D．39【答案】C【解析】由流程图一步步向后判断推理即可.【详解】解：输入值，第一次判断为否，得；第二次判断为否，得；第三次判断为是，然后第一次判断为否，得；第四次判断为否，得；第五次判断为否，得；第六次判断为否，得；第七次判断为否，得；第八次判断为是，然后第二次判断为是，得到输出值故选：C.【点睛】本题考查了流程图中的循环结构，属于基础题.9．已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于()A．10 B．9 C．8 D．5【答案】D【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.10．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠；(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是A．413.7元 B．513.7元 C．546.6元 D．548.7元【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元．当购买价值500元的物品时实际付款为，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为元．若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款元，故选C11．已知双曲线右焦点为F，O为坐标原点，右支上存在一点P使得为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】由已知求出点坐标，利用双曲线定义，求出关系，即可求解.【详解】设双曲线的左焦点为，点P在双曲线右支上，且为等边三角形，所以，点坐标为，所以，.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的性质，灵活应用双曲线的定义是解题的关键，属于基础题.12．已知正四面体的棱长为6，点P在内(不含边界)，若，则面积的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知结合体积公式，可求出点到平面的距离等于点到平面的距离距离的，确定点在过的重心与平行，且在内的线段，即可求解.【详解】设到平面距离为，到平面距离为，，，点在过的重心与平行且在内的线段，分别为边靠近的三等分点，此时.故选:B.【点睛】本题以体积为背景考查点的轨迹，解题关键要把空间问题转化为平面关系，考查空间想象能力，以及分析问题、解决问题的能力，属于较难题.二、填空题13．已知点，均在指数函数的图象上，则m的值为_________.【答案】2【解析】由点坐标求出指数函数解析式，将点坐标代入解析式，即可求解.【详解】设所求的指数函数为，在指数函数图像上，，代入解析式得.故答案为:2.【点睛】本题考查指数函数的定义及应用，属于基础题.14．已知，则________.【答案】【解析】由已知用两角差的正切公式，求出，再用诱导公式，即可求解.【详解】，解得，.故答案为:.【点睛】本题考查三角变换以及诱导公式求值，解题关键要熟记公式，属于基础题.15．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________.【答案】【解析】三视图还原为直观图，将三棱锥补成边长为的长方体，求出长方体的外接球的表面积，即可得出结论.【详解】由三视图得三棱锥直观图如下所示：其中两两互相垂直，将三棱锥补成以为边长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，长方体的外接球的直径为长方体的对角线，即为，所以外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图与直观图的关系，考查多面体与球的切、接问题，解题的关键用割补法将问题转化为熟悉的图形，属于基础题.16．曲线在点处的切线与相切，则_________.【答案】4【解析】对函数求导，求出切线斜率，用直线的点斜式求出切线方程，对函数二次项系数是否为0分类讨论，当时，切线方程与联立，消元得到关于的一元二次方程，令，即可求解.【详解】，曲线在点处的切线方程为，当时，函数为，不合题意舍去，当时，将切线方程代入，整理得或（舍去）.故答案为:4.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及用代数的方法研究直线与曲线的关系，考查分类讨论思想，属于中档题.三、解答题17．已知是递增的等比数列，若，且成等差数列.（1）求的前项和；（2）设，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用等差中项可得,再利用等比数列的通项公式代入求得,可代回中求得,进而由公式求解即可；（2）由（1）可得,则,从而求和即可证明【详解】（1）设递增数列的公比为,由,,成等差数列,可得,即,则,解得（舍）或,又因为,可得,所以,所以（2）证明：由（1）可得,所以数列是递增数列,所以,又因为,,综上所述：【点睛】本题考查求等比数列的前项和,考查等差中项的应用,考查放缩法证明数列的不等式18．如图,在三棱锥D﹣ABC中,O为线段AC上一点,平面ADC⊥平面ABC,且△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.(Ⅰ)求证:AC⊥BD;(Ⅱ)将△BDO绕DO旋转一周,求所得旋转体的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)16π【解析】(Ⅰ)推导出，取AO中点E,连结DE?BE,，则，从而AC⊥平面BDE，即可得证(Ⅱ)由题意将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥，即可求出旋转体的体积.【详解】(Ⅰ)证明:∵△ADO,△ABO为等腰直角三角形,斜边AO=4.∴DO⊥AD,BO⊥AB,AD=DO=AB=BO=4,取AO中点E,连结DE?BE,如图,则DE⊥AC,BE⊥AC,且DE∩BE=E,∴AC⊥平面BDE,又BD?平面BDE,∴AC⊥BD.(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥AC,∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,∴DE⊥平面ABC,∴△BDE是直角三角形,∵△ADO,△ABO是直角三角形,斜边AO=4,∴BO=DO=4,DE=2,BE=2,∴将△BDO绕DO旋转一周,所得到的旋转体是以2为底面半径,2为高的两公共底面的锥,∴将△BDO绕DO旋转一周所得旋转体的体积为:16π.【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，旋转体的体积求法，考查空间线线、线面、面面的位置关系，属于中档题.19．某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:配方的频数分布表:指标值分组[90,94）[94,98）[98,102）[102,106）[106,110]频数82042228配方的频数分布表:指标值分组[90,94）[94,98）[98,102）[102,106][106,110]频数412423210（1）分别估计用配方、配方生产的产品的优质品率;（2）已知用配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值的关系为,估计用配方生产的一件产品的利润大于的概率,并求用配方生产的上述件产品的平均利润.【答案】（1）,（2）,元【解析】(1)根据某种产品的质量用其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,根据评论计算公式即可求得答案.(2)由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于当且仅当其质量指标值,由试验结果知,质量指标值的频率为,用配方生产的一件产品的利润大于的概率约为,即可求得答案.【详解】(1)由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为用配方生产的产品中优质品率的估计值为由试验结果知,用配方生产的产品中优质品的频率为用配方生产的产品中优质品率的估计值为(2)由条件知,用配方生产的一件产品的利润大于当且仅当其质量指标值由试验结果知,质量指标值的频率为.用配方生产的一件产品的利润大于的概率约为.用配方生产的件产品的平均利润为(元).【点睛】本题考查了求数据的频率和用频率解决实际问题,解题的关键是掌握频率的基础知识,考查了分析能力和计算能力.20．已知椭圆的离心率为，长轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于直线的直线过椭圆的右焦点．【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：由题意得解得，由此解得，即可得到椭圆的方程；（2）由题意知，圆的方程为．设，，．由，因为，所以．当时，，直线的方程为，直线过椭圆的右焦点．当时，直线的方程为，整理得，直线过椭圆的右焦点．试题解析：（1）由题意得解得．所以．所以椭圆的方程为．（2）由题意知，圆的方程为．设，，．由，得，即，即．因为，所以．当时，，直线的方程为，直线过椭圆的右焦点．当时，直线的方程为，即，即，直线过椭圆的右焦点．综上所述，直线过椭圆的右焦点．21．已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，是的两个零点，求证:.【答案】（1）上单调递减，上单调递增.（2）证明见解析【解析】（1）对函数求导，求出的解，即可得出结论；（2）由（1）求出函数有两解满足的条件，再利用零点存在性定理求出其中一个零点，要证，只需证，即证，根据式子特征，通过构造函数，，证明，得出，即可证明结论.【详解】（1）由条件可知，函数的定义域是.由可得.当时，当时，；当时，，则在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，在上单调递减，在上单调递增.所，①当时，即，此时至多1个零点，故不满足条件；②当，即，即，因为在上单调递增且，所以，所以在上有且只有1个零点，则；当时，令，则，在上单调递减，在上单调递增.所以，所以，，又因为当时，所以，，又因为在上单调递减，所以在有且只有一个零点，则，所以，所以.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间、极值、零点，以及零点存在性定理应用，考查函数零点的特征，解题的关键要合理构造函数，属于较难题.22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，)，若以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为，直线l与曲线