材料力学中平截面假定的检验

材料力学中平截面假定的检验定义平截面假定：垂直于杆件轴线的各平截面（即杆的横截面）在杆件受拉伸、压缩或纯弯曲而变形后仍然为平面，并且同变形后的杆件轴线垂直。目的检验平截面假定是否合理。对于图1所示的受力梁，用弹性力学理论知识，取以下五个截面作检验。图1梁的受力简图方法分别用材料力学和弹性力学知识，计算梁截面变形后的水平和竖直位移公式；用matlab软件画出位移图像； 分析两种计算方法之间的偏差。设定弹性模量，剪切模量，泊松比，长度，高度，宽度的值并计算出惯性矩的值分别如下：分析对于图1所示的受力梁，在材料力学中，根据平截面假定，我们可以得到挠曲线的近似微分方程对于图1所示的梁，有且有边界条件，当时，有，.由此可以求得挠度方程为挠度值也就是竖直方向上的位移，即有（1）图2梁的变形示意图如图2所示，又有几何关系有因为是小变形，有又所以有，因此，水平方向的位移（2）由弹性力学可以推导出水平方向位移为（3）竖直方向位移为（4）将各参数的值分别代入公式（1）（2）（3）（4）中，用matlab软件画出位移图像，图像中，蓝色线（或）为弹性力学的结果，红色线（或）为材料力学的结果。横坐标为高度值（即y值）的变化，纵坐标为位移值。截面1.水平位移图像程序x=0;y=(-0.1:0.01:0.1)u1=-(10^4*x^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(0.3*10^4*y.^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*y.^3)/(6*80*10^9*1/(3*10^3))+((10^4*2^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*0.1^2)/(2*80*10^9*1/(3*10^3)))*y;u2=-(10^4*x^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3));plot(y,u1,'b',y,u2,'r:');其它截面，只需将第一个程序段改为相应的值即可。图3截面上的水平位移图4截面上的水平位移图5截面上的水平位移图6截面上的水平位移图7截面上的水平位移截面2.竖直位移图像程序x=0;y=(-0.1:0.001:0.1);v1=(0.3*10^4*x*y.^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*x^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*2^2*x)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^3)/(3*208*10^9*1/(3*10^3));v2=(10^4*x^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*2^2*x)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^3)/(3*208*10^9*1/(3*10^3));plot(y,v1,'b',y,v2,'r:')其它截面，只需将第一个程序段改为相应的值即可。图8截面上的竖直位移图9截面上的竖直位移图10截面上的竖直位移图11截面上的竖直位移图12截面上的竖直位移从以上位移图像看出，弹性力学和材料力学所计算得出的结果相差很小，最大的偏差数量级也达到，在五个截面上，随着值的增大，水平位移偏差越来越大，竖直位移偏差越来越小。3.绝对误差（偏差）直接将公式（1）和（4）作差，（2）和（3）作差，即可得到位移偏差的公式水平方向的位移偏差公式竖直方向的位移偏差公式4.相对误差水平方向位移的相对误差，竖直方向位移的相对误差为.用matlab软件绘制出相对误差图像(由于误差非常小，为了能从图像中显示出来，所以将其扩大10^6倍)4.1水平方向位移相对误差计算x=0;y=(-0.1:0.0001:0.1);a=((-(0.3*10^4*y.^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*y.^3)/(6*80*10^9*1/(3*10^3))+(-(10^4*0.1^2)/(2*80*10^9*1/(3*10^3)))*y)/(-(10^4*x^2*y)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(0.3*10^4*y.^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*y.^3)/(6*80*10^9*1/(3*10^3))+((10^4*2^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*0.1^2)/(2*80*10^9*1/(3*10^3)))*y))*10^6;plot(a,y,'b');其它截面，只需将第一个程序段改为相应的值即可。图像横坐标代表相对误差值，纵坐标代表高度值。图13截面的水平位移相对误差图14截面的水平位移相对误差图15截面的水平位移相对误差图16截面的水平位移相对误差图17截面的水平位移相对误差4.2竖直方向位移相对误差计算x=0;y=(-0.1:0.0001:0.1);b=(((0.3*10^4*x*y.^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3)))/((0.3*10^4*x*y.^2)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*x^3)/(6*208*10^9*1/(3*10^3))-(10^4*2^2*x)/(2*208*10^9*1/(3*10^3))+(10^4*2^3)/(3*208*10^9*1/(3*10^3))))*10^6;>>plot(b,y,'b')图18截面的竖直位移相对误差图19截面的竖直位移相对误差图20截面的竖直位移相对误差图21截面的竖直位移相对误差图22截面的竖直位移相对误差结论综上所述，五个截面的位移相对误差如表1所示表1位移相对误差水平位移相对误差0.54%0.54%0.54%0.72%100%竖直位移相对误差00.002%0.0044%0.06%100%从表1的数据可以看出，除固定端外，其它截面的相对误差都很小。对于图1的受力梁，除了受到弯矩外，还有剪力的作用。