棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计、导学案、同步练习

《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法.B.会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积..数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积.【教学过程】教学过程教学设计意图教学过程1.北京奥运会场馆图一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。.北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园.经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩.能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？通过思考，得到棱柱的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？通过思考，得到棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。通过思考，得到棱锥、棱台的表面积的求法，提高学生的解决问题、分析问题的能力。侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积?通过例题，熟悉棱柱的表面积的求法，提高学生解决问题的能力。【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。通过例题，熟悉棱柱的表面积的求法，提高学生解决问题的能力。.结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a,求它的表面积。解：因为APBC是正三角形，其边长为a,所以，S =—bBC2sin60o=^—a2APBC2 4通过思考，推出棱台的体积公式，提高学生的分析、概括问题的能力。因此,四面体p-ABC的表面积S=4x>2r3a2通过思考，推出棱台的体积公式，提高学生的分析、概括问题的能力。.一般棱柱的体积公式也是V=Sh,其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一。V=3sh。通过思考，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。通过思考，推出棱柱、棱锥、棱台的体积之间的关系，提高学生的分析、概括问题的能力。思考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？【答案】由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差.得到棱台的体积公式。1...—— .一V=V—V =-（S'+vSS+S）hP一ABCD P一A'B'C'D'3

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?通过例题巩固棱柱、棱锥的体积求法，提高解决问题的能力。思考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?通过例题巩固棱柱、棱锥的体积求法，提高解决问题的能力。例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm，公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3）？解：由题意知A'解：由题意知A'TOC\o"1-5"\h\zV长方体ABCD-4BCD=1义1义二 m3)V棱锥P一ABCD1……1,、=一义1*1*0.5=V棱锥P一ABCD3 61 1 2 0、所以这个漏斗的容积V +=-«0.67（m3）。2 63三、达标检测1.判断正误⑴锥体的体积等于底面积与高之积.（）⑵台体的体积，可转化为两个锥体体积之差.（）⑶正方体的表面积为96,则正方体的体积为⑵台体的体积，可转化为两个锥体体积之差.（）⑶正方体的表面积为96,则正方体的体积为64.（）【答案】（1）X（2）V（3）V2.如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1,则三棱锥DACD的体1111通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。积是（）【答案】A1B-3D.【答案】A1B-3D.1【解析】三棱锥D1ADC的体积V=；Sn1 1Hix2=6•故选a。.已知高为3的棱柱ABCAB1cl的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥耳ABC的体积为（1B-乙［答案］D.把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为.【答案】18a2【解析】原正方体的棱长为a,切成的27个小正方体的棱长为A.4-a2X27=18a2.A.4-a2X27=18a2.5.如图所示，三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱，且PA,PB,PC两两互相垂直，又PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥PABC的体积V.1 2个小正万体的表面积S=&2*6=产2,所以27个小正万体的表面积是19 3

匕片 月【解析】三棱锥的体积V=：Sh,其中$为底面积，h为高，而三棱锥3的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，APAC作为底面求解.故V=[S/aCPB=|x2x2X4X3=4.四、小结.棱柱、棱锥、棱台的表面积；.棱柱、棱锥、棱台的体积。五、作业习题&3 1,2题通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。【教学反思】本节应多让学生动手，多做几个模型，从而能更好地理解及记忆棱柱、棱锥、棱台的侧面积、体积公式。《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》导学案【学习目标】.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法;.会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积.【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积.【知识梳理】.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的 ..棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式旷=（S为底面面积，h为高）；棱锥的体积公式旷=。（S为底面面积，h为高）；棱台的体积公式旷=.其中，台体的上、下底面面积分别为s,、S,高为h.【学习过程】一、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？思考2：棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？思考3：棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？.结论：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.例1.四面体P-ABCD的各棱长均为a,求它的表面积。.一般棱柱的体积公式也是V=Sh,其中S为底面面积，h为高（即两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离。「1，.棱锥的体积是与它同底同高的棱柱的体积的三分之一，即v3sh。棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离。考4：根据台体的特征，如何求台体的体积？考5：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5cm,公共面ABCD是边长为1cm的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精准到0.01m3)?【达标检测】1.判断正误⑴锥体的体积等于底面积与高之积.（）⑵台体的体积，可转化为两个锥体体积之差.（）⑶正方体的表面积为96,则正方体的体积为64.（）1A.611A.61B-32.如图所示，正方体ABCDAy1cpi的棱长为1,则三棱锥D1ACD的体积是（）1c.-乙的体积为（）1c.-乙的体积为（）1A.4D.1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1ABC1

B-2C品C品6.把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为,

.如图所示，三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱，且PA,PB,PC两两互相垂直，又PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥PABC的体积V.参考答案:思考1.侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。【答案】棱锥的侧面展开图是几个三角形。表面积是侧面展开图的面积加上底面积。思考3.【答案】侧面展开图为几个梯形，表面积为侧面几个梯形面积的和再加上上下底面面积。1 3例1.解：因为"BC是正三角形，其边长为a,所以，S =-xBC2sin600=—a2APBC2 4

3因此，四面体P-ABC的表面积S=4xa2=v3a24思考4.由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差.得到棱台的体积公式。1 ..一V=V—V =-(S'+、SS+S)hP一ABCD P一A'BCD'3棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离。思考5上期大思考5上期大例2.1.解：由题意知V长方体ABCD-A，BCD:1"1"二gm3)TOC\o"1-5"\h\z1,、V --x1x1x0.5=—(m3)棱锥P-ABCD 3 61 1 2 …、所以这个漏斗的容积V=工+— ^0.67(m3)。6 3达标检测.【答案】(1)X(2)V(3)V.【答案】A【解析】三棱锥DADC的体积V=；SaA册DD—xJxADxDCxDdVxL1.故选A。1 3aadc1 32 1326.［答案］D.【答案】18a2【解析】原正方体的棱长为a,切成的27个小正方体的棱长为3,每个小正方体的表312 2面积S=-a2X6=7；a2,所以27个小正万体的表面积是$a2X27=18a2.19 3 35.【解析】三棱锥的体积V=；Sh,其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都3

可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，APAC作为底面求解.故V=3saaCpb=3X2X2X4X3=4.《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习一、选择题.若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是（）.A.130 B.140 C.150 D.160.若正方体的棱长为\；2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为D.A.D..长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,对角线长为；,14,则这个长方体的体积为（）A.6B.12A.6B.12C.24D.484.三棱柱ABC4.三棱柱ABC—A1B1cl中，/BAC=90。，AB=AC=a,/叫B]=/AA1cl=60°,/BB1c厂90°,侧棱长为b，则其侧面积为（ ）A.B,宜A.B,宜dab2C.(3+、，2)ab D.空手a.（多选题）下列结论中，正确的是（ ）"S棱柱疝c（其中,为底面周长,/为棱柱侧棱长）仅适用于正棱柱。B.在棱柱ABC—ABC中，v=vC.在正棱锥P—ABCC.在正棱锥P—ABC中，h为斜高）h为斜高）S二—ch（其中c为底面周长，侧2D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。6.（多选题）如图，直三棱柱ABC-A]B1cl中，仆=2，AB=BC=1，/ABC=90°，侧面AAC1C中心为0,点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）A.直三棱柱侧面积是4A.直三棱柱侧面积是4+2<21B.直三棱柱体积是3C.三棱锥E-AAO的体积为定值 D.AE+EC的最小值为2J2三、填空题7.如图，长方体ABCD7.如图，长方体ABCD—ABCD1111的体积是120,E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A1q作一个平行于棱C1C的平面A1B1EF，记平面分三棱台两部分的体积为匕（三棱柱A1B1C1-FEC），V2两部分，那么“匕二——B.正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为13cm,则它的侧面积为..已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6,AB=4,点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是，三棱柱的体积为。

四、解答题.如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm,侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO,且ZOPE=30。，求该四棱锥的侧面积和表面积..现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P—ARCR,下部的形状是正四棱柱ABCD—ARCR（如图所示），并要求正四棱柱的高QO是正四棱锥的高PO的4倍，若AB=6m,PO=2m,则仓库的容积是多少？《8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步练习答案解析、选择题若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5,它的对角线的长分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是（）.A.130B.140A.130B.140C.150D.160【答案】D【解析】设直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C=9,BD1=15,因为&A1平面ABCD,ACu,平面ABCD，所以^A±AC,

在RtAA^AC中，AA=5，可得AC、A^C2—AA2=.<56,11 1 1同理可得BD=、DB2-DD2=<200=10<2,1 1因为四边形ABCD为菱形，可得AC,BD互相垂直平分，所以AB=所以AB=（（2AC）2+（2BD）2=<14+50=8,即菱形ABCD的边长为8,因此，这个棱柱的侧面积为S=(AB+BC+CD+DA)xAA1=4义8*5=160，故选D.若正方体的棱长为“5，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()2A.2A.—6bT3【答案】B2的四棱锥的体积和，故选B.【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为1,的四棱锥的体积和，故选B.2一个四棱锥体积V=1x1x旦=豆，故八面体体积V=2V=立,13 2 6 13长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,对角线长为；,14,则这个长方体的体积为()A.6 B.12 C.24 D.48【答案】D【解析】•・•长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3,，设三条棱长分别为k,2k,3k则长方体的对角线长为\k2+(2k?+(3k卞=k、14=2v14・•・k=2长方体的长宽高为6,4,2・•・这个长方体的体积为6X4X2=48故答案为48应选D4.三棱柱ABC4.三棱柱ABC—A1B1cl中，/BAC=90。，AB=AC=a，/AAB=/AAC=60°，11/BB1c]=90°，侧棱长为b，则其侧面积为（ ）3v3abA. 3v3abA. 4B.三ab2C.D,也在ab2【答案】C【解析】如图由已知条件可知，侧面【答案】C【解析】如图由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AAC1C为一般的平行四边形，侧面BB1cle为矩形.在A在AABC中，/BAC=90°AB=AC=a,・•・BC八尤a，・•・S矩形bccB1:/AAB:/AAB=/AAC=60°11AB=AC=a,3.•.点B到直线AA的距离为asin60°=——a.1 2・•・S=・•・S=S=立ab.四边形AA1C1C 四边形AA1B1B 26.（多选题）下列结论中，正确的是（BS棱柱疝c（其中,为底面周长,,为棱柱侧棱长）仅适用于正棱柱。B.在棱柱ABC—A'BC中，v=vA'-ABC B'一ABCC.在正棱锥P-ABC中， 1S=—ch（其中c为底面周长，h为斜高）侧2

D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。【答案】BC【解析】直棱柱的侧面积是底面周长乘以侧棱长，选项A错；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错。故选BC。6.（多选题）如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=2，AB=BC=1，/ABC=90。，侧面AA1侧面AA1c1c中心为。，点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列判断，正确的是（ ）1A.直三棱柱侧面积是4+242 B.直三棱柱体积是3C.三棱锥E-AAO的体积为定值 D.AE+EC的最小值为2V2【答案】ACD【解析】在直三棱柱ABC—A]B1cl中，仆=2,AB=BC=1,/ABC=90。底面ABC和A1B1cl是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1X2X2+Y12+12x2=4+2V2，故A正确；直三棱柱的体积为V—SAA=~x1x1x2=1，故B不正确；AABC1 2S=1X.QX2=巡AAA-p4 2由BB”平面AA1cle，且点E是侧棱BBS=1X.QX2=巡AAA-p4 2•••VE一"二3x¥x子=1，故c正确;设BE=x£〔0,21则普=2_*，在RtAABC和RtAEB1cl中，.'AE+EC「<1+x2+、1+(2-x)2.由其几何意义，即平面内动点（x，1）与两定点（0,0），（2,0）距离和的最小值，由对称可知，当E

为BB1的中点时，其最小值为%；52W=2v,2，故D正确.故选：ACD.三、填空题7.如图，长方体ABCD—ABCD三、填空题7.如图，长方体ABCD—ABCD1111的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD【答案】10.【解析】因为长方体ABCD-A1B1clD1的体积为120，所以AB-BCCCj120，因为E为CC1的中点，所以CE=1CC1，由长方体的性质知CC11底面ABCD，所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高，「- 「11 所以三棱锥E-BCD的体积V=-x-AB-BC-CE=J/11 1 1=_义_AB-BC--CC=义120=1032 2112 .8.如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边A1q作一

个平行于棱CC的平面aB1EF，记平面分三棱台两部分的体积为匕（三棱柱ABF「FEC），V2两部分，那么V：匕二一【答案】3：4【解析】设三棱台的高为h，上底面的面积是S，则下底面的面积是4S，ShT7ShT77—Sh—Sh37 ..V—Sh,..—i.•.V,―-h(S+4S+2S)=-Sh， 1 ,V台3 3 2故答案为：3:4..9.正六棱柱的高为5cm,最长的对角线为13cm,则它的侧面积为【答案】180cm2【解析】设正六棱柱的底面边长为acm,则底面上最长对角线长为2acm,(cm2).所以由\；52+（2a>=13,解得(cm2).所以侧面积为5x6a=5x6x6=180故答案为180cm210.已知正三棱柱ABC—A^1cl的高为6,AB=4,点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1