两角差的余弦公式(说课稿)

《两角差的余弦公式》说课稿（人教A版高中课标教材数学必修4第三章第3.1.1节）说课人谭雪峰我说课的内容是：人教版（A版）高中数学必修4第三章第1节《两角差的余弦公式》，我将从教材、教学目标、教法学法、教学问题诊断、教学过程、教学评价等六个方面展开分析。一、教材分析：教材的地位与作用：“两角差的余弦公式”是数学必修4第三章第一节第一课时的内容。它是三角函数线和诱导公式等知识的延伸，是两角和与差的正弦、余弦、正切，以及二倍角公式等知识的基础。对三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等问题的解决有重要的支撑作用。学情分析学生已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力毕竟有限，要发现并证明公式C（a_w有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。教材处理遵循教材安排意图为原则，让学生体会由特殊到一般的思维过程，即先用数形结合的思想，借助单位圆中的三角函数线，推出角a，B，a—B均为锐角时公式成立。对于a，B为任意角时的情况，运用向量的知识进行探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握。然后通过有梯度的练习、变式训练、分层作业等巩固公式。教学■点、难点重点：两角差的余弦公式的推导过程及简单应用难点：两角差的余弦公式的猜想与推导，探索过程的组织和引导。二、目标分析：根据《普通高中数学课程标准》（实验）和新课改的理念，为了体现新课标让学生经历“学数学，做数学，用数学”的理念，我从知识、能力和情感三个方面制订了教学目标。1.知识目标.掌握运用单位圆中的三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式..掌握公式的结构和特点，能够简单运用公式.2・能力目标.在公式探究过程中体会从特殊到一般，数形结合、分类讨论等多种数学思想..通过公式的探究、灵活运用，培养学生分析问题、解决问题的能力.情感目标.通过公式的推导论证过程，培养学生学习数学的严谨、求实的科学态度..让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.三、教法学法分析1.说教法.通过实际生活问题引入课题，为公式学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生的求知欲。.运用三角函数线和向量的方法推导两角差的余弦公式的过程中，鼓励学生主体探究、合作交流同时，通过启发式提问，充分发挥教师的主导作用。.采用多媒体等现代教学手段，增强教学简易性和直观性。.通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，让学生对知识掌握逐步提高。2龄法.教师在课前让学生简单复习一下本课要用到的一些知识点，如三角函数线，向量的数量积等。.在学生自主探究过程中，教师要从某些角度引导学生去发现公式，应该给出一些证明方法的提示性问题，引导学生去推导公式。四、教学问题诊断分析两角差的余弦公式的猜想与发现是一个难点.让学生用特殊值验证而发现问题。用三角函数线推导公式时，辅助线的添加对学生的思维有很高的要求，因为学生可能不明白为什么要添辅助线和如何添辅助线，也不会想到用“割补法”求正弦线、余弦线.这时一要让学生联系与这个内容相关的已学知识，二要联系数形结合思想，教师通过提问引导推证过程，学生做到理解就可。用向量法证明两角差的余弦公式多数学生也难以想到.教师需要在引导学生仔细观察cos（以-0）=cos以cosP+sin以sinP的构成要素和结构特征的基础上，联想到单位圆上点的坐标特点和向量的数量积公式，努力使数学思维显得自然、合理。用向量方法证明两角差的余弦公式时，学生容易犯思维不严谨的错误，教学时需要引导学生明白两角差与相应向量的夹角关系。五、教学过程分析数学教学是数学活动的教学。因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节：1.创设情境，导入新课［引例］某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米，在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视发射塔的视角(/CAD)约为45°.求这座电视发射塔的高度.【设计意图】从课本章头实际问题作为情境，引入课题，这有利于强调数学与实际的联系，增强学生的应用意识，激发学生学习的积极性。同时提出本章的研究课题。⑴.实际问题中存在研究像tan(45°+a)这样包含两个角的三角函数的需要；⑵.实际问题中存在研究像sina与tan(45°+a)这样包含两角和的三角函数与单角a，45°的三角函数的关系的需要；2.探索公式，建构新知⑴.问题：如何用角a、B的正弦、余弦值来表示cos(a—B)呢？从而引入本节课的课题两角差的余弦公式。凭直觉得出cos(a—B)=cosa—cosB是学生经常出现的错误。引导学生利用特殊角检验，产生认知冲突，从而激发学生探究两角差的余弦公式的兴趣。引导探究：研究三角函数问题，我们常用的一种方法就是利用单位圆，在单位圆中，角的正弦值、余弦值可用正弦线、余弦线来表示.TOC\o"1-5"\h\z⑵.引导学生讨论最简单的情况：a、p为锐角，且以＞。，作出单位圆后，提出问题让学生思考：/怎样作出角a、B、a—B?/怎样作出角a—B的余弦线？//冷(角a、B的正弦值、余弦值如何在图中表示出来？/「幻)得到余弦线后，它等于哪些线段的和？t—这些线段与角a、B的正弦线余弦线有何关系？\7

让学生利用几何直观寻求余弦线的表示，通过合作、交流、讨论，教师引导学生得出结论：cos(a-0)=cosacosP+sinasinP⑶.提问：当a、B取任意角的时候，所得公式是否成立？此时仍用三角函数线法推证是否合适？引导学生仔细观察公式的结构特征，从向量的数量积的角度思考并证两角差的余弦公式，从而引出向量法推证方法。教师提问引导学生思考：设角。，8的终边与单位圆的交点分别为A、B，则A、B的坐标？向量OA，OB的坐标是什么？OA，OB的数量积用坐标运算的表示式是怎样的？OA，OB的数量积用定义如何计算？OA，OB的夹角0与角a、B的关系如何？与角a、B终边位置有关吗?【设［十意图】教师通过提问引发学生思考，并让学生分组活动，相互讨论，合作学习，运用从特殊到一般、数形结合等数学思想将问题层层深入，最后达到推导的完备。从而让学生体验探究的过程，锻炼学生的思维品质。认识公式，深化理解提问：⑴,细心观察公式的结构，它有哪些特征？⑵,公式中a，B的角的取值范围如何？学生观察与思考得出：①公式中两边的符号正好相反(一负一正)；②公式右边同名三角函数乘积的和；③公式中a、B是任意的；④公式的逆用也要注意。【设［十意图】让学生认识公式，掌握公式的结构和特点，深化理解公式实质，为灵活运用公式奠定基础。例题讲解，巩例1利用余弦公式计算cos15°,cos75°的值.例2.巳知sina=4,ae(—，兀),cos0=——,0是第三象限角.5213求cos(a-0)；【设计意图】由学生先练，然后巡堂了解，及时用投影将学生的解答、反馈、展示讲解。例1是让学生熟悉公式，例2显然也是运用公式求值的练习，但使用公式前必须求相应角的正、余弦值。强调运用同角三角函数平方关系求值时，一定要弄清角的范围，准确判断三角函数值的符号，从而养成良好的学习习惯。通过基础题目的练习，加强学生对公式的理解和应用。变式演练，深化认识练习1：化简求值TOC\o"1-5"\h\z,、、1.3(1)cos80°cos20°+sin80°sin20°(2)—cos15°+——sin15o22(3)cos(a+P)cosP+sin(a+P)sinP丸5练习2：已知cos(a-P)=_,a—Pe(0,—),cosa=-,a是弟一象限角，213求cosP。【设计意图】(1)・通过变式训练，进一步加深学生对公式的理解，使学生掌握公式的正用，逆用，变角使用，提高学生的数学思维能力，体现思维的创新意识。⑵.练习2有一定难度，可根据学生的接受情况，在具体教学中可根据不同程度的教学对象及课堂学生的反应情况进行删减与调整。课堂小结，作业