《建筑工程制图与CAD》第二章　投影的基本知识

第二章投影的基本知识▲知识目标了解投影法的原理和分类、正投影的基本概念，掌握正投影的特性，重点掌握三面正投影法的运用，理解点的投影规律以及各种位置直线和平面的投影特性，掌握平面内取点和直线的方法。▲技能目标

能够运用三面正投影法图示空间几何元素，培养空间思维能力。第一节投影及投影法物体在光线（灯光和阳光）的照射下，会在地面或墙面上产生影子。这种影子的内部灰黑一片，只能反映物体的外形轮廓，无法反映物体各部分的形状，如图２_１（ａ）所示。当光线照射的角度或距离改变时，影子的位置、形状也随之改变。也就是说，光线、物体、影子之间存在着紧密的联系。人们对自然界的这种影子现象进行科学抽象，把能够产生光线的光源称为投影中心，把光线称为投射线，地面抽象为投影面，即假设投射线能穿透物体，而将物体表面上的各个点和线都在投影面上投射出它们的影子，从而得到能反映物体形状的“线框图”，如图２_１（ｂ）所示。这样，形体的影子就发展成为能满足生产需要的投影图，简称为投影。由此可见，要产生投影必须具备三个要素：投射线、物体、投影面。这种依据投影原理用二维平面表示三维形体的方法，称为投影法。按照投影法，必须把物体的所有内外轮廓和内外表面交线全部表示出来，且依投影方向凡可见的轮廓线画实线，不可见的轮廓线画虚线。二、投影法分类根据投射线的不同情况，投影可分为两大类：１.中心投影所有投射线都从一点（投射中心）引出的，称为中心投影，如图２_２（ａ）所示。２.平行投影所有投射线都互相平行的称为平行投影，如图２_２（ｂ）所示。若投射线与投影面垂直，称为正投影，如图２_３（ａ）所示；若投射线与投影面斜交，称为斜投影，如图２_３（ｂ）所示。图２_２投影的分类（ａ）中心影子；（ｂ）平行投影图２_３平行投影的分类（ａ）正投影；（ｂ）斜投影三、土建工程中常用的投影法图示工程结构物时，由于表达的目的和被表达对象特征的不同，需要采用不同的图示方法。土木建筑工程中常用的图示方法有多面正投影法、轴测投影法、透视投影法和标高投影法。１.多面正投影法多面正投影是土建工程中最主要的图样。物体在两个或两个以上互相垂直的投影面上进行正投影，然后将这些带有物体投影图的投影面展开在一个平面上，可得到物体的多面正投影图，用这些投影图能完全确定该物体的空间位置和形状。图２_４为一级台基和一块碑身所组成的纪念碑的三面正投影图。其优点是作图较简便，度量性好；缺点是无立体感，直观性较差。２.轴测投影法轴测投影是一种平行投影。物体在单一投影面上按平行投影法投影，从而得到物体的轴测投影图。在轴测投影图上能同时反映出物体长、宽、高三个方向上的形状，如图２_５所示。其优点是富有立体感，直观性好；缺点是不能完整表达物体的形状，作图复杂，度量性差，只能作为工程上的辅助图样。３.透视投影法

透视投影是一种中心投影。物体在单一投影面上按中心投影法投影，从而得到物体的透视图，如图２_６所示。透视与照相原理相似，符合人们的视觉习惯，图像接近于视觉映像，逼真、直观性强，常作为与设计方案比较、展览用的图样。其缺点是不能直接反应物体的真实大小，不便度量，绘制较难。４.标高投影法标高投影法是一种带有数字标记的单面正投影，常用于绘制地形图、建筑总平面图等的图样。将不同高程的等高线投影在水平的投影面上，并注出各等高线高程的图，即为标高投影图，也称等高线图，如图２_７所示。第二节正投影特性一、类似性（１）点的投影仍然是点，如图２_８（ａ）所示。（２）直线段的投影一般情况下仍然是直线，当直线段倾斜于投影面时，其正投影小于实长，如图２_８（ｂ）所示。（３）平面的投影一般情况下仍然是平面，当平面倾斜于投影面时，其正投影小于实形，如图２_８（ｃ）所示。在投影中，习惯用大写字母表示空间几何元素，用小写字母表示它们的投影。二、从属性（１）若点在直线上，则该点的投影必在该直线的投影上，如图２_９所示。（２）若点或直线在平面上，则该点或该直线的投影必在该平面的投影上。三、定比性点分割线段成定比，其投影也把线段的投影分成相同的比例，如图２_９所示。四、实形性平行于投影面的直线和平面，其投影反映实长或实形，如图２_１０所示。五、积聚性垂直于投影面的直线和平面发生积聚，直线积聚为点，平面积聚为直线，如图２_１１所示。六、平行性空间相互平行的直线，其投影仍相互平行，且空间长度之比等于投影长度之比，如图２_１２所示。七、平移性一直线或一平面图形，经过平行移动之后，它们在同一投影面上的投影，虽然位置变动了，但其形状和大小没有变化，如图２_１３所示。第三节三面正投影图一、三面投影体系如图２_１４所示，四个形状不同的形体，在同一投影面上的投影却是相同的。这说明根据形体的一个投影图，往往不能确定形体的空间形状，必须建立一个投影体系，将物体同时向几个面投影，用多个投影图来确切地表达物体的形状。一般把形体放在由三个两两相互垂直的平面所组成的三面投影体系中进行投影，如图２_１５所示。在三面投影体系中，水平放置的平面称为水平投影面，简称为H面；正对观察者的平面称为正立投影面，简称为V面；观察者右侧的平面称为侧立投影面，简称为W面。三投影面两两垂直相交构成三条投影轴OX、OY、OZ，三投影轴垂直相交于原点犗，如图２_１５所示。二、三面投影图的形成将形体放在三面投影体系中，置于观察者和投影面之间，形体靠近观察者的一面称为前面，反之为后面，依此定出上下、左右四个面。用三组分别垂直于三个投影面的投射线对形体进行投影，如图２_１６所示。（１）上→下，在H面上得到水平投影图，简称平面图（H面投影图）。（２）前→后，在V面上得到正立面投影图，简称正面图（V面投影图）。（３）左→右，在W面上得到（左）侧立面投影图，简称侧面图（W面投影）。根据形体的三面投影图，可以确定形体唯一的空间位置和形状。为了使三投影图能画在同一张图纸上，还必须把三个投影面展开在同一平面上。国家标准规定：V面不动，H面绕OX轴向下旋转９０°，W面绕OZ轴向右旋转９０°，使它们转至与V面同在一个平面上，OY轴出现两次，OYh和OYw，如图２_１７所示。三、三面投影图的投影关系１.度量关系在三面投影图中，形体左右两点之间平行于OX轴的距离为长度，上下两点之间平行于OZ轴的距离为高度，前后两点之间平行于OY轴的距离为宽度，如图２_１７（ｂ）所示。V面、H面的投影都反映形体的长度，因此必须左右对齐，即“长对正”的关系；同理，V面、W面投影都反映形体的高度，必须上下对齐，即“高平齐”的关系；H面、W面的投影都反映形体的宽度，这两个宽度一定相等，即“宽相等”的关系。“长对正、高平齐、宽相等”称之为“三等关系”，是形体三面投影图最基本的投影关系，也是画图和识图的基础。它不仅适用于整个形体的投影，也适用于形体每个局部的投影，如图２_１８所示。２.方位关系

形体在三面投影体系中摆放好后，相对于观察者，它在空间上就有上下、左右、前后六个不同的方位。如图２_１９所示，每个投影图只能反映其中四个方向关系：H面投影反映长度和宽度及形体的左右（X轴）、前后（Y轴）方位；V面投影反映长度和高度及形体的左右、上下（Z轴）方位；W面投影反映高度和宽度及形体的上下、前后方位。四、三面投影图的画法（１）画出水平和垂直的十字相交线表示投影轴，如图２_２０（ａ）所示。（２）根据“三等”关系：正面图和平面图的各个相应部分用铅垂线对正（等长）；正面图和侧面图的各个相应部分用水平线拉齐（等高），如图２_２０（ｂ）所示。（３）利用平面图和侧面图的等宽关系，从O点作一条向右下斜的４５°线，然后在平面图上向右引水平线，与４５°线相交后再向上引铅垂线，把平面图中的宽度反映到侧面投影中去，如图２_２０（ｃ）所示。图２_２０三面正投影图画法举例步骤第四节点、直线和平面的三面投影任何复杂的工程构件抽象成几何形体后，都可看成是由点、线、面构成的。了解点、线、面的表示方法和三面投影规律是学习和绘制工程构件的基础。一、点的三面投影如图２_２１（ａ）所示，将空间点A放置在三面投影体系中，通过点犃分别向H面、V面和W面引垂线，则垂足分别为点A在H面的投影a、在V面的投影a＇及在W面的投影a″。按旋转规定展开三面投影体系后，即得空间点犃的三面投影a、a′、a″，如图２_２１（ｂ）、（ｃ）所示。一般空间点用大写字母表示，如A、B、C等；犎面投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；V面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′等；W面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″等。１.点的三面投影规律如图２_２２所示，点的三面投影规律如下：（１）垂直规律：aa′⊥犗犡OX、a′a″⊥OZ。点的V面投影与H面投影的连线垂直于OX轴；点的V面投影与W面投影的连线垂直于OZ轴。即两投影的连线必垂直于相应的投影轴。（２）等距规律：点的投影到投影轴的距离，反映点到相应投影面的距离，也就是该点的坐标。点的H面投影到OX轴的距离，等于其W面投影到OZ轴的距离，并反映A点到V面的距离，即：aax＝a″az＝Aa′＝Y。点的V面投影到OZ轴的距离，等于其H面投影到OY轴的距离，并反映A点到W面的距离，即：a′az＝aay＝Aa″＝X。点的V面投影到OX轴的距离，等于其W面投影到OY轴的距离，并反映A点到H面的距离，即：a′ax＝a″ay＝Aa＝Z。此投影规律即为三等关系“长对正、高平齐、宽相等”的依据所在。２.点的坐标与投影的关系点的一个投影反映了点的两个坐标，点的三面投影与点的坐标关系为：（１）A点的H面投影a可反映该点的X和Y坐标。（２）A点的V面投影a′可反映该点的X和Z坐标。（３）A点的W面投影a″可反映该点的Y和Z坐标。已知点的两个投影，则点的X、Y、Z三个坐标就可确定，即空间点是唯一的。因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影。【例２_１】

已知点A（１４，１０，２０），求作A点的三面投影。

解：作图步骤如图２_２３所示。３.两点的相对位置及重影点（１）两点的相对位置。空间两点的相对位置是以其中某一点为基准，判别另一点在该点的前后、左右、上下的位置。如图２_２４所示，这可由两点的三个坐标值大小来确定，或者由两点的坐标差来确定：X坐标大者为左，反之为右；Y坐标大者为前，反之为后；Z坐标大者为上，反之为下。那么图２_２４中的B点在A点的左后下方。（２）重影点的投影。当空间两点位于某一投影面的同一投影线上时，此两点在该投影面上的投影重合，此两点称为对该投影面的重影点。换句话说，当空间两点的三个坐标值中有两个相同时，它们就在由这两个坐标所组成的投影面上发生重影。重影点可见性的判别：由未发生重影的其他面的投影判别其上下、左右或前后的位置关系，正上方、正左方或正前方的可见，反之不可见。凡不可见的投影其字母写在后面，并加括号表示。由图２_２５可知，A点在C点的正前方，从前向后看A点可见C点不可见。二、直线的三面投影１.各种位置直线的三面投影规律两点确定一条直线，在三面投影体系中，求直线的投影，只要确定直线上两个点的投影，然后将其同面投影连接，即得直线的投影，如图２_２６所示。１）特殊位置直线（１）投影面平行线。平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线，称为某投影面的平行线。投影面平行线有三种：平行于V面的直线称为正平线，平行于H面的直线称为水平线，平行于W面的直线称为侧平线。从表２_１中可以归纳出投影面平行线的投影特性：直线在所平行的投影面上的投影反映实长，且该投影与相应投影轴所成夹角反映直线对其他两个投影面的倾角。直线的其他两投影都小于实长，且平行于相应的投影轴。投影面平行线的判别：直线在三个投影面上的投影，一个投影为斜线，另两个投影为直线，则该直线定是投影面平行线；哪个投影面的投影为斜线，则该直线平行于哪个投影面。根据直线与投影面的相对位置，直线可分为特殊位置直线、一般位置直线，其中特殊位置直线又可分为投影面平行线、投影面垂直线。（２）投影面垂直线。垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线，称为投影面垂直线。投影面垂直线有三种：垂直于V面的直线称为正垂线，垂直于H面的直线称为铅垂线，垂直于W面的直线称为侧垂线。从表２_２中可以归纳出投影面垂直线的投影特性：投影面上的投影积聚成一点。直线的其他两个投影与相应的投影轴垂直，并反映实长。投影面垂直线的判别：直线在三个投影面上的投影，一个为点，其余为直线，则该直线定是投影面垂直线；点在哪个投影面上，则该直线垂直于哪个投影面。２）一般位置直线对三个投影面既不平行也不垂直的直线称为一般位置直线，如图２_２６所示。（１）一般位置直线的投影特性：三个投影都倾斜于投影轴，其长度均小于实长。（２）一般位置线的判别：三个投影三个斜，定是一般位置线。【例２_２】判断图２_２７所示形体中的轮廓线与投影面的相对位置。解：由各种位置直线的投影特性判断得出，AB、FE是侧垂线，CB、DE是正垂线，BE是铅垂线；AC、DF是水平线，AF是正平线，CD是侧平线。２.直线上的点点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律。若直线不垂直于投影面，则点的投影分割直线线段投影的长度比都等于点分割直线线段的长度比，如图２_２８所示。判断点是否在直线上，一般只要观察两面投影即可，但对于特殊的投影面平行线，要考虑三面投影是否满足直线上点的投影性质才行。【例２_３】

已知侧平线AB和点M的V、H面投影，请判断点M是否在侧平线AB上。解：方法一：用从属性来判断。如图２_２９（ｂ）所示，作出侧平线AB和点M的W面投影。由作图结果可知，m″在a″b″之外，说明点M不在侧平线AB上。方法二：用定比性来判断。如图２_２９（ｃ）所示，在任一投影（如V面投影）中，过a′作任意角度辅助线a′１，并取a′２＝am、２１＝mb，连接b′１和m′２。由作图结果可知，b′１不平行于m′２，说明点M不在侧平线AB上。三、平面的三面投影１.平面的表示法（几何元素表示法）在投影图中能用下列几种情况表示平面：（１）不在同一直线上的三点，如图２_３０（ａ）所示；（２）一直线和直线外一点，如图２_３０（ｂ）所示；（３）相交两直线，如图２_３０（ｃ）所示；（４）平行两直线，如图２_３０（ｄ）所示；（５）任意平面图形，即平面的有限部分，如图２_３０（ｅ）所示。２.各种位置平面的三面投影规律在三面投影体系中，平面与投影面的位置可分为投影面垂直面、投影面平行面和一般位置面。前两种统称为特殊位置平面。１）特殊位置面（１）投影面垂直面。垂直于一个投影面，倾斜于其他投影面的平面称为投影面垂直面。投影面垂直面有三种：仅垂直于V面的平面称为正垂面，仅垂直于H面的平面称为铅垂面，仅垂直于W面的平面称为侧垂面。

从表２_３中可以归纳出投影面垂直面的投影特性：平面在所垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，它与相应投影轴所成的夹角，即为该平面与其他两个投影面所成的角。平面的其他两投影是类似图形，并小于实形。（２）投影面平行面。平行于某一投影面的平面，称为投影面平行面。投影面平行面与另外两个投影面垂直。它也有三种：与V面平行的平面称为正平面，与H面平行的平面称为水平面，与W面平行的平面称为侧平面。从表２_４中可以归纳出投影面平行面的投影特性：平面在所平行的投影面上的投影反映实形。平面的其他两投影都积聚为与相应投影轴平行的直线。２）一般位置平面与三个投影面既不垂直也不平行的平面称为一般位置平面，各个投影既没有积聚性，也不反映平面的实形，如图２_３１所示。３.平面上的点和直线（１）平面上取点和直线。点和直线在平面上的几何条件是：平面上的点必在该平面的某一直线上；平面上的直线必通过平面上的两点，或通过平面上的一点且平行于平面上的另一直线。

在投影图中作平面上的点和直线，以及检验点和直线是否在平面上的作图方法，都是以上述几何条件为依据的。【例２_４】已知△ABC的两面投影，及其上一点K的V面投影，求K点的H面投影。解：如图２_３２所示，过k′在平面上作辅助线BD的V面投影b′d′，由此再作出BD的H面投影。因K在BD上，k必在bd上，从而求得k。【例２_５】已知四边形ABCD的V面投影和其中两条边的H面投影，完成四边形的H面投影。解：如图２_３３所示，连接四边形对