讲题比赛讲稿（修改）

讲题比赛讲稿各位领导、各位老师，大家下午好！我们组所讲的题目是：数列1、1、2、3、5、8、……，从第三项起,每一项都是前两项之和。问这个数列中的第2022项除以5的余数是多少?下面我将从：题目背景、题目解法、题目变式、知识拓展、反思收获几个方面进行我的讲题。一、题目背景本题所涉及的数列其实就是数学上著名的斐波拉契数列。此数列又因数学家昂纳多.斐波拉契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”。一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子。如果所有的兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后生下一对小兔子，兔子总对数变为2；三个月后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对，依次类推可以列出下表：月数成兔对数幼崽对数兔子总对数1011101211232134325553868513........................可以看出成兔对数、幼崽对数和兔子总对数分别构成了一个数列，这三个数列都有十分明显的特点，那就是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列在斐波拉契的《算盘全书》中提出，这个级数的通项公式（又叫：比内公式）是：此题的解法解法一：正是因为有了这个通项公式，所以看到此题，我的脑海中的第一反应就是：使用公式，直接计算，但数字太大，计算起来太困难，除非借助计算器。此时想到华罗庚先生说过的一句话：“以退为进，善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，退到我们容易看清问题的地方。”于是，我做了以下试验，也就是解法二：我计算出了前20项除以5的余数：分别是1、1、2、3、0、3、3、1、4、0......。进行到第21个、22个时我就欣喜了，1、1重复出现了，带着验证的心里我又计算了接下来的几个数1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0、3、3、1......进行到这里啊，相信大家跟我一样，都看出来了周期就是20.利用周期函数的特点，2022除以20等于100组余13个，所以第2022项的余数就跟第13项的余数一样，都是3.方法三讲解：既然余数呈周期性有规律的出现，那是不是可以只看余数来找出其中的规律呢？由于斐波拉契数列具有这样的规律：从第三项起，每一项都是前两项的和。于是猜想：余数是不是也具备这样的规律：从第三项起，每一项都是前两项的和除以5的余数。例如：13，21除以5的余数分别是3和1，所以后一项（13+21）除以5的余数正好等于3+1=4。是巧合吗？不是！我们可以证明：设A1、A2是两个相邻的斐波拉契数，则A1÷5=B1.....C1，A2÷5=B2.....C2，（A1＋A2）÷5={（5B1+C1）+（5B2+C2）}÷5=N＋（C1＋C2）÷5，A1＋A2的和除以5的余数就是C1＋C2的和除以5的余数，于是只要通过写出前几项的余数，可以根据这一规律写出前20项余数，利用方法二的方法同样可以找到周期是20，用2022÷20=100（组）……13（个），所以第2022项除以5的余数是3。变式接下来，我对此题进行了一些变式：变式一：问题数据的变化将除数5换成其他的正整数，于是得到如下结果可是当除数不断变大，也就是斐波拉契数列被任何一个正整数除，它的余数都会存在周期吗？如果余数都有周期，那这些周期又有什么样的规律呢？前期我们组的李老师已经做了很多研究工作，下面有请本组的李老师来为大家做讲解。（李老师上台讲解）变式二：数列规律的变化改变后的数列它被正整数除的余数是否仍然存在周期呢？数列1，2，4，7，11，16，…，其中第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3；以此类推，那么第2022个数除以5的余数是几？解析：按1、2、4、2、1这五个数循环出现。2022÷5=401（组）……4（个）所以，第2022个数除以5的余数是2。神奇的斐波拉契数列斐波拉契数列还有哪些神奇之处呢？我们一起来欣赏逼近黄金分割.越往后面，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割。数的平方美。A.如图所示，前后两项数平方后相加，所得结果依旧依旧是斐波拉契数列中的数，并且成“跳跃式”出现。B.如图，这是一个边长为1的正方形，它的面积是1，同样这也是一个边长为1的正方形，它的面积也为1.新加入一个边长为2的正方形，面积为4。这3个正方形的面积和：1+1+4=6，拼成一个长方形，面积也可以表示为：2×3。新加入一个边长是3的正方形，面积是9.这4个正方形的面积和为：1+1+4+9=15，拼成一个长方形，面积也可以表示为：3×5，。同样的，加入一个边长为5的正方形，边长为8的正方形。观察这几个算式，神奇的斐波拉契数列又出现了。生活中的运用建筑中对斐波拉契螺旋曲线的极致运用、人类的脸部轮廓。饱受好评的《琅琊榜》等电影，场景之美，也宛若一条斐波拉契线条。反思收获今天虽然是由我来进行讲题，但却是代表了我们全组老师共同的心血，前期我们组每个老师在师傅的指导下进行了精心的准备、试讲、讨论、修改到最后的定稿，是我们全组老师共同的结晶。通过这次讲题比赛，我们收获了：1.解题的乐趣；（数学老师就要会做题、多做题，孩子们在解决一道问题之后获得的数学成就感是其它奖品不能替代的）2.解题方法的选择；（碰到难题时，不要强行推进，有时候后