新三维系统的混沌运动及小波函数迭代控制,应用数学论文

新三维系统的混沌运动及小波函数迭代控制,应用数学论文内容摘要：为了分析新三维离散系统的动力学行为，丰富混沌遮掩保密通信的理论成果，应用分岔理论和数值方式方法，绘出了系统随参数变化的分岔图，同时利用Metican小波函数对新三维混沌系统进行控制。发现系统具有丰富的动力学行为〔周期运动、准周期运动以及混沌运动〕，并且小波函数能够将新三维离散混沌系统控制到不同的周期轨道。本文关键词语：三维离散系统；动力学；小波函数；混沌控制；Abstract:Inordertoanalyzethedynamicalbehaviorofanewthree-dimensionaldiscretesystemandenrichtheoreticalresultsofchaoticmaskedsecurecommunication,weapplythebifurcationtheoryandnumericalmethodtodrawoutthesystemsbifurcationdiagramwithparameterchange,andthenewthree-dimensionaldiscretechaoticsystemiscontrolledbyusingtheMeticanwaveletfunction.Wefindthesystemhascopiousdynamicalbehavior〔theperiodic,quasiperiodicandchaoticmotions〕，andwaveletfunctioncancontrolthenewthree-dimensionaldiscretechaoticsystemtodifferentperiodicorbits.Keyword:athree-dimensionaldiscretesystem;dynamics;thewaveletfunction;chaoscontrol;0引言自1963年气象学家Lorenz提出著名的Lorenz系统[1]以来，大量的混沌系统相继被提出，华而不实具有代表性的连续系统有Chen系统[1]、L系统[1]等，离散系统有Logistic映射[2]、Hnon映射[2]等。对离散系统的研究当前主要集中在二维系统的动力学分析、同步控制及应用方面[3,4,5,6,7],对高维离散系统的研究较少，然而现实生活中，利用高维离散系统能够解决很多实际问题，尤其是在图像加密中具有重要的应用价值[8,9],为此研究高维离散系统的动力学及混沌行为是必要的。混沌控制是混沌应用的前提。1990年，Ott等[10]提出了利用参数微扰法进行混沌控制，这种方式方法也被称为是OGY方式方法，但是此方式方法的缺点是以局部线性化为基础，控制经过中存在误差。此后，混沌控制问题一直是混沌研究的一个热门[11,12,13,14,15,16],一些混沌控制方式方法被相关学者提出，例如自适应控制法[13],滑膜控制法[14],模糊逻辑控制法[15],神经网络控制法[16],等等，这些方式方法为精到准确地实现混沌的控制与同步奠定了基础。基于以上考虑，本文基于Hnon映射为基础，通过增加非线性项的方式方法，给出了一个三维离散系统，该系统共有12个项，华而不实含有7个非线性项，并研究了系统丰富的动力学行为，同时对系统的混沌行为利用Metican小波函数进行了控制，将系统的混沌运动控制到周期运动，本文的研究成果混沌遮掩保密通信技术具有重要的理论意义。1新三维离散系统本文给出的新三维离散系统是一个三元二次迭代方程组，其动力学方程为华而不实a、b为系统参数，取定参数b=0.3,当参数a[-0.3,0.4]时，绘制出系统〔1〕的分岔图，并通过分岔图分析系统的动力学行为，变量xn随参数a变化的分岔图如此图1所示。图1新离散系统〔1〕的分岔图从图1〔a〕能够看出，当参数a[-0.3,0.2〕时，系统〔1〕处于周期运动，当a[0.2,0.32]时，系统〔1〕进入混沌区域，从图1〔b〕能够看出，在混沌区域内，有很多周期窗口，系统在混沌与周期运动之间交替运动。取初值条件为x0=0.7,y0=0.3,z0=0.4,参数b=0.3时，给出了系统〔1〕在a的不同取值下的相图。图2新离散系统〔1〕随参数a变化的相图从图2能够看出，当参数a=-0.1时，系统〔1〕稳定于平衡点，系统处于静止状态〔如此图2〔a〕所示〕；当参数a=0.14时，系统〔1〕稳定于周期三运动〔如此图2〔b〕所示〕；当参数a=0.195时，系统〔1〕的周期三失稳，出现三条闭合曲线〔如此图2〔c〕所示〕；当参数a=0.28时，系统〔1〕处于混沌运动状态，具有如此图2〔d〕所示的混沌吸引子；当参数a=0.292时，系统〔1〕又处于周期十运动〔如此图2〔e〕所示〕，当参数a=0.32时，系统〔1〕处于混沌运动状态，具有如此图2〔f〕所示的混沌吸引子。在混沌区内随着参数a的不断增大，周期运动与混沌运动交替出现，这与从图1所示的分岔图中得到的结论是一致的。2新三维系统的混沌运动根据非线性系统的线性化方式方法，可得系统〔1〕的雅可比矩阵为设将矩阵J的3个特征值求模，得到由大到小的排列为系统〔1〕的Lyapunov计算公式为华而不实k=1,2,3.根据系统〔1〕的Lyapunov计算公式为〔5〕，当系统参数a=0.32,b=0.3,初值条件为x0=0.7,y0=0.3,z0=0.4时，系统〔1〕的Lyapunov指数谱为〔0.1670,-0.4100,-0.4283〕，有一个大于零的Lyapunov指数，讲明系统〔1〕在参数a=0.32,b=0.3处于混沌运动状态。同样在系统参数a=0.32,b=0.3时，针对两组不同的初值条件x0=0.7,y0=0.3,z0=0.4和x0=0.70001,y0=0.3,z0=0.4,考察系统对初值的敏感依靠性。图3新离散混沌系统〔1〕对初值条件的敏感依靠性图从图3能够看出，对于初值条件的微小差异，系统的运动轨迹大相径庭，进一步讲明当系统参数a=0.32,b=0.3时，系统〔1〕处于混沌运动状态。3小波函数迭代控制小波函数具有振荡性，随着自变量在正负方向的不断延伸，小波函数快速衰减，因而其具有很强的收敛性，用小波函数进行混沌控制，能够抑制系统的混沌行为，Metican小波函数的数学表示出式为图4Metican小波函数的图像其图像如此图4所示。Metican小波函数不具有正交性和尺度函数，但在时域和频域上具有很好的局部化性质，同时知足在全体实数区间上的无穷积分为零。本文选择Metican小波函数对系统〔1〕进行混沌控制，为了得到更多的控制结果，将小波函数的系数设为增益系数k,通过调节增益系数k的值，实现对系统〔1〕的各种控制，用小波函数分别乘以第一个和第二个方程，得到受控的迭代方程组为图5Metican小波函数控制下系统〔1〕分岔图将系统参数和初值条件取为a=0.32,b=0.3,x0=0.7,y0=0.3,z0=0.4时，系统〔7〕关于增益系数k的分岔图如此图5所示。从图5能够看出，通过小波函数，能够将系统控制到周期轨道，同时也能将系统控制到混沌轨道等，能够看出当k=0.1时，小波函数能将系统控制到周期一运动，当k=5时，小波函数能将系统控制到周期三运动，当迭代次数n=2000时，打开控制开关施行控制，小波函数控制的结果如此图6所示。图6小波函数控制下系统〔1〕的迭代次数序列图4结论由于诸多实际问题能够用高维离散系统来描绘叙述，所以研究高维离散系统的动力学行为及其混沌控制是非常必要的。本文给出的三维离散系统具有丰富的动力学行为：周期运动、准周期运动以及混沌运动等。通过Metican小波函数仅对三维离散系统的两个变量进行了控制，在不同的反应增益系数下，能将三维离散混沌系统控制到不同的周期轨道。以下为参考文献[1]陈关荣，吕金虎。Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京：科学出版社，2003.[2]刘秉正。非线性动力学[M].北京：高等教育出版社，2004.[3]刘晓君，李险峰，何万生，等。二维三次方离散系统的混沌控制与广义混沌同步[J].河北师范大学学报〔自然科学版〕，2018,34〔4〕：406-410,416.[4]GaoJ,GuCG,YangHJ,etal.Predictionofspatialdistributionofinvasivealienpestsintwo-dimensionalsystemsbasedonadiscretetimemodel[J].EcologicalEngineering,2020,143:105673.[5]崔明章，王光义，任国瑞，等。新二维离散超混沌映射及其在图像加密的应用[J].杭州电子科技大学学报〔自然科学版〕，2021,36〔3〕：6-11,17.[6]刘明明，夏铁成，王金波。带有三角函数的二维分数阶离散系统的混沌现象[J].上海大学学报〔自然科学版〕，2022,25〔2〕：222-226.[7]ZhaoD,LiYY,AhnCK,etal.Optimalstateandfaultestimationfortwo-dimensionaldiscretesystems[J].Automatica,2020,115:108856.[8]王凤英。基于高维混沌离散系统的动态密钥3DES算法[J].微电子学与计算机，2005,22〔7〕：120-123,126.[9]潘勃，李骞，冯金富，等。一种新的离散混沌同步保密通信方案[J].计算机应用，2018,30〔1〕：198-202.[10]赵明成，朱洪波，贾琛霞。OGY法控制Henon系统混沌的研究[J].机械，2018,37〔10〕：26-28.[11]LiuWY,CaiDH.Bifurcation,chaosanalysisandcontrolinadiscrete-timepredator:Preysystem[J].AdvancesinDifferenceEquations,2022,2022〔1〕：11.[12]红刚，刘晓君。一个混沌复系统的同步与混沌控制[J].四川大学学报〔自然科学版〕，2020,50〔5〕：1049-1052.[13]VaidyanathanS,VolosC.Analysisandadaptivecontrolofanovel3-Dconservativeno-equilibriumchaoticsystem[J].ArchivesofControlSciences,2021,25〔3〕：333-353.[14]SinghJP,RoyBK.Secondorderadaptivetimevaryingslidingmodecontrolforsynchronizationofhiddenchaoticorbitsinanewuncertain4-Dconservativechaoticsystem[J].TransactionsoftheInstituteofMeasurementandControl,2021,4