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第三章

一阶微分方程解存在定理第1页第1页第2页第2页需处理问题第3页第3页§3.1解存在唯一性定理与逐步迫近法

第4页第4页一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题第5页第5页(1)初值问题(3.1)解等价于积分方程连续解.证实思绪(2)结构(3.5)近似解函数列第6页第6页(逐步求(3.5)解,逐步迫近法)第7页第7页这是为了即第8页第8页第9页第9页下面分五个命题来证实定理,为此先给出积分方程解假如一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样关系式为积分方程.积分方程第10页第10页命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证实:即第11页第11页反之故对上式两边求导,得且第12页第12页结构Picard逐步迫近函数列问题:这样结构函数列是否行得通,即上述积分是否故意义?注第13页第13页命题2证实:(用数学归纳法)第14页第14页第15页第15页命题3证实:考虑函数项级数它前n项部分和为第16页第16页对级数(3.9)通项进行预计第17页第17页第18页第18页于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有第19页第19页现设命题4证实:第20页第20页即第21页第21页命题5证实:由第22页第22页第23页第23页综合命题1—5得到存在唯一性定理证实.第24页第24页一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题第25页第25页命题1初值问题(3.1)等价于积分方程结构Picard逐步迫近函数列命题2第26页第26页命题3命题4命题5第27页第27页2存在唯一性定理阐明第28页第28页第29页第29页第30页第30页第31页第31页3一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件第32页第32页三近似计算和误差预计求方程近似解办法---Picard逐步迫近法,这里第33页第33页注:上式可用数学归纳法证实则第34页第34页例1讨论初值问题解存在唯一区间,并求在此区间上与真正解误差不超解由于由(3.19)第35页第35页第36页第36页例2求初值问题解存在唯一区间.解第37页第37页例3利用Picard迭代法求初值问题解.解与初值问题等价积分方程为第38页第38页其迭

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