高中数学三章空间向量与立体几何31空间向量其运算314空间向量的正交分解其坐标表示1数学

空间向量的正交分解及其坐标表示1．空间向量基本定理定理条件假如三个向量01pa，b，c□不共面，那么对空间任一直量结论02{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc存在□独一的有序实数组基底与基向量03a，b，c不共面，那么所有空间向量构成的会合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，□假如三个向量x，，}，这个会合可看作是由向量a，，c生成的，我们把{a，，}叫做空间的一个yz∈Rbbc04基底，□a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底05O的两两垂直的单位向量1，2，06e1，2，□三个有公共起点eeeee3}表示．空间直角坐标系07O为原点，分别以08以e1，e2，e3的□公共起点e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的□正方向成立空间直角坐标系□09Oxyz.空间向量的坐标表示1011关于空间随意一个向量p，必定能够把它□平移，使它的□起点与原点O重合，获得向→{x，y12＋ze3.量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组，z}，使得p＝□xe1＋ye213下的坐标，记作14把□x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3p＝□(x，y，z)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．()(2)→)向量AP的坐标与点P的坐标一致．(关于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3

a3.(

)答案

(1)×

(2)×

(3)×2．做一做(1)(

教材改编

P94T1)假如向量

a，b与任何向量都不可以构成空间的一个基底，则

(

)A．a与b共线B．a与b同向C．a与b反向D．a与b共面(2)若向量

i，j，k为空间直角坐标系上对应

x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j

＋3k，则向量

a的坐标为

________．(3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①

a－b，②a＋b－c中选出一个使其与

a，b构成空间的一个基底，则能够选择的向量为

________(填写代号

)．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中成立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，→→则AD1的坐标为________，AC1的坐标为________．答案(1)A(2)(2，－1,3)(3)②(4)(0,2,1)(2,2,1)研究1基底的观点例1若{，，}是空间的一个基底，判断{＋，b＋，＋}可否作为该空间的一abcabcca个基底．[解]假定＋，＋，＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋＝(b＋)＋μ(cabbccbλca)，所以a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.{a，b，c}为空间的一个基底，∴a，b，c不共面，1＝μ，∴1＝λ，此方程组无解．0＝λ＋μ，a＋b，b＋c，c＋a不共面．{a＋b，b＋c，c＋a}能够作为空间的一个基底．拓展提高基底判断的基本思路及方法基本思路：判断三个空间向量能否共面，若共面，则不可以构成基底；若不共面，则能构成基底．方法：①假如向量中存在零向量，则不可以作为基底；假如存在一个向量能够用此外的向量线性表示，不可以构成基底．②假定a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，成立λ，μ的方程组，如有解，则共面，不可以作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．【追踪训练1】设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出以下向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，此中能够作为空间的基底的向量组有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案C分析解法一：由空间向量共面的充要条件知：若x＝a＋b，则x，a，b共面．故①不可以作为基底．若②中，假定x，y，z共面，则z＝λx＋μy，即：c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，λ＝1，则λ＋μ＝0，此方程组无解．μ＝1，x，y，z不共面，故②能作为基底．同理，③能作为基底．对④，若x，y，a＋b＋c共面，则存在实数λ，μ，使a＋b＋c＝λx＋μy＝λ(a＋b)μ(b＋c)λ＝1，即λ＋μ＝1，此方程组无解．μ＝1，∴x，y，a＋b＋c不共面，故④能作为基底．解法二：以下图，→→→设a＝AB，b＝AA1，c＝AD，→→则x＝AB1，y＝AD1，→→z＝AC，a＋b＋c＝AC1，由A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．研究2用基底表示向量例2以以下图，在平行六面体ABCD－ABCD中，P是CA的中点，M是CD的中点，N是111111→→→C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，AB＝a，AD＝b，AA1＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：→→→→(1)AP；(2)AM；(3)AN；(4)AQ.[解]连结AC，AC1.→(1)AP＝→(2)AM＝

1→→(AC＋AA1)＝21→→(AC＋AD1)＝2

1→→→11112(AB＋AD＋AA1)＝(a＋b＋c)＝a＋b＋c.22221→→→1112(AB＋2AD＋AA1)＝(a＋2b＋c)＝a＋b＋c.222→1→→1→→→→→1(3)AN＝2(AC1＋AD1)＝2[(AB＋AD＋AA1)＋(AD＋AA1)]＝2a＋b＋c.→→→→4→→1→4→1→1→4→114(4)AQ＝AC＋CQ＝AC＋(AA1－AC)＝AC＋AA1＝AB＋AD＋AA1＝a＋b＋c.555555555[结论研究]假如把例2中要表示的向量改为→→→A1C，BM，BQ，如何解答呢？→→→→→→＝a＋b－c.解A1C＝AC－AA1＝(AB＋AD)－AA1→→→→1→→1→→→1→→→1→→1111111(－a＋c)＝－2a＋b＋2c.→→→→→114414BQ＝BA＋AQ＝－AB＋AQ＝－a＋5a＋5b＋5c＝－5a＋5b＋5c.拓展提高用基底表示向量的步骤定基底：依据已知条件，确立三个不共面的向量构成空间的一个基底．找目标：用确立的基底(或已知基底)表示目标向量，需要依据三角形法例及平行四边形法例，联合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}能够表示出空间所有向量．表示要完全，结果中只好含有a，b，c，不可以含有其余形式的向量．【追踪训练2】→→以下图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥面OABC，设OA＝a，OC＝→→→→→b，OP＝c，E，F分别为PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF.→1→1→→解连结OB，OE，则BF＝2BP＝2(OP－OB)1→→→111＝2[OP－(OA＋OC]＝2c－2a－2b.→→→→1→BE＝BC＋CE＝－OA＋2CP1→→11＝－a＋2(OP－OC)＝－a＋2c－2b.→→→1→→AE＝AO＋OE＝－a＋2(OP＋OC)1＝－a＋2c＋2b.又∵E，F分别为PC，PB的中点，→1→1→1EF＝2CB＝2OA＝2a.研究3空间向量的坐标表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，而且PA＝AD＝1.在以下图的空间直角坐标系中，求向量→MN的坐标．[解]由于PA＝AD＝AB＝1，→→→所以可设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3.→→→→→→1→→→由于MN＝MA＋AP＋PN＝MA＋AP＋PC＝MA＋AP＋2

1→→→＝－1→→1→2(PA＋AD＋DC)AB＋AP＋(－AP＋22→→1→1→1312222211所以MN＝0，2，2.[结论研究]其余条件不变，上例问法改为：求向量→ND的坐标．解由于PA＝AD＝AB，→→→设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，→→→→→1→＋1→1→11111AD＝→→12322222222→111所以ND＝－2，2，－2.[条件研究]其余条件同例3，空间直角坐标系的成立不一样于例3.成立以下图的空间→→直角坐标系，求MN，DC的坐标．解→→→由于PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设DA＝e1，AB＝e2，AP＝e3.分别以e1，e2，e3为单位正交基底成立空间直角坐标系→→Axyz，如题图所示，DC＝AB＝e2，→→→→→所以DC＝(0,1,0)，MN＝MA＋AP＋PN→→1→→→1→→→＝MA＋AP＋2PC＝MA＋AP＋2(PA＋AD＋DC)12313121113＝－2e＋e＋2(－e－e＋e)＝－2e＋2e，→11进而可知MN＝－2，0，2.拓展提高1.成立空间直角坐标系，一定紧紧抓住订交于同一点的两两垂直的三条直线，要在题目中找出或结构出这样的三条直线，所以要充分利用题目中所给的垂直关系，即线线垂直、线面垂直、面面垂直，要使尽可能多的点落在座标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的把直角边放在座标轴上．2．求空间向量坐标的一般步骤建系：依据图形特点成立空间直角坐标系；运算：综合利用向量的加减及数乘运算；定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确立坐标．3．适合的坐标系有时不是独一的，在不一样坐标系下，同一直量的坐标一般不一样．【追踪训练3】已知ABCD－ABCD是棱长为2的正方体，E，F分别为BB和DC的中11111点，成立以下图的空间直角坐标系，试写出→→→1解设x，，z轴的单位向量分别为e1，2，3，其方向与各轴上的正方向同样，则→1yeeDB＝→＋→＋→1＝21＋22＋23，DAABBBeee∴→1＝(2,2,2)．DB∵→＝→＋→＋→＝21＋22＋3，DEDAABBEeee→．∴DE＝(2,2,1)→2→又∵DF＝e，∴DF＝(0,1,0)．正确理解基底的观点基底中不可以有零向量．因零向量与随意一个非零向量都为共线向量，与随意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量必定为非零向量.求空间向量坐标的方法空间几何体中，欲获得相关点的坐标时，先成立适合的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段为坐标轴，而后选择基向量，依据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标.用基底表示向量的方法用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法例，及加法的平行四边形法例，加法、减法的三角形法例．逐渐向基向量过渡，直到所有用基向量表示.1．若O，A，B，C为空间四点，且向量→→→OA，OB，OC不可以构成空间的一个基底，则( )→→→→→A.OA，OB，OC共线B.OA，OB共线→→D．O，A，B，C四点共面C.OB，OC共线答案D分析→→→→→→O，A，B，C四点由OA，OB，OC不可以构成基底，知OA，OB，OC三向量共面，所以共面．2．在空间直角坐标系Oxyz中，以下说法中正确的选项是()A．向量→的坐标与点B的坐标同样ABB．向量→的坐标与点A的坐标同样AB→→C．向量AB的坐标与向量OB的坐标同样→→→D．向量AB的坐标与OB－OA的坐标同样答案D分析在空间直角坐标系中，从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点出发→→→→的向量AB的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以AB＝OB－OA.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的地点关系是( )A．重合B．垂直C．平行D．没法确立答案B分析连结1，则→→＋→＋→→＝→→→1→＋→)．设正方体的棱1＝1，1＋1＝1－(CEACABADAACECCCEAA2ABAD→1→→→→1·→1－1→－1→11长为1，于是AC·CE＝(AB＋AD＋AA)AA2AB2AD＝0－2－0＋0－0－2＋1－0－0＝0，→→故AC1⊥CE，即AC1与CE垂直．4．已知{e，e，e}是空间的一个基底，若λe＋μe＋ve222λμv123123________.答案0分析由于{e1，e2，e3}是空间的一个基底，λe1＋μe2＋ve3＝0，所以由空间向量基本定理可知，λ＝μ＝v＝0，所以λ2＋μ2＋v2＝0.5．以下图，在三棱锥O－ABC