复变函数第1章复数及复平面

1章复数及复平面 复数及其几何表示复数域与复数的公理化定1.za+ib(abÎR)的数为复数.其中i称为虚数单位,az的实部,Rez,bz的虚部,Imz.当b0时,za就是实数.a0时,zib为虚数当ab0时数相等,即

.,

a1=a2,b1=* 复数域是实数域的扩充略复数的运算一般规则:规定i21.za+ib视为i的一次多项式,按照多项式的四则运算的规则进行运算,并且将i2换为-1.即(a1+ib1) (a2+ib2)=(a1 a2)+i(b1 (a+ib)(a+ib)=aa+iab+iab+i2bb 1 1 2 1=(a1a2-b1b2)+i(a1b2+a2b1z¹0,并且zzz,zzz的商,z1.若c+id¹0, a+ib=(a+ib)(c-id)=ac+bd+ibc-adc (c+id)(c-id c2+d c2+d关于实数成立的四则运算的性质(交换律,结合律,分配律)对于复数仍然成立用C表示复数的全体所成的集.则C按照以上规定的运算构成一个域,称之为复数域.共轭复数zaib.za-ibz的共轭复数.zz,zz互为共轭复数.

z2= z2 z1z2=z1z2, ÷ x+z

Rez=z+z,Imz=zz

22x=z+z y=z-z 2.复数的几何表示设在平面 上建立了直角坐标系Oxy.将复数z=a+ib与平面上的点P(a,b)对应z=a+ib«(a,则复数集CR2之间建立了一一对应.这样,za+ib就表示平面上的点(a反之亦然.因此称建立了直角坐标系的平面为复平面,仍然用C表示.x轴称为实轴,y复数还可以用来表示平面上的向量.zaib.zP(ab).z也表示向量

za+ib为向量OP的复数表示.z为向量 z1a+ibz2c+id.它们分别表示向量OPaibj和OQcidj.––→ –––→

OP+OQ=(a+c)i+(b+d) z1z2恰好表示向量OPOQ.类似地,若为一实数,则z1恰好表示向量OP.这说→zaib.aibjz.关于模成立以下不等式

z的模(或绝对值),z1+z2£z1+z2 z1-z2£z1-z2

=z1z2

z1=z1

max(Rez,Imz

z£Rez+Imzzz z zzz

z a2b2(a+ib)(a-ibzz 设z=a+ z¹0.它表示的向量为OP.称x轴的正向与OP的夹角为z的辐角,记Argz.若是z的辐角,则+2k(k=0, )也是z的辐角.因此Argz有无限多个值,其中任意两个不同的值相差2的整数倍.用argz表示Argz的一个满足-<argz£的值,Argz=argz+2k k= 2称argz为Argz的主值(或称为z的主辐角).设z=x+ z¹0. 2x0y¹

ïarctan 若z在第一、四象限argz=ïïï

y+xy-x

若z在第三象限

注 (1)若z=0,则不定义z的辐角.因此Arg0没有意义(2)有时用argz表示Argz的某个特定值.此时不一定有-argz£1+补充例 设z¹1.求复数w 的实部,虚部和模1-解利用(2)式和(4)1-zw=1+z=(1+z)(1-z)=1-z+z-zz=(1-zz)+(z-1-z1- (1-z)(1-

1-z1-z1-z1-z1-z2+1-z2+2iIm1-z1-z1-1-z

ImRew=1-z2 Imw=1-z21+z2+2Re 1+z1+ 1+1+z2+2Rew=ww= = w

1-z1-1+1+z2+2Re

1-z

1-z复数的三角形式与指数形yyzr设z=x+iy的模为 辐角为 则x=rcosyyzryrsin.z=r(cos+isin设是实数.形式地令ei=cos+i(上式称为 ).则复数z=r(cos+isin)可以表示z=复数的这种表示称为复数的指数形式

或写成z

zeiArgz由eiei1,argei至此,我们知道复数可以有三种不同的表示形式z¹0时

z=xz=r(cos+isinz=rei

代数形式三角形式,æ æ ç1+i 2çcos ÷ 2e4,-1=cos+isin=eiç 4 -i=cos+isin=e2,-i=cos(-)+isin(-)=e2 例 把复数z -2i化为三角形式和指数形式解

4.z在第三象限,利用(5)argz=arctany-=xz=-122i

-=

-=-53 3-5z4e6.

z=4écos(-5)+isin(-5)ù 例 求复数z=1-cos+isin(0££)的三角形式和指数形式解因为0££,(1-cos(1-cos)2+sin2z= =2sin z=1-cos+isin=2sin2 =2sinæçsin+icosö÷=

-+i

-

z 2

-

Argz=-+2k,

k= 2其主值为argz=

- - z=2

z=2 e22 补充例 设z=a+ib.求将z的辐角增

2解zzrcosisin).w.w=récos(+)+isin(+)=r(-sin+icos 2=ir(cos+isin)=iz=i(a+ib)=-b或者:zzreiw.利用下面将要证明的(9)ii(+ iw= 2=re2ei=iz=i(a+ib)=-b 引理1(补充)若z1=r1(cos1z2=r2(cos2+isin2),+iz1z2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2 z1=r1(cos(-)+isin(-)),z¹ 证明

z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2=r1r2(cos1cos2-sin1sin2+i(sin1cos2+cos1sin2=r1r2(cos(1+2)+isin(1+2z2¹0.z2r2(cos(-2+isin(-2)),z1=z1z2=r1r2(cos(1-2)+isin(1-2))=r1(cos(-)+isin(- z r 2 乘方运算与开方运算设zÎ n是正整数.称zn=z⋅z⋅⋅z为z的n次方.nzr(cosisin zn=rn(cosn+isinn (上式称为棣莫弗(deMoivre)).若z¹(7)两式得

z-n=1

由于1=cos0+ 利用z-n=

=r-n(cos(0-n)+sin(0-n))=r-n(cos(-n)+sin(-nz¹0时,z01.以上讨论表明(8)式对任意整数n都成立.由引理1知道,关于辐角有下面的集合的等式:Argzz=Argz+Argz Argz1=Argz-Argzz1 z2其中第一式表示,ÎArgz1z2当且仅当1+2,其中1ÎArgz12ÎArgz2.zrei1,zrei2.则(678) zz=rrei(1+2) z1=r1ei(1-2),

zn=rnei1 1

特别地,令r1r21,i i(+ i(- i ie1e2=e12 =e12 (e)= 设z是一非零复数,n是正整数.若w是一复数,使得wn=z,则称w是z的n ,1为zn.设z=r(cos+isin),w=(cos+isin).利用棣莫 ,由wn=z得n(cosn+isinn)=r(cos+isinn=

n=+2k k= 1znwnr1

=nr,+2k+i

+n+

,k= 2)(k 2). cosx和sinx 以2为周期的周期函数,实际上w只有当k=0, ,n-1时得到的n个不同的值.因1zn=nr(1

+

+2k

k=0, ,n- nw=(z1n)=nrei+2k k=0, ,n- n n nn可见，非零复数z的n次共有n个，它们均匀地分布在以原点为心，半径为 n1注 以后用na表示正实数a的算术根 用zn表示复数z的n次1例 求(1+i)4的所有值 解由于1+i 2(

+ + (1+i)4=82(cos41

+isin4

因此(1i)4482(cos+isin 82(cos9+isin9 82(cos17+isin17 82(cos25+isin25 1补充例 求(-8)3的所有值解由于-88(cos+isin), + +2k(-8)3=38cos

1由此得到(-8)3的3个值为-2,- i例 a(x2+y2)+bx+cy+d=abcdÎR,并且a¹0b2c2解zxiy.zx-iy.x2+y2=zz,x=z+z,y=z-z 2代入原方程,azz+z+z+d=

满足

b2+ >4

反过来,容易证adÎRÎC,并且a¹ 2>ad时 例 z-z//z- z-z0=t(tÎ Imz-z0 z1- z1-l的方程为Imzz00.lzz0t(z1z0tÎz1-4求cos3及sin3(分别用cos与sin来表示).解由棣莫弗得cos3+isin3=(cos+isin=cos3-3cossin2+i(3cos2sin-sin3=4cos3-3cos+i(3sin-4sin3cos3=4cos3-3cos sin3=3sin-4sin3复球面及无穷远点球极投影在建立了坐标系O-xyt的三中,将xOy平面视为复平面C.

C¥={(x,y,t):x2+y2+t2=N(00,1)称为球极.对复平面CA(xy0),NA点的射线设该射线与球面C¥A.A¢A在C¥上的球极投影( 图按照球极投影,复平面C上的点与C¥-{N上的点之间的一一对应.但是复平面C上没有点与C¥N对应.N,在复平面上增加一个假想的点,称之为远点,记为 该点与球极N对应.称CÈ{¥}为扩充复平面,记为C.这样,球极投影建立C¥与扩充复平面C之间的一一对应.因此称C¥为复球面无穷远点¥可以称为广义复数.¥¥.aÎC, ¥=¥ a= a⋅¥=¥a=¥(a¹a=¥(a¹0),

a=¥0而没有定义的运算 ¥,⋅ 0

¥A的坐标为(x,y

A在C¥A¢的坐标为(uvh), x- y- 0-用于AN//A¢N,因 .解u- v- h-

x=u1-

y=v1-

x2+y2-

u=x(1-h),v=y(1-(x2+y2)(1-h)2+h2=u2+v2+h2=

hx2y2+.代入(14)1u 2

x2+y2-x2+y2 v=x2+y2 h

x2+y2 复平面的拓扑初步概念z1z2ÎC.d(z1,z2z1z2两点的距离.z1x1+iy1,z2x2+iy2则z-z=(x-x)+i(y-y) (x-x)2+(y-y)2 因此d(z1z2=z1z2.

U(z0,r)={z:z-z0<r称U(z0,r)为z0的r-邻域.称 (z0,r)=U(z0,r)-{z0}为z0的r-去心邻域.U(z0,r)={z:z-z0£rz0为中心,r为半径的闭圆盘内点,聚点(极限点),开集,闭集p12复平面C上的有界闭集称为紧集边界点设EÌC,zÎC.若对任意r> z的邻域U(z,r)中既包含E中的点,也包EC中的点,zE的边界点,EE的边界,记为¶E.EȶEE的闭包,E.设zÎE.若存在r>0,使得U(z,r)ÇE={z},则称z为E的孤立点.例1–例3 Jordanxx(tyy(t是区间[ab上的连续函数,z=x(t)+i a£t£ íx

a£t£表示复平面上的一条连续曲线L.(tÎ[b]).

z(az(bL的端点.(1)zL:z=z(ttÎb是一连续曲线若当t1t2Î(abt1¹t2时,z(t1¹z(t2),L是简单曲线(Jordan曲线L是简单曲线,并且两端点重合,L是简单闭曲线(Jordan闭曲线x(ty(t)在[a,b上具有连续导数,并且对每个tÎ[zt=xt+yt