电磁学习题课1(2008)要点

电磁学习题课(一)2008.6重点内容与解题要领重要物理量：电场强度、电势、电容重要定律和定理、原理库仑定律高斯定理环路定理叠加原理解体要领对称性分析微积分运算一.电场强度及电势的计算点电荷匀整带电球面匀整带电球体匀整带电无限长直线匀整带电无限大平面娴熟驾驭几种典型电荷分布电场的1.求场强叠加法高斯定理法电势梯度法2.求电势叠加法场强积分法1、导体的静电平衡条件2、静电平衡的导体上电荷的分布：3、计算有导体存在时的静电场分布问题的基本依据：

高斯定理，叠加原理，电势概念，电荷守恒，导体静电平衡条件三.静电场中的导体四静电场中的电介质1.电介质对电场的影响:2.电介质中的高斯定理电位移矢量在各向同性介质中:当匀整介质充溢电场全部空间,或充溢两个等势面之间（分界面是等势面）时:3.电容和电容器设求

C平行平板电容器同心球电容器同轴圆柱形电容器等效电容:串联等效电容并联等效电容五电场的能量1.电容器储能2.电场的能量例1.真空中一半径为R的匀整带电球面，总电量为Q（Q>0）。今在球面上挖去特别小块的面积ΔS（连同电荷），且假设不影响原来的电荷分布，则挖去ΔS后球心处电场强度的大小E=，其方向______________.

OR解：由O指向ΔS例2.真空中有一半径为R的半圆细环，匀整带电Q，如图所示。设无穷远处为电势零点，则圆心O处的电势Vo=_______,若将一带电量为q的点电荷从无穷远处移到圆心O点，则电场力做的功W=________________。RQOdqdθ解：解：用带正电的整个圆柱面和带负电的宽为a的无限长直导线在p点产生的场叠加。apRσ整个圆柱面在P点产生场强宽为a的无限长窄条在P点产生场强合场强例3.由叠加原理求场强还可以接受“补偿法”。带有宽为a的狭缝的无限长圆柱面，半径R，电荷面密度σ，求其轴线上一点p的场强。方向沿径向，由中心轴指向狭缝。例4.求图中电荷面密度为σ的匀整带电半球面球心处的场强。解：在球面上取一窄球带由圆环在轴线上产生的场强，在O点处有yxOσdqRαxr式中将dq代入总场强例5.求无限大匀整带电平板内外的场强（设电荷体密度为ρe)a-axE(1)求外部场强通过P1点作柱形高斯面,其一端面过中心线,则是个匀强电场(2)求内部的场强通过P2点作圆柱面,其一端面也过中心线,则

2aP1s1P2s2例6.电量Q(Q>0)匀整分布在长为L的细棒上，在细棒的延长线上距细棒中心O距离为a的点p处放一带电量q(q>0)的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力。解：以棒中心O为坐标原点取X轴。在棒上距原点x取电荷元dq=Q/Ldx,细棒在P点的合场强为++++++++++++++++aOL+QpqXdxx细棒对点电荷的静电力为该电荷元在P电的场强为例7.用静电场的环路定理证明电力线如图分布的电场不行能是静电场。证明：abcd在电场中作图示环路abcda。而在静电场中场强的环流为零，所以该电场不行能是静电场。在ab和cd两段圆弧，场强方向和路径方向垂直，线积分为零。在bc,da段各对应点的场强大小不相等且路径相等，因而例8如图所示，三块平行金属板A,B,和C，面积都是20cm2,A和B相距4.0mm,A和C相距2.0mm,B和C两板都接地。假如使A板带正电，电量为3.0×10-7C,忽视边缘效应，试求：（1）金属板B和C上的感应电量；（2）A板相对地的电势。解：(1)ACBqq1-q1q2-q2d2d1E2E1由由电荷守恒解（1），（2）得（2）A板对地的电势为例9如图所示，一平行板电容器的极板面积为S，间距为d,两极板间有厚度各为d1与d2的电介质，其电容率分别为ε1=ε0εr1,ε2=ε0εr2.试求：当两个金属极板上的面电荷密度分别为±σ时，两层介质中的电位移D和两层介质间分界面上的束缚面电荷密度σ`,以及该电容器的电容C。解：ε1ε2d1d2d（1）电位移（2）介质1中的电场强度介质2中的电场强度介质分界面处的束缚电荷密度为（3）由代入上式，得等效串联例10.平行板电容器极板面积为S，板间距离为d，相对电容率分别为εr1和εr2的两种电介质各充溢板间一半空间。如图所示，求：（1）此电容器带电后，两介质所对极板上自由电荷面密度是否相等？（2）两介质中D,E是否相等？（3）此电容器的电容为多大？εr1εr2d解：（1）两种电介质中电场强度相等得两介质所对极板自由电荷面密度之比为（2）（3）电容等效于两电容器并联例11.带电量q、半径为R1的导体球A外有一内、外半径各为R2和R3的同心导体球壳B，求：（1）外球壳的电荷分布及电势；（2）将外球壳接地又重新绝缘，再求外球壳的电荷分布及电势；（3）然后将内球A接地，B球电势将如何变更？解:AR1+qR2R3-q+qB（1）B球壳：内表面电荷-q,外表面电荷+q。外球壳电势：（2）外壳接地再重新绝缘，（撤掉地线）：球壳内表面电荷仍为-q,外表面电荷为零。球壳外面电场到处为零，故外球壳电势为零，即（3）内球接地后，其电势为零，设其带电q’，则球壳内表面带电(-q’),外表面带电（-q+q’）。依据匀整带电球面电势公式，电势叠加原理，以及内球电势为零，列出方程，以求解内球带电q’：解得球壳B的电势代入q’,得AR1q’R2R3-q’-q+q’B例12.一半径为R的导体球带有电荷Q，球外有一层同心球壳的匀整电介质，其内外半径分别为a和b，电容率为ε。试球电介质内外的电场强度E和电位移D，以及电介质内的极化强度P和表面上的极化面电荷密度σ`。解答提示abR（2）电介质中的电场强度电介质外的电场强度（1）电介质内外的电位移矢量（3）电介质内的极化强度（4）电介质表面极化电荷面密度电介质球壳内表面电荷面密度电介质球壳外表面电荷面密度即例13.长L,内半径为a，外半径为b的圆柱形电容器间充溢相对电容率为εr的电介质，忽视边缘效应。求：（1）电容C；（2）若保持电容器与端电压为U的电源连接，将介质层从电容器中拉出，外力须要做多少功？（3）若断开电源后再将介质层拉出，外力须要做多少功？解：（1）没有电介质时电容有电介质时电容（2）依据功能原理电源做功为外力作的功为（3）若断开电源后再将介质拉出，电容器电量恒定。抽出介质前已知电压为U,代入上式中：例9-8有两块平行放置的匀整带电大金属平板，电荷面密度分为+，-，如图所示,在两平板之间充填两层匀整各向同性的电介质，它们的相对介电常数分别为r1,r2（设r1>r2），两层介质的交界面与大平板平行。+-r1r2求:（1）两层介质中的场强（2）两层介质交界面处的总极化电荷面密度【解】（1）求两层介质中的场强设两介质中的如图,利用的高斯定理，作柱形高斯面S1,S2

S1SS2S有介质时，先求再求+-r1r2SSS2S1x对闭合面S1

：对闭合面S2

：（2）求两层介质交界面处的总极化电荷面密度先求,再求+-r1r2x交界面上总的极化面电荷密度为+-r1r2x探讨：----说明两种介质交界处电位移是连续的，电位移线也是连续的。（的通量只与自由电荷有关）+-r1r2S