华东师大初中数学八年级上册《数的开方》全章复习与巩固-知识讲解(提高)

《数的开方全章复习与固—知识讲（提高）【习标1.了平方根立根的概念会根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算会平方运算求某些非负的平方根用立方运算求某些数的立方根会用计算器求平方根和立方根；2.理无理数和实数的概念道数与数轴上的点一一对应解的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能适当的有理数估计一个无数的大致范.【识络【点理要一平根立根项目

类型

平方根

立方根被开方数符号表示

非负数a

任意实数一个正数有两个平方根，且互为一正数有一个正的立方根；性质

相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；

一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；()2(a

(

)

重要结论

(a0)(a0)

3

要二实有理数和无理数统称为实.1.实的类按定义分：

循环实数按与0的小关系分：理数实数要诠：

理数（）有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（）理数分成三类：①开方开不尽的数，如

5，

等；②有特殊意义的数，如；③有特定结构的数，如0.1010010001（）能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形.（）数和数轴上点是一一对应.2.实与轴的的应系数轴上的任何一个点都对应一个实数任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对.3.实的个负及质在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（）何一个实数

a

的绝对值是非负数，|

a

|≥0；（）何一个实数

的平方是非负数，即

≥；（）何非负数的算术平方根是非负数，即

a

(

a0

).非负数具有以下性质：（）负数有最小值零；（）限个非负数之和仍是非负数；（）个非负数之和等于0，每个非负数都等于0.4.实的算数的相反数是－一正实数的绝对值是它本身个负实数的绝对值是它的相反数；0的对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成实数混合运算的运算顺序方开方、再乘除，最后算加.同运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号.5.实的小比有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成.法则1.实数数轴上的点一一应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大法则2．正数大于0，大负，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

法则3.两个数比较大小常见的法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方.【型题类一平根立根1、下列命题：①负数没有立方；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数1或0如果一个数的立方根是这个数本身么这个数是或中错误的（）A.2个B.3个C.4个D.5【案B；【析①负数有立方根；②的算平方根是；⑤立方根是本身的数有0，±1.【结华把握平方根和立方根的定是解题关.举反：【变式】下列说法其中错误的是（）A．5是25的算术平方根B．C．

的平方根是－4的立方根是－4D．0的平方根与立方根都是0【案B2、已知M是满足不等式3的所有整数

的和，N是满足不等式

372

的最大整数．求M＋的方根．【案解】解：∵

3

6

的所有整数有－，，，所有整数的和M＝－1＋1＋＋＝2∵

37≈，是足不等式x2

的最大整数．∴＝∴＋＝，＋的方根是±2.【结华先由已知条件确定M、的值，再根据平方根的定义求出M＋的平方根．类二实的念运2014秋章市校级期末设x是﹣y﹣．

的整数部分y是

的小数部分，化x【路拨求出的围，得出x=5，y=

﹣，代入求出即可．

22222222【案解】解：∵＜＜，∴5＜6∴，﹣，∴﹣y﹣3|=|5（﹣）﹣=|7|=7﹣．【结华本题考查了估算无理数的小和绝对值，解此题的关键是求出x、的大．举反：【变式】已知5＋

的小数部分为a5－11

的小数部分为b则＋的是；【案

－b的值是_______.a211

；提示：由题意可知

，

.4、已知无理数

在与之间，π在与3.1416之．求的．结果精确到百分位）【路拨先求出

π的的区间，再求出近似数．【案解】解：∵无理数在3.1622与3.1623之π在3.1415与3.1416之．∴3.1622－＜π＜3.1623－3.1415，0.0206＜

π＜0.0208，∴≈0.02．【结华中间过程应多保留一位小.举反：【变式春京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的似值．小明的方法：∵＜＜，=3+k（0＜＜∴（）（3+k，∴13=9+6k+k，∴13，解得≈，∴

≈3+≈．（上述方法中使用了完全平方公式a+b）+2ab+b，面可参考使用）问题：

2222222222（1请你依照小明的方法，估算

≈

（结果保留两位小数（2请结合上述具体实例概出估算m公式已知非负整数bm若＜＜a+1，且+b则m≈【案））．解）＜＜，设∴（）（6+k），∴，∴37，

（用含、b的代数式表示=6+k（0k1解得k

，∴

≈6+

≈．故答案为：；（2若a＜a+1且，则

m

≈

．故答案为：．类三实综应春南期末）已知实数y满立方根．【案解】解：由非负数的性质可知2x﹣，x﹣2y+4=0解得：，．∴﹣y=2×﹣×．∴﹣的立方根是．

，求﹣

的【结华本题主要考查的是非负数性质、立方根的定义，求得、y的是解题的关键．举反：【变式】设a、、都实数，且满2求的值.

(2)

a

，【案解：∵2a2c

∴

2

，解得

∴

b

.如，数轴上AB点，表示的数分别为1和3，点B关点A的称点为C，求点C所示的实数．【路拨首先结合数轴和利用已知件可以求出线段AB的长，然后利用对称的性质即可求出点C所示的实数．【案解】解：∵数轴上A、B两点表示的数分别为和∴点B到A的离为1＋3，