函数极限连续压缩打印版

(A)存在,当x(f(xA(B)存,当x(sin(A)存在,当x(f(xA(B)存,当x(sinx（4）x2题型一复合数x例1、设f(1,x0

,

gx)|x

，试求[(x[f(x)]

.例2、min{3xx

2

,x

3

}

.例4、

设

f(x)

和

()

互为反函数，则

1f[g)]2

的反函数为B)(A)

1g[)](B)[2(x)](C)f)](D)g[f()]231解：[g)]，2

g(3x)(y)，(3)()

，于是

1xf(2))，f(2g(y))3故

1yf[g(3)]反函数为f[gx)]2

题型二函数态例1、

定义于

R

上的下列函数为奇函数的(C)(A)

[x]

(B)

x

tanx(C)lnx2(D)cos例2、

当

时，变量

xcos

是D)（注意函数的局部性质）(A)无小(B)无大(C)有界量(D)无界量例3、

，下列结论成立的是C)设limf()时，0

时f()A(C)若,则存在当

x(,

时f)0(D)若当

x(,

时

f()

,那么

A

.注1

：若limfx)A

，则对

，存在

,当

x(,

时，总有

()

（局部有界.注2若limf()A，U(x,时,x例4、在下列区间中有界的(A)x2

f()

,那

A

（局部保号）.(A)

(

(B)

()

(C)

(

(D)

(1,注：若f(x在ab

内连续，且

f(

)Afb

)B,f(x)a,b

内有界题型三未定计算

（

限于，，

0

，

，另三种

，

以后讲例1、求极限：（1）

lim

(2x

(x6x(x(x2)10

)

2）

lim

xxx1

）lim；x03x1(x303xx注：当x0时ax

5）lim（6）limxxa~xln,(1))b

x(xx（）lim(cos)x()x.

2x注：lim(x

v(

1

limv(xu()

ln()u(

lim()[(x)

/

nnnnnnnnn)o(x)（）(x)o(x)o(xnnnnnnnnn)o(x)（）(x)o(x)o(x)（）ox)(x)()（）(x(x)o(x（）

lim(2)x

）

x

arctanxax

）

x1limex1

）limx0

x

2tan

4sin

（）lim）0

lim

12nn6n6n6

（）

lim

11注1：x，，，x，arccot的限不存在，先研x

时，

sin

，

cos

的极限不存在，只需注意其为有界量，

arctanx

，

arcx

也可考虑有界量性质注2：注3：注4：

一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则注5：限函数f()F(xn)

的求法，要注意对x取范围的讨论，如

xn,nxnx

等n例2、lim

m

,

其中

0(ii

。提示：令max，则aanaman（题的结论是一个常用结论.i21例3、x，y)则lim（）nnnn(A)存在且等于零(B)存在但一定等于零(C)一定存在(D)一定不存在例4设n

ak

，则列n

n

B)=1(A)充分必要条件(B)充分非必要条件）必要非充分条件（）非充分地非必要.例5、

设

0

)(

1,2,

)

，证明：数列

{}n

极限存在并求此极限证：由0x，xx(3)知，，nn13从而有x)[()23)2]，则x上有界，22x(3)x而x=nn，单调增，或者由x知递xxnn由单调有界准则，知limx存在，不妨设limnnnn3将(3)两取极限得a，此解得或a0（去lim2n注：对数列{}若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数{}收敛.n题型五极限用题（先无穷比、近确、断类，后研可性断）

.例1、当0时用(x)

表比x高阶无小则列子错的（）（）

x

23222

)例2、知x时)

x

与(x(x

2

是等价无穷,b的.例3、曲y

xx

的渐近线方.注：

记忆各类渐近线的确定方法：①若

x或xb称b为f()

一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水平渐近线；②若

x(或xx

，

，称

为

yf()

的一条铅直渐近线；③若

limx

，

lim[ykx]

，称

y

为

yf()

的一条斜渐近线(

xx

)

(

)/

提示：2n提示：2n例4、

试确定

y

xx

的间断点，并判断其类型.解：其间断点为k（lim则2k2又lim此k0，（0为其第二类间断点

2

为其可去间断点；而

limlimy

0

为其跳跃间断点xx例6求证(在间x)在x连f()g(x在x间并举例说明()xf00在xx可能连.0

(xf(x)设fx

x

g)sin()在间x)在连续f(x))f(x)x在连续；若设f()

x

，f(x)在x间断，但f

()f()在连.注f(x)在x点续”是“f(在点连续”的分不必要条.00课练（A(xx

，f[()]

，则g()

．（A

0x

时，

x,cosx}

．（

min{3xx}

．（A

f(sgn

相同的函数为()(A)

2

(B)

x)

(C)

x

(D)

（A知

xH(x)x0,

则

H(x)H(x

．（A

(x)

xx

xx

，

2f)

，则

[f()]

．（A

f()

arcsinx

，又

f[(x)]

，则

g()

的定义域为

．（A0limb，limc则有（）nnnnnnn(A)b对意n成立(B)b对意成立C)limac不在(D)lim不在nnnnn9（Bxy且lim(y){}{}()nnn都收敛于(B)都敛，但不一收敛于(C)可能收敛，也可能发(D)都散10（A0，是()(A)无穷小(B)无穷大(C)有但非无穷小(D)无但非无穷大11（数列，下列断言正确的是（）nnnn(A)若x发，则y必散(B)若x无，则必有界nn(C)若x有，则y必无穷小(D)若x为穷小，则必无穷小nnnn12（A

()

xsin(xx

在下列哪个区间内有界（）(2,3)((A)(B)(C)(D)13（A0时x)ln(1)=o(xsinx)，xxf()x0，点是（）14（A函数x

n

=

，则正整数

n=

．(A)可间断点(B)跳跃间点(C)第类间断点(D)连点15（A

函数f(x

xx2

1的无间点个为2

．/

n2nnn2nn16（数

f()

xx(lnx

的去断的数（A

f(x)

e

，则该函数图象具有B(A)条水平渐近线，一个可去间断点(B)条水平渐近线，一个跳跃间断点(C)一条铅直渐近线，一个可去间断点一条铅直渐近线，一个跳跃间断点18（A）曲线

y

xx

渐近线的条数为

．19（线

yln(1)

渐近线的条数为

．20（

fx)

在

(

内连续，且

limf()x

，则（）(A)0(B)0(C)0(D)ab21（函数f()在(有界，列题正确的是（）(A)若(B)若xnnnn(C)若f()收敛，则x收(D)若f()单调，则x收敛nn22（A下列极限或判断极限的存在性：（）

limx

arctanxx

）

limx(x2100)x

）

limx

3sinx1x）cosx)ln(1)

；（）

limx

lncoslncos

）

limx0

3

3x1

）

limx

1tansinxsinx

；（）

x

xsinxxx

）

3n)nn

）

lim0

ln(141cos)

；（10n

112)lim(sin)nn2

x

lim(x

xx

)

)

；（13）

2lim()0

）lim

()（）x0

1

；（16）

lim(nn

n)

）

x

x

x

)

1x

）

1n2

1n2

)

；23（A

2x2axf()x

在

(

上连续，则

．24（A

f(x)lim

(

，则

f(x

的间断点为．（B

x且n

x

，证明limx存，并求limx．nnn26（27（A

0x6（）证明lim存并求lim．nf)5x)lim，则limf()．x0202