《高等数学E》教学大纲

第页《高等数学E》教学大纲课程编号：10100905英文名称：AdvancedMathematicsE学分：6学时：96课程类别：专业平台课授课对象：轻化工程，纺织工程，机械类，专业学生教学单位：数理信息学院计算数学学科修读学期：第1学期一、教学任务高等数学E是面向土木工程，工程管理，工程造价，建筑学等专业的一门必修的专业基础理论课。通过本课程的学习，主要使学生获得极限，一元函数导数和微分，多元函数偏导和重积分，微分方程等的基本概念、基本理论、基本方法、基本运算技能及其应用。目的是为学习后继课程和进一步获得知识奠定必要的数学基础和计算技能，同时培养学生一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力以及自学能力，为加强应用型人才的培养提供基础的理论训练。二、教学目标1．专业知识方面：通过本门课程的学习，使学生对微积分的基本概念和基本方法及其应用有比较全面的了解，掌握微分和积分的运算技能和运算方法专业知识。2．专业能力方面：通过本门课程的学习，使学生掌握微分积分的基本理论和计算方法，培养学生利用微积分知识解决实际问题的和学习后续课程的能力。3．综合能力方面：通过本门课程的学习，使学生养成一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、分析问题和解决问题的能力以及自学能力，，提升学生在实践领域的创新能力。三、教学内容（一）函数和极限教学内容：（1）函数、复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，函数的主要特性，基本初等函数的性质及其图形，初等函数的概念；（2）数列极限与函数极限的概念，极限的有关性质及极限的四则运算法则；（3）两个重要极限，无穷小的概念与性质，无穷小阶的比较，无穷大的概念及其与无穷小之间的关系，等价无穷小；（4）函数连续性与间断点的概念，函数的间断点及其类型，闭区间上连续函数的性质。教学要求：（1）理解函数、复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，了解函数的主要特性；掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；（2）理解数列极限与函数极限的概念。了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；（3）掌握用两个重要极限求极限的方法。理解无穷小的概念，了解其基本性质，掌握无穷小阶的比较方法；了解无穷大的概念及其与无穷小之间的关系；会用常见等价无穷小代换求极限；（4）理解函数连续性的概念，会求函数的间断点及确定其类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。重点：利用两个重要极限、等价无穷小求极限的方法。难点：连续的概念及其性质的理解。（二）导数与微分教学内容：（1）导数的概念及其几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系；（2）基本求导公式，导数的四则运算法则和复合函数求导法则，反函数的求导法则，隐函数求导法则与对数求导法，以及导数的实际意义及相关变化率；（3）高阶导数的概念，初等函数的一阶、二阶导数的求法；（4）微分的概念，微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。教学要求：（1）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系；（2）熟练掌握基本求导公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，反函数的求导法则；掌握隐函数求导法则与对数求导法；了解导数的实际意义及相关变化率；（3）了解高阶导数的概念，掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法；（4）理解微分的概念，掌握微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。重点：导数的各种求导法（复合函数、隐函数、幂指函数和参数方程、分段函数）。难点：复合函数求导法、隐函数求导法。（三）

中值定理与导数应用教学内容：（1）罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理基本内容，洛必达(Hospital)法则求未定式的极限的方法；（2）函数的单调性判定定理，函数凹凸性判定定理，极值与拐点的概念，极值及最值的判定方法，简单的应用问题。教学要求：（1）了解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理基本内容，会用罗尔定理及拉格朗日定理的进行简单应用，熟练掌握洛必达(Hospital)法则求未定式的极限的方法；（2）理解函数的极值概念，掌握判断函数的单调性和求极值及最值的方法，会求解简单的应用问题。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点。重点：洛必达法则、函数的单调性与极值、曲线的凹性与拐点。难点：洛必达法则、罗尔定理，拉格朗日中值定理的应用。（四）一元函数积分学教学内容：（1）原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质和基本公式；（2）不定积分的换元积分法和分部积分法；（3）定积分的概念及几何意义，定积分的基本性质；（4）变上限的积分的理解及其求导定理，牛顿（Newton）--莱布尼茨(Leibniz)公式；（5）定积分的换元法与分部积分法；（6）利用定积分求平面图形面积及简单的的立体体积；（7）无穷限积分及其收敛性的概念。教学要求：（1）理解原函数与不定积分的概念；掌握不定积分的基本性质和基本公式；（2）掌握不定积分的换元积分法和分部积分法；（3）理解定积分的概念及几何意义；了解定积分的基本性质；（4）掌握变上限的积分的理解及其求导定理；掌握牛顿（Newton）--莱布尼茨(Leibniz)公式；（5）熟练掌握定积分的换元法与分部积分法；（6）会用定积分求平面图形面积及简单的的立体体积；（7）了解无穷限积分及其收敛性的概念，掌握用定义判别其敛散性的方法。重点：换元积分法与分部积分法、牛顿—莱布尼兹公式，变上限定积分函数的求导。难点：凑微分法、换元积分法中的三角代换。（五）多元函数微分学教学内容：（1）向量代数与空间解析几何的有关预备知识，多元函数的概念，二元函数的表示法与几何意义以及二元函数的极限与连续的直观意义；（2）多元函数偏导数与全微分的概念，求函数偏导数的方法，求复合函数的一阶、二阶偏导数的方法及隐函数微分法以及全微分方法；（3）多元函数极值和条件极值的概念，二元函数的极值判定定理；拉格朗日乘数法求条件极值及比较简单的最值问题。教学要求：（1）了解向量代数与空间解析几何的有关预备知识。了解多元函数的概念，了解二元函数的表示法与几何意义；了解二元函数的极限与连续的直观意义；（2）理解多元函数偏导数与全微分的概念；掌握求函数偏导数的方法，掌握求复合函数的一阶、二阶偏导数的方法及隐函数微分法；掌握全微分方法；（3）了解多元函数极值和条件极值的概念；会求二元函数的极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求解比较简单的最值问题。重点：多元函数偏导数与全微分的概念、求复合函数偏导数的方法，隐函数微分法及全微分方法。难点：抽象函数求高阶偏导。（六）重积分教学内容：（1）二重积分的概念与基本性质；（2）直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算。教学要求：（1）理解二重积分的概念，了解基本性质；（2）熟练掌握直角坐标系、极坐标系下二重积分的计算。重点：求函数偏导数与全微分的各种方法、二元函数的极值；二重积分的计算。难点：多元复合函数、隐函数偏导数的求法、极坐标系下二重积分的计算。（七）微分方程及其应用教学内容：（1）微分方程，方程的阶、解、初始条件、初值问题等概念；（2）一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程的基本解法；（3）线性微分方程的解的性质、解的结构；（4）二阶常系数线性微分方程的解法。教学要求：（1）了解微分方程，方程的阶、解、初始条件、初值问题等概念；（2）熟练掌握一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程的基本解法；（3）了解线性微分方程的解的性质、解的结构；（4）熟练掌握二阶常系数线性微分方程的解法。重点：可分离变量法、常数变易法、二阶常系数齐次线性微分方程的解法。难点：常数变易法、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。四、学时分配总学时96学时，其中理论96学时.建议自主学习18小时。学时分配如下：教学内容理论学时实践学时合计函数和极限12012导数和微分12012中值定理和导数的应用10010一元函数积分学20020多元函数微分学20020重积分12012微分方程及其应用10010合计96096自主学习内容建议时间函数的概念和性质3导数的基本公式和计算3导数在实际中的应用3一元函数积分基本公式3多元函数微分学在几何上的应用4微分方程基本概念2合计18五、学业评价和课程考核学业评价和课程考核采用过程性和结果性相结合的方式，过程性的方式包括平时出勤与课堂讨论、作业（8次）、阶段测验（1次）等；结果性的方式采用期末闭卷考试进行考核。课程总的考核成绩按百分制计分，其中过程性学业评价中平时出勤与课堂讨论成绩占10%，作业成绩占10%、阶段性测验20%；结果性期末考试成绩占60%。六、教学反馈根据作业、阶段测验等过程性学业评价的结果，结合学生的实际情况做出针对性的教学反馈，教学反馈形成采用对作业进行批注，学生座谈等反馈的形式，次数为8次。七、教材与参考书教材：陶祥兴，朱婉珍主编．《高等数学》（上、下）．北京：高等教育出版社．2012年12月．参考书：1．吴赣昌主编．《微积分》（第三版）（上、下册）（教育部推荐教材）．北京