初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

时间：二O二一年七月二十九日中考数学最值问题总结之邯郸勺丸创作时间：二O二一年七月二十九日考察知识点：1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点对于线对称”,“线段的平移”.（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完整平方公式配方求多项式取值二次函数极点）出题布景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.解题总思路：找点对于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：BA条件：以下左图,A、B是直线l同旁的两lP个定点．A问题：在直线l上确立一点P,使PA′PB的值最小．方法：作点A对于直线l的对称点A,连结AB交l于点P,则PAPBAB的值最小例1、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD（不含B点）上随意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°获得BN,连结EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日（2）①当M点在哪处时,AM+CM的值最小；②当M点在哪处时,AM+BM+CM的值最小,并说明原因；（3）当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.例2、如图13,抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的极点为（1,4）,交x轴于A、B,交y轴于D,此中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的分析式（2）如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,此中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上能否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在,请说明原因.（3）如图15,抛物线上能否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线MN∥BD,交线段AD于点N,连结MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标；若不存在,说明原因.例3、如图1,四边形AEFG与ABCD都是正方形,它们的边长鉴别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b示意）1）求S△DBF;(2)把正方形AEFG绕点A逆时针标的目的旋转450得图2,求图2中的S△DBF;把正方形AEFG绕点A旋转随意角度,在旋转过程中,S△DBF能否存在最大值,最小值?假如存在,试求出最大值、最小值；假如时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日不存在,请说明原因.例4、如图,在平面直角坐标系中,直线y=1与抛物线y=ax2+bx3交x+12于A,B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A,B重合）,过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作PD⊥AB于点D1）求a,b及sinACP的值2）设点P的横坐标为m①用含m的代数式示意线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,能否存在合适的m值,使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在,直接写出m值；若不存在,说明原因.例5、如图,⊙C的内接△AOB中,AB=AO=4,tan∠AOB=34

抛物线ax2bx经过点A(4,0)与点（-2,6）.1）求抛物线的函数分析式；2）直线m与⊙C相切于点A,交y于点D.动点P在线段OB上,从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上,从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单位长,点Q的速度为每秒2个单位长,当PQ⊥AD时,求运动时间t的值；3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上,当△ROB面积最大时,求点R的坐标.例1、证明：（1）∵△ABE是等边三角形,时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日∴BA=BE,∠ABE=60°．∵∠MBN=60°,∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．又∵MB=NB,∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）解：2）①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小．（7分）②如图,连结CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小．（9分）原因以下：连结MN,由（1）知,△AMB≌△ENB,∴AM=EN,∵∠MBN=60°,MB=NB,∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）依据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长．（11分）例2、解：（1）设所求抛物线的分析式为：ya(x1)24,依题意,将点B（3,0）代入,得：a(31)240解得：a＝－1∴所求抛物线时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日的分析式为：y(x1)24（2）如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I对于x轴对称,在x轴上取一点H,连结HF、HI、HG、GD、GE,则HF＝HI①设过

A、E两点的一次函数分析式为：

y＝kx＋b（k≠0）

,∵点

E在抛物线上且点

E的横坐标为

2,

将

x＝2

代入抛物线y

(x1)2

4,

得∴点E坐标为（2,3）又∵抛物线y(x1)24图像鉴别与x轴、y轴交于点A、B、D∴当y＝0时,(x1)240,∴x＝－1或x＝3当x＝0时,y＝－1＋4＝3,∴点A（－1,0）,点B（3,0）,点D（0,3）又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1,∴点D与点E对于PQ对称,GD＝GE②鉴别将点A（－1,0）、点E（2,3）代入y＝kxb,得：kb0解得：k12kb3b1过A、E两点的一次函数分析式为：y＝x＋1∴当x＝0时,y＝1∴点F坐标为（0,1）∴DF=2③时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日又∵点F与点I对于x轴对称,∴点I坐标为（0,－1）∴EIDE2DI2224225④又∵要使四边形DFHG的周长最小,因为DF是一个定值,∴只需使DG＋GH＋HI最小即可由图形的对称性和①、②、③,可知,DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时,EG＋GH＋HI最小设过E（2,3）、I（0,－1）两点的函数分析式为：yk1xb1(k10),鉴别将点E（2,3）、点I（0,－1）代入yk1xb1,得：解得：k12b11过A、E两点的一次函数分析式为：y＝2x－1∴当x＝1时,y＝1；当y＝0时,x＝1；2∴点G坐标为（1,1）,点H坐标为（1,0）2∴四边形DFHG的周长最小为：DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI由③和④,可知：DF＋EI＝225∴四边形DFHG的周长最小为225.（3）如图7,由题意可知,∠NMD＝∠MDB,要使,△DNM∽△BMD,只需使即

NMMD即可,MDBD：时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日MD2NMBD⑤设点M的坐标为（a,0）,由MN∥BD,可得△AMN∽△ABD,∴NMAMBDAB再由（1）、（2）可知,AM＝1＋a,BD＝32,AB＝4AMBD(1a)3232∴MNAB4(1a)4∵MD2OD2OM2a29,∴⑤式可写成：a2932(1a)324解得：a3或a3（不合题意,舍去）2∴点M的坐标为（3,0）2又∵点T在抛物线y(x1)24图像上,∴当x＝3时,y＝1522∴点T的坐标为（3,15）.22例3、解：（1）∵点F在AD上,∴AF2=a2＋a2,即AF=2a.DFb2a.∴SDBF1DFAB1（b2a）b1b23ab.22222）连结DF,AF,由题意易知AF∥BD,∴四边形AFDB是梯形.∴△DBF与△ABD等高同底,即BD为两三角形时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日的底.由AF∥BD,获得平行线间的距离相等,即高相等,∴SDBFSABD1b2.23）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中,F点的轨迹是以点A为圆心,AF为半径的圆.第一种状况：当b＞2a时,存在最大值及最小值,∵△BFD的边BD=2b,∴当F点到BD的距离获得最大、最小值时,S△BFD获得最大、最小值.如图,当DF⊥BD时,S△BFD的最大值=12b(2b2a)b22ab,222S△BFD的最小值=12b(2b2a)b22ab.222第二种状况：当b=2a时,存在最大值,不存在最小值,S△BFD的最大值=b22ab.2例4、解：（1）由1x+1=0,获得x=－2,∴A（－2,0）.2由1x+1=3,获得x=4,∴B（4,3）.2y=ax2+bx3经过A、B两点,∴4a2b3=0,解得a=12.16a+4b3=31b=2设直线AB与y轴交于点E,则E（0,1）.∴依据勾股定理,得AE=5.∵PC∥y轴,∴∠ACP=∠AEO.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日∴sinACP=sinAEO=OA225.AE55（2）①由（1）可知抛物线的分析式为y=1x21x3.22由点P的横坐标为m,得Pm，1m21m3,Cm，1m+1.222∴PC=1m+11m21m31m2+m+4.2222在Rt△PCD中,PDPCsinACP=1m2+m+425=5m12+95,25555<0,∴当m=1时,PD有最大值95.55②存在知足条件的m值,m=5或32.9例5、解：（1）将点A（4,0）和点（-2,6）的坐标代入y=ax2+bx中,得方程组16a+4b=0,4a-2b=61解之,得a=2.∴抛物线的分析式为y=1x2-2x.2b=-22）连结AC交OB于E.∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m,∵弦AB=AO,ABAO.∴AC⊥OB,∴m∥OB.∴∠OAD=∠AOB,∵OA=4tan∠AOB=3,∴OD=OA·tan∠OAD=4×3=3.44作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×3=2.4.5t秒时,OP=t,DQ=2t,若PQ⊥AD,则FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.⊿ODF中,t=DF=OD2OF2=1.8秒.时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日（3）令R(x,1x2－2x)(0＜x＜4).2作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x,OG=1x2+2x.2Rt⊿RIG中,∵∠GIR=∠AOB,∴tan∠GIR=3.∴IG=4xIR=543