中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习含详细答案

中考数学复习《锐角三角函数》专项综合练习含详细答案一、锐三角函数1．如图，山坡上有一棵树AB，底部B点山脚点距离BC为6米山坡的坡角为．宁在山的平地F处量这棵树的高，点C到角仪EF的水平距离CF=1米从处测得树顶部A的仰角为45°，底部B的角为20°，树AB的度．（参考数值：，cos20°，）【答案6.4米【解析】解：底点山脚C点距离BC为63米山坡的坡角30°DC=BC•cos30°=

3

米CF=1米DC=9+1=10米，米AEG=45°米在直角三角形中•tan20°=10×0.36=3.6米AB=AG-BG=10-3.6=6.4米答：树高约为6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中可得BG的，从而求得树高2．如图，从地面上的点看一山坡上的电线杆，测得杆顶端点的仰角是45°，前走到达B点测得杆顶端点P和杆底端点Q的角分别是和．（）求BPQ的度数；（）该电线的度（结果精确到）备用数据：，

【答案】（）BPQ=30°；（）电线杆的高度约为9m．【解析】试题分析：1）长PQ交线AB于，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（）PE=x米在直eq\o\ac(△,)和eq\o\ac(△,)BPE中根据三角函利用表出AE和BE根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的，再在直eq\o\ac(△,)BQE中用三角函数求得的，则的度即可求解．试题解析：延长交直线AB于点，（）BPQ=90°-60°=30°；（）PE=x米在直eq\o\ac(△,)中，则AE=PE=x米PBE=60°BPE=30°在直eq\o\ac(△,)BPE中，BE=AB=AE-BE=6，

3PE=x米3则x-

x=6，解得：3．则3+3米．在直eq\o\ac(△,)中QE=BE=（）（3）．3PQ=PE-QE=9+3

3-（3+3）≈9米）．答：电线杆的高度约米考点：解直角三角形的应仰角俯角问题．3．在正方形中对角线AC交于点，P在线段BC上不含点），

，PE交BO于点，过点B作BF，足为F，AC于点G．（）点P与点C重合时（如图1）．求证eq\o\ac(△,)POE；

（）过观察测量、猜想：

BFPE

=

，并结合图2证你的猜想；（）正方形改菱，其他条件不变（如图3），求值．（用含的子表示）

BFPE

的【答案】（）明见解析2

BF（tanPE2PE

【解析】解：（）明四形ABCD是方形，与C重合，，∠．，GBO=90°—，EPO=90°BGO．EPO．POE（）．（）

1

．证明如下：如图，过P作PM//ACBG于M，BO于，0．OBC==45，．NB=NP．0—，∠—，MBN=NPEBMNPEN（）BM=PE．BPE=

，BPN=，．，MFP=90．又PF=PF，BPF（）BF="MF"，BF=

BM．

BF1PE，即．2（）图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，ACB=，BOC=90．由（）理得

BM，∠．∠0，BMNPEN

BMBNPEPN

．在eq\o\ac(△,)BNP中1tan

=．

BM2BF，tan，PE

=tan

．（）正方形性质可由AAS证eq\o\ac(△,)POE．（）P作交BG于M，交BO于，过ASA证eq\o\ac(△,)BMNPEN得到，过ASA证eq\o\ac(△,)BPF得到BF=MF，即可得出

BF1

的结论．（）P作交BG于点M，BO于点，（）证得BF=

BM，EPN，从而可证eq\o\ac(△,)BMNPEN，

BMBN和eq\o\ac(△,)BNP中tan=即PEPN可求得

BF1=tanPE2

．4．如图（）在平面直角坐标系中，点A（，6）点B（0．eq\o\ac(△,)CDE中，，，，角边CD在y轴上，且点与重合．eq\o\ac(△,)CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运到点时停止运动．解答下列问题：（）图2）当eq\o\ac(△,)CDE运动到点与O重时，设CE交AB于M求BME的度数．（）图3）在eq\o\ac(△,)CDE的运动过程中，当CE经点时求BC的．（）eq\o\ac(△,)CDE的动过程中，设AC=heq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)的叠部分的面积为，请写出S与之的函数关系，并求出面积S的大值．

【答案】（）BME=15°；（2BC=4

；（）≤2时S=﹣

h+4h+8，当时﹣．【解析】试题分析：1）图2，对顶角的定义知BME=，BME的度数，需先求出的数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（）图3，已知可OBC=，OB=6，通过解直eq\o\ac(△,)BOC就求出BC的长度；（）要分类论≤2时如4作MNy轴交轴于点，MFDE交DE于点F，EDC﹣eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)EFM；当≥2时，如图3，OBC．试题解析：解：1）图，在面直角坐标中，点（，6）点B（，）．OA=OB，，，

，OCE=60°，CMA=OCE﹣﹣，BME=CMA=15°；如图，

eq\o\ac(△,)EFMS=Seq\o\ac(△,)EFMS=S，，OBC=DEC=30°，OB=6，

，BC=4

；（）时如图4作MNy轴交轴点，MF交DE于点，CD=4，

，，AN=NM﹣FM，AN=MN=4+hFMCMN，

，

，解得﹣

，S=SEDC

﹣=

×4×4

﹣（）×（﹣）﹣

h+4h+8，②如3，h≥2时OBC

=OC×OB=

（﹣）×6=18﹣．考点：、角的外角定理2、似、解直角三角形5．已知eq\o\ac(△,)ABC中是O的弦，斜边AC交O于D且AD=DC，长CB交O于点．

（）的、、、、五点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的？请说明理由；（）图2，点作的切线，交AC的长线于点．①若CF=CD时求CAB的值；②若CF=aCD（＞），试猜想CAB的．（用含a的数式表示，直接写出结果）【答案】（）；（）①

；

．【解析】试题分析：1）接AE、，图，根据圆周角定理可ADE=ABE=90°，于AD=DC，据垂直平分线的性质可得AE=CE；（）接AE、，图，由ABE=90°得AE是O的径，根据切线的性质可得AEF=90°，而可证eq\o\ac(△,)ADE△AEF，后运用相似三角形的性质可得

=AD•AF．当时，可得

，从而有

CD，在eq\o\ac(△,)DEC中用三角函数可得CED=

，根据圆周角定理可CAB=，可求出sinCAB的；当CF=aCDa＞），同即可解决问题．试题解析：1）．由：连接AE、，图1，，ABE=90ADE=，，AE=CE（）接AE、，图，ABE=90°AE是O的径EF是的切线，AEF=90°，ADE=，DAE=EAFAEF，

，•AF．①当CF=CD时，，

=DC•3DC=

，DCEC=AE，EC=DC，sinCAB=sinCED=

=

；

②当CF=aCD（＞），

．CF=aCD，，（）CD，

=DC（a+2）（），AE=DC，EC=AE，EC=sin∠

=

，．考点：．的合题2探究型．存在型．6．如图，已知点从

出发，以1个位度秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，点

在第一象限内，且；以

为圆心，

为半径作圆．设点运动了秒求（）的标（用含的数式表示）；（）点在动过程中，所有使

与菱形

的边所在直线相切的的值．【答案】解：（）过作，，

轴于，，

，

点的标为（）当

与

．相切时（如图），切点为，此时，，

，．②当

与

，即与轴切时（如图2）则切点为，，过作

于，

，，

．③当

与

所在直线相切时（如图3），设切点为，

交

于，则，，．过作

轴于，，，

化简，得解得，，．所求的值，

和

，

．【解析】（）作

轴于,利三角函数求得OD、的，从而求得点的标与形的边所在直线相切，则可与OC相；或与相；或与相，应分三种情况探讨①圆P与OC相切时，如图1所，由切线的性质得到PC垂直于，由OA=+t，根据菱形的边长相等得到，AOC度数求为，在直角三角形中利用锐角三角函数定义表示出，示出，等于1+t列关于的程，求出方程的解即可得到t的值②圆P与即与轴切时，过P作PE垂直于，又PC=PO，用三线合一得到为OC的点，OE为OC的一半，而OE=OPcos30°，出关于t的程，求出方程的解即可得t的；当圆P与所的直线相切时，设切点为F，与交点G，切线的性质得到PF垂直于，PF垂于，，直角三角形中利用锐角三角函数定义由OC表示出，为FG，直角三角形中，利用OP表示出PG，用PG+GF表出PF，据，表示出PC过C作CH垂直于y轴在直角三角中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到t的，综上，得到所有满足题意的t的．7．如图eq\o\ac(△,以)的一边AB为直径O，O与BC边的交点恰为BC的点，过点D作的切线交AC边点F.（）证：AC；（）若ABC=30°，的值【答案】证见解析(2)

.【解析】试题分析：1）接OD，据三角形的中位线定理可求出OD，根据切线的性质可证明DE，而得证．（）作OFBD，根据等腰三形的性质及三角函数的定义用OB表出、的长，根据三角函数的定义求解．试题解析：证明连DE为O的切线ODDE

22为AB中点D为BC的中点OD‖ACDE(2)过O作OF则在eq\o\ac(△,)BFO中ABC=30°

OB

,BF=BD=DC,BF=FD，3FC=3BF=OB在eq\o\ac(△,)OFC中

1OBOF3OB2

39

.点睛：此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性，根据已知得出OF=

，OB，是解题关2键．8．水库大坝截面的迎水坡坡比（与AE的度之比为10.6背水坡坡比为1：，大坝高DE=30米坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．【答案】故大坝的截面的周长是6+30+98）米，面积是1470平米．【解析】试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的，然后利用勾股定理求出和BC再由大坝的截面的周长梯形的面积公式可得出答案．试题解析：迎坡坡比DE与AE的度之比）为：0.6，DE=30m，AE=18米在eq\o\ac(△,)中AE

2

=6米背坡坡比为：，BF=60米在eq\o\ac(△,)BCF中，BC==305米周=34

+10+305+88=634+305）米，面积（）×30÷2=1470（平方米）．故大坝的截面的周长是（6+30+98）米，面积是1470平米．

9．如图，eq\o\ac(△,)ABC中，ABC=30°，动点从出，在AB边以每秒个位速度向点B运动，连结CD，点关直线CD的称E，设点D运动时间为（）．（）eq\o\ac(△,)是BE为的等腰三角形，求t的值；（）eq\o\ac(△,)为角三角形，求t的；（）

eq\o\ac(△,)

≤

时，所有满足条件的的值范围（有数据请保留准确值参考数据：tan15°=2﹣）【答案】（）

；（2）秒或3秒（）﹣3【解析】【分析】（）图1，由勾股定理得AB的长，根据点、关直线CD的称，得垂平分AE，根据线段垂直平线的性质得AD=DE，以AD=DE=BD，AB=33，可得t的值；（）两种情：①当时如图，连接AE，根据AB=3t=33，得的值；②当时如图，根eq\o\ac(△,)得，由ED得四边形CAED是平行四边形，所以，；（）中由对称得：，以在运动过程中，的不，所eq\o\ac(△,)BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①eq\o\ac(△,)BCE在BC的方时，②eq\o\ac(△,)BCE在BC的方时，分别计算当高为3时应的t的值即可得结论．【详解】解：（）图1，接AE，由题意得：，CAB=90°，CBA=30°，，AB=

6

2

=3，点、E关于直CD的对称，CD垂直平分AEAD=DE，

BDE是BE为底的等腰三角形，DE=BDAD=BD，t=AD=

3

；（）为角三角形时，分两种情况①当时如图，连接AE，CD垂直平分AEAD=DE=t，，，AB=3t=3

3，t=

3；②当时如图，连接，CD垂直平分AECE=CA=3，CAD=，，GED，，EGD，AGC，AC=DE，，四形CAED是行四边形，，t=3；综上所述eq\o\ac(△,)为角三角形时t的值为或秒（）中由对称得：，以在运动过程中，的不，所eq\o\ac(△,)BCE面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，①eq\o\ac(△,)BCE在BC的方时，过B作CE，的长线于，如图4，当AC=BH=3时，此时

eq\o\ac(△,)

=

1AE×3×3=，2易eq\o\ac(△,)，，ABC=BCG=30°，﹣，，AD=DE，，

ECD，ACD=DCE=15°tanACD=tan15°=t=6﹣3，

t

=2﹣，由图形可知0＜6﹣3时BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②eq\o\ac(△,)BCE在BC的方时，如图CE=ED=3，CEED，此时

eq\o\ac(△,)

=

1CE•DE=×3×3=，此时，2综上所述，当

eq\o\ac(△,)

≤

时，的值范围是﹣3≤t．【点睛】本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．10．物线（）过点A(1,﹣，B(5,﹣，轴于点C．（）抛物线达式；（）图1，接CB，以CB为作若点P在直线BC下的抛物线上为坐标平面内的一点，CBPQ的积为，①求坐标;②过二点的直线交y轴此线上一动点G,当GB+

最小时求点G坐标.（）图2，过、、三点，为径，点M为上一点（不与点，E重合），MBN为直角，边BN与ME的长线交于N，求段BN长度的最大值

【答案】（）﹣6x+4（）①P(2,-4)或P(3,（）13【解析】【分析】（）点A1，），（5，）代入抛物2+bx+4解式，即可得出抛物线的表达式；（）如图，连接，过点作y轴平行线交直线BC于R，可求得直线BC的析式为：，点（，2），（，）因为CBPQ的积为30，以

eq\o\ac(△,)

=

×(−t+42−4)×5＝，得t的值，即可得出点的坐标②当点P为（，），求得直线QP的析式为y=-x-2，得F（，），GOR=45°，为

GF=GB+GR，以当于重时最小，即可得出点G的坐标；当点为（，5）时，同理可求；13（）用面积求出，ACB=，eq\o\ac(△,)ABE中，求得圆的直径，3因为MB，得N=AEB=，因为

MB2＝，所以BN=MB，MB为BN3直径时，BN的长度最大．【详解】(1)解（）抛线y=ax+bx+4a）点A（，），（，-1，

解得

抛线表达式为﹣．(2)①图，连接PC，点作y轴的平行线交直线于R

4＝m4＝m设直线BC的析为y=kx+mB（，-1）C（0，），

，得

km＝

直BC的解析式为y=-x+4，设点（，-6t+4）R（，）CBPQ的积为30，

eq\o\ac(△,)

=

×(−t+42+6t−4)×5＝15，解得t=2或t=3，当t=2时y=-4当t=3时，点坐标为2，或，）②当为2，）时，直BC解析式为：，BC，设直线QP的析式为，将点P代入，4=-2+n，，直QP的解析式为：，（，-2）GOR=45°GB+

当于重时最，此时点的坐标为（，），同理，当点P为（，），直线的析为，同理可得点的标为（，），(3)）（，），（，）（，）26

，，

eq\o\ac(△,)

=

AC×BCsinACBAB×5，sin

，，AE为径AB=4，

，sinAEB=sinAE=2，

＝，AEMB，∠EAB，N=ACB，tanN=

MB＝，BNBN=

MB，当MB为直径时的长度最大，为．【点睛】题考查用到待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，圆周角定理，锐角三角函数定义，平行四边形性质．解决）问的关键找到与BM之的数量关系．11．知eq\o\ac(△,Rt)，＝点是BC中，AD＝BC＝，A，D两点作O交于点，（）弦的长；（）图1，圆心在上点O上动点，连接DM交AB于，求当ON等于多少时，三点、、组成的三角形是等腰三角形？（）图2，圆心不AB上动O与DB相于点Q时过D作（垂足为）交O于，问：O变动时DP﹣DQ的变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（）（）ON等1或3﹣时，三点、EM组的三角形是等腰三角形

（）变，理见解析【解析】【分析】（）据直角角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（）DE、，得当ED和EM为等腰三角形EDM的腰，根据垂径定理得论得OEDM，易得eq\o\ac(△,)为边三角形，CAD=60°，DAO=30°，，后根据含30°的角三角形三边的关系得

3，DN=1；当MD=ME，为底边，作DH，由于3，DAE=30°，到DH=，DEA=60°，，于是OE=DE=2，，又M=，MD=ME得到MDE=75°，则ADM=90°-75°=15°，可得到DNO=45°根据等腰直角三角形的性质得到

3，-1；（）AP、，，得DP则PDB=，根据圆周角定理得PDB，AQC=P，则PAQ=60°，CAQ=易证eq\o\ac(△,)AQC，到则DP-DQ=CQ-DQ=CD，eq\o\ac(△,)为边角形CD=AD=2即可得到DP-DQ的值．【详解】解：（）＝，点是BC中点，43，＝

BC2；（）DE、，图，DM，当ED和为腰三角形的两腰，OE，又＝，ADC为等边三角形，＝，＝30°，＝，在eq\o\ac(△,)ADN中＝

＝，在eq\o\ac(△,)ODN中＝

＝，当ON等于时三点、、组的三角形是等腰三角形；当MD＝，为边，如图3，DHAE，＝3，＝，＝3，DEA＝，＝，ODE为等边三角形，

OE＝＝，＝，＝＝30°而MD＝，＝，ADM＝﹣75°，＝，为腰直角三角形，＝＝，ON＝3﹣；综上所述，当ON等1或3﹣时，三点、E、组成的三角形是等腰三角形；（）当O变时DP﹣的值不变，﹣DQ＝3．由如下：连AP、，如图，C＝CAD＝，而DPAB，DP，PDB＝C＝，又＝，＝，＝，＝ADAQC＝P，APD，DPCQ，DPDQ＝﹣＝＝2

3．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含的角三角形三边的关系．12．知：如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABO中OAB=30°，OA．以点O为原点，斜边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（，0）为圆心，PA长半径画圆P与轴的另一交点为，点在上，且满．以秒个单位长度的速度沿x轴左运动设运动时间为ts，解答下列问题：

MNMN··MNMN··（发现）（）的长度为多少；（）ts时，求扇形（影部分）与eq\o\ac(△,)重部分的面积．（探究）当eq\o\ac(△,)ABO的边所在的直线相切时，求点的标．（拓展）当与eq\o\ac(△,)的边有两个交点时，请你直接写出t的值范围．【答案】【发现】（）的长度为

π；（）叠部分的面积为；探究】：点P8的坐标

32展t的值范围是

2t

或4

，理由见解析．【解析】【分析】发现：1）确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；（）求出=1进而求出PQ，即可用面积公式出结论；探究：分圆和直线AB和直线相切，利用三角函数即可得出结论；拓展：先找出MN和角三角形的两边有两个交点时的分界点即可得出结论．【详解】发现（）（，），OP=4=3，=1，故答案为；

的长度为

3

．（）设半为，则有r﹣，t=2时如图1，N与A重合，==1设MP与相交于点Q．在eq\o\ac(△,)中，OABMPN．=90°，PQ

PA

，AQ×cos30°，S

重叠部分=S

×．即重叠部分的面积为

．探究①如2，P与直线AB相于点时连接，则有PC，=r．

········OAB=2，OP=OA﹣=3；点的坐标为10；②如3，P与直线OB相于点D时连接PD，有PDOB，==1，PD，=OAB，

OP

，OP

cos30

，点P的坐标为（

3

，）③如4，P与直线OB相于点E时连接，有OB，同可：；点的坐标为（

3

，）拓展t的值范围是2＜≤3，≤＜，理由：如图，点N运到与点重合时，与eq\o\ac(△,)的有一个公共点，此时=2；当＞，到运动到与相时，由探究得：OP=1，t

3MN与eq\o\ac(△,)的边有两个公共点2＜．如图，P运动到与OB重时，MNeq\o\ac(△,)的边有两个公共点，此时t；直到P运动到点与点O重时，MN与eq\o\ac(△,)的有一个公共点，此时；4≤＜，即：的值范围是2＜，t＜．【点睛】

本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，切线的性质，锐角三角函数，三角形面积公式，作出图形是解答本题的关键．13．图，半圆O的直径＝弦CD，动点在径OD上射线BM与相交于点E（点与、D不合），设＝．（）的（用含的数式表示）；（）弦所对的圆心角为，且sin

．①eq\o\ac(△,)DEM的积为S求S关于m的函数关系式，并求出m的值范围；②若点N在上且CN＝，射线与线ON相交于点，当＝时，求DE的．【答案】（）＝

3260m；（）S＝，（＜m＜）m②DE＝

.【解析】【分析】（）AB知OBM，得

OBOM

，据此可得；（）连接OC作OP、CD，由OC＝OPCD知DOP

，此可得sin＝DMQ＝

、＝，而由＝m、＝10得QMDMsinODP＝

（m）根据三角形面积公式即可得；如图，求得PD8＝，eq\o\