中考数学专题2待定系数法应用探讨

2222数学精品教学资料【中考攻】专题2待定系法应用探讨在数学问题中得知所求结果有某种确定的形式设一些尚待确定的系(或参数来表示这样的结果，这些待确定的系(或参数，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法来确定这些系这解决问题的方法叫待定系数法定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比系法过比较等式两端项的系数而得到方组而使问获解如知x（1·x＋＋C，求A，BC的答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到ABC的值。这里的AB，C就有待于确定的系数。代特值通过代入特殊值而得到方组使题获解例﹣）在正比例函数图象上，求此正比例函数此题，只需设定正比例函数为，将2﹣3代即可得到k的从而求得正比例函数解析式这里的k就有待于确定的系数。消待系法过设定待定参数相变量用它表示入求而问题获解。例如知，

的值答题，只需设定=k

，则

a=3k，

，代入

即可求解。这里的k是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组（3解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型求值分、求函数解析式求规律性问题何问题等方面下面通过年和年国各地考的实例探讨其应用。一

待定系法在代数式型中的用在应用待定系数法解有关代数变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组出方程（组）即可求得答

22案。典型例：例2011云玉3分）

6x完全平方式，则k=【】A9B－9【案A【点待定系数法思想的应用。

C．D．±3【析设

6xk=x

k=x

2Ax

，∴

2A=62

A=3k=9

。

故选A。练习题1.（2012江苏通分已知x＋＋k是全平方式，则常数k等【】A64B．48．D16（2012贵州东4分次项式x﹣kx+9是个完全平方式k值是

▲

。3.（2011江苏连云分计算＋

2

的结果为x

2

＋eq\o\ac(□,x)eq\o\ac(□,)＋，则eq\o\ac(□,“)中的数为【】A－2B．2C－4D4.（2011湖北荆州3分将代数式x

4x化

的形式为【】

2)

C.

4)

二

待定系法在分式求中的应：一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例：例2012四凉分已知

，则的是【】13A

B．

4C．D．4【案D。【点比例的性质。【析∵

a，∴设，b=5ka=13k，把a，值代入1313a

，得，5k8k4==5k练习题

。故选D。

32321.（2012北京5分）知

，求代数式

5a2b2b)

b

的值。2.（2011四川巴中3分若

ab，=

▲

。三

待定系法在因式分中的应：因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作

－6x

－

5xy2y

9y

，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法典型例：例1湖北石3分分解因式：x

＝

▲

。【案x1＋2【点因式分解。【析设xx∵

A=2AB，，得或，AB=2∴x22=〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此例2：分解因式：3x

5xy2y

9y

▲

。【案【点因式分解。【析∵

5xy2y

∴可设3x

5xy2y

∵

，∴3x25xyxb)y。①比较两边系数，得b=9。

ab=③联立①，②得a=4，=－1代入③式适合。

22222222∴

5xy2y

练习题（四川南分分解因式：x2=

▲

。2.（2012山潍分分解因式：x

3

—4x—

▲

。（贵州东4分）解因式：2

▲

。四.

待定系法在求函数析式中应用：

待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途定线或曲线方程就是要确定方程中x的系与常数我们常常先设它们为未知数根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系将知的条代入方程求出待定的系数与常数这是平面解析几何的重要内容求曲线方程的有效方法中段主要有正比例函数次函数比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设，y=kx+b，y

kx

的形式(其中k为待定系数，且k≠0)。而二次函数可以据题目所给条件的不同，设成一般式

、b、c为定系)，顶点式－h)k、h为待定系数，交点式y=a－x－xa、1xx为待定系)类形式据意可以是语句形式可以是图象形式确出、1c、、x、x等待定系数，求出函数解析式。1典型例：例1江南分无论a取么实数，点－1－都在直线l上，是直线l上点，则2mn的值等于

▲

．【案。【点待定系数法，直线上点的标与方程的关系，求代数式的值。【析∵由于a论为何值此点均在直线l上∴令a=0则（－，令a=1，则（0，－1设直线l的析式为（≠02∴，得。bb∴直线l的析式为：y=2x。∵Q，）是直线l上的点，2m－1=n即－。

22△33∴－＋3)=1+3）。例2山聊分如图，直线轴交于点（1，y轴于点（，﹣2（1求直线的析式；（2若直线上点C在一象限，且S，求点C的标．BOC【案解）设直线AB的析式为y=kx+b，∵直线AB点A（，0（0，﹣2∴

b，解得

k

。∴直线AB解析式为﹣。（2设点的标，y∵，∴BOC

12

，得。∴﹣。∴点的标是（，2【点待定系数法，直线上点的标与方程的关系。【析）设直线的析式为y=kx+b，将点A1（0，﹣）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到的析式。（2点的标xy三形面积公式以及=2求C的坐标，再代入直线即可求出y的，从而得到其坐标。例3湖南阳8分游泳池常需进行换水洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程排水﹣﹣清洗﹣﹣灌”中水量（）时间（）之间的函数关系式．（1根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量（m）时间tmin）的函解析式；（2问：排水、清洗、灌水各花多少时间？

【案解）排水阶段：设解析式为y=kt+b，∵图象经过（，，∴

b=1500，解得：

20b=1500

。∴排水阶段解析式为：y=20t+1500。清洗阶段：y=0灌水阶段：设解析式为：，∵图象经过（，，0195a+c=1000∴，解得：。灌水阶段解析式为：y=10t95a+c=0b=﹣950（2∵水阶段解析式为y=﹣20t+1500∴令即0=﹣20t+1500解：。∴排水时间为分钟。清洗时间为95（钟∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为m，∴1500=10t950，解得t=245。故灌所用时间为﹣（分钟【点一次函数的应用，待定系法，直线上点的坐标与方程的关系。【析图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式清阶段：和水阶段解析式即可。（2根据）所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。例42012湖娄分知反比例函数的图象经过﹣1的解析式】Ay

12x

By

21．yDyxxx

22，解得22222，解得222【案B。【点待定系数法求反比例函数析式，曲线上点的坐标与方程的关系。【析设反比例函数图象设解析为y

kx

，将点（﹣，）入y

k2得，﹣1×2=﹣2则函数解析式为y。选B。xx例5江苏云12分）如图，抛物线y＝－x＋bxc与x交于AB两，与y轴交于点，为坐标原点，点D为物线的顶点，点E在物线上，点x轴，四边形OCEF为形，且OF，＝，求抛物线所对应的函数解析式；求△的积；将△绕C逆针旋转90°，点A对应点为点G问点G是在该抛物线上？请说明理由．【案解：(1)∵四边形为形，＝2＝，∴点的标(0，3)，点的标(，3)．把x＝0＝3x＝，y＝3分别代入y＝－x＋bx＋c，得c=3b=24+2b+c=3c=3

。∴抛物线所对应的函数解析式为y－

2

＋2x＋。(2)∵y＝－x＋2x＋3－－1)＋，∴抛物线的顶点坐标为D(14)。中AB边的高为。令y＝0，得－x＋2x＋3，解得x＝1x＝。12∴AB＝－(－1)＝。∴△ABD的积＝

12

＝8。(3)如图，绕C逆针旋转90°CO落在CE所的直线上，由）(2)知OA＝，OC=3，

222222222222222∵点A应点的标(3。∵当x＝3时y＝－3＋2×3＋＝，∴点不该抛物线上【点二次函数综合题形性质线图上点的坐标与方程的关系一二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【析(1)在矩形中已知OF、长，先表示出CE的标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析求出ABD三的坐标，以AB为D点坐标的绝对值为高，可求出△ABD面积。(3)根据旋转条件求出点A对点G的标后点G的标代入抛物的解析式中直接进行判定即可。例6江无2分）抛线y=ax的点是A（2经点B（0则抛物线的函数关系式为

▲

．【案y=﹣x+4x。【点待定系数法，曲线上点的标与方程的关系。【析∵抛物线+bx+c的点是A（，1可设抛物线的解析式为y=a（﹣2）2

。又∵抛物线y=a（x﹣）+1经点（1（，0满足y=a（﹣2+1。∴将点B10代入（x﹣2）得0=a﹣）即a=﹣。∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣），即y=﹣x﹣。例72012浙宁分如图，二次函数y=ax+bx+c的象交x轴于A（﹣，（20y轴（，﹣2AC画线．（1求二次函数的解析式；（2点在x轴半轴上，且PA=PC，求的；（3点M在次函数图象上，以M圆心的圆与直线AC相，切点H．①若M在y轴侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对点M的标；②若⊙M的径为

45

5，点M坐标．

22222M21221222222M212212【答案】解）∵二次函数y=ax+bx+c的象交x轴A（﹣，0（2，0）∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1﹣2将，y=﹣2代，得（﹣2得a=1。∴抛物线的解析式为（x﹣y=x﹣x﹣。（2设，在Rt△POC中由勾股定理，得x+2=），解得，

33，即OP=。22（3①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。（i）图，当在点下时，∵∠MCH=CAO∥轴，y﹣。∴x﹣x﹣2=2解得（舍去=1。∴M（1﹣（ii如图，当H在C上方时，∵∠M′CH=∠CAO，PA=PC。由（）得，为线与物线的另一交点，设直线CM的解析式为﹣2，33把P（，0的坐标代入，得k﹣，解得k=。22∴y=

43

x﹣。4由x﹣﹣﹣2，得=0（舍去=。3347此时y=。3397∴（，3

222222222222②在x轴取一点D图3过点D作DE⊥点E使DE=在Rt△AOCAC=+CO1+25。∵∠∠，∠∠，∴△AED∽△AOC，DEAD∴，即=，得AD=2。AC2∴（，）或D（﹣3，过点D作∥AC交抛物线于，如图则直线DM的解析式为：﹣或﹣﹣。当﹣2x﹣6=xx﹣2时即+x+4=0方程无实数根，当﹣﹣x﹣，即x+x﹣4=0，解得

45

5，x1

1717，。2∴点M的标为（

17173+）（3172【点二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【析）根据与x轴两个交点、的标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出的值，即可得到二次函数解析式。（2）设然后表示出、长度，在eq\o\ac(△,Rt)POC中利用勾股定理列式，然后解方程即可。（3①根据相似三角形对应角相等可得MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是2代入抛物线解析式计算即可）在上时，根据）的结论，点M为直线与物线的另一交点，求出直线C的析式，与抛物线的解析式立求解即可得到点M的标②在x轴取一点D，过点D作⊥于E，可以证明AED和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD长度，从而得到点的标，再作直线DMAC然后求出直线DM的析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M坐标。

222222练习题（2012上市10分某工厂生产一种产品生数量至少为吨不过吨时，每吨的成本y（万元/）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示（1求关x的数解析式，并写出它的定义域；（2当生产这种产品的总成本为万元时，求该产品的生产数量．（注：总成=吨的成×生产数量）（山东菏分如图，一次函数y=

23

x的图象分别轴轴交于点A、B以线段AB为在第一象限内作等腰eq\o\ac(△,Rt)ABC，BAC=90°．求过BC两直线的解析式．3.（2012甘肃兰分）视眼镜的度数度)与镜片焦距成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的数关系式为【】Ay=

4001By=C．y=Dy=x4xx4.（2012东山分(1)选以下三个条件中的一个，求二次函数析式；①y随x变的部分数值规律如下表：

＋bx＋的xy

－1

②有序数对（－1，00）满足＋bxc；③已知函数y=ax＋bx＋c的象的一部分（如图

2222直接写出二次函数＋＋c的个性质．5.（山东芜12分如图，顶点坐标(2，－1)抛物线＝＋bx＋y轴交于点，，与x轴于A、B两．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线BC于点D连接ACAD，ACD的积；(3)点E直线BC上一动点，过点作y轴的平行线EF，与抛物线交于点．问是否存在点E，使得以D、F为顶点三角形与BCO相？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．山东坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别于A(－，O)B(20)，－三点，过坐标原点O的线y=kx与物线交于M、两．分别过点、，－作平行于轴的直线l、l．2(1)求抛物线对应二次函数的解析；(2)求证以ON为径的圆与直线l相；(3)求线段MN的(用k表，并证明MN两点到直线l的距离之和等于线段的长．

nn五

待定系法在求解规性问题的应用：

近几年中考数学中常会出现一种寻找规律的题型中有一类实是高中数学中的等差数列或二阶等差数列于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公a(其中a为项，d为1公差，n为整，若将成自变量，看成函数，则是关于n的次函数；若一列n数,a,…a满1

n

其中为常数)则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项a

bn

是关于n的二次函数。前面我们讲过用定系数法确定函数解析式由于数列是特殊的函数因我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。典型例：例1湖北孝3分）年京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份届数

……

表中的值等于

▲

．【案。【点分类归纳（数字的变化类系数法。【析寻找规律：设奥运会的届为，年份为y，二者之间的关系为y=kx+b。将（，）代入，得

k=4，解得b=1892

。∴。验3，）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为

y=4x+1892。当，2012=4x+1892，解得。∴。例2山西分）图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个案中阴影小三角形的个数是

▲

．【案﹣。【点分类归纳（图形的变化类系数法。【析由图可知第个图案有阴影小三角形个第图案有阴影小三角形个，第三个图案有阴影小三角形个…，即形成数对，610。设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b，将（，26）代入，得

，解得

。∴y=4x。验，）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为。∴当x=n，y=4n。∴第个图案中阴影小三角形的个数是n。例3湖南州3分我们把按照一定顺序列的一列数称为数列，如，3，，1933…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如，，6，8就是一个等差数列，它的差为2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列，3，，，33…它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2614，，是一个公差为4的差数列，所以，数列1，，9，，是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，713…第五个数应是

▲

．【案。【点新定义，分类归纳（数字变化类），待定系数法。【析由已知，二阶等差数1313，…与次序之间形成数对）（3，（，），4，13）。

设二阶等差数列与次序之间的关系为+bx+c，将（，137）代入，得

a+b+c=14a+2b+c=3，得

a=1b=y=x

9a+3b+c=7c=1∴y=xx+1检验（，13符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为x+1∴当x=5，。∴二阶等差数列1，3，，，的第五个数应是。练习题（山东济分问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第个图共有多少枚棋子？

建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步据数图象猜想并求出函数关系式第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解．解决问题：根据以上步骤，请你解答问情．2.（2012苏迁3分按照如图所示的法排列黑色小正方形地砖，则第14个案中黑色小正方形地砖的块数是

▲

3.（2012广西林分下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第个图中阴影部分小正方形的个数是

▲

．

4.（2012青海2分）察下列一组图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个形中共有

▲

个★．5.（2012浙江波分用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1第5个形有多黑色棋子？（2第几个图形有颗色棋子？请说明理由．六

待定系法在几何问中的应：

在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。典型例：例1江苏京分如图，菱形片ABCD，A=60，纸片折叠，AD分别落在A、’处且A’D经B，折痕，当’F

时

CFFD

的值为【】

C.

【案A

【点翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【析延长与′D，于M∵在菱形纸片ABCD，∠A=60°，∴∠DCB=∠，AB∥CD。∴∠D=180°-A=120°。根据折叠的性质，可得∠′D∠，∴∠FD′M=180°∠′D′F=60°∵⊥CD∴D∠M=90°-∠′M=30°。∵∠BCM=180°-∠BCD=120°∠CBM=180°-BCM-M=30°∠CBM=M∴BC=CM。设CF=x，′F=DF=y，则。∴，在eq\o\ac(△,Rt)中∠

33-1，xy。FM2x32∴

。故选A。2例22012苏州分如图将矩形ABCD沿CE折点B恰好落在边AD的F处如果

AB2，么∠DCF的是▲．35【案。2【点翻折变折叠问)，翻折对称的性质，矩形性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【析∵四边形ABCD是矩形，∴＝CD，∠D90°∵将矩形ABCD折，点B恰落在边AD的F处∴＝BC

∵

ABCD，。∴设＝，CF＝3x3∴DF=

。tan∠＝

DF5x5。CD2x例32012贵铜10分）图，定义：在直角三角形ABC中锐角邻边与对边的比叫做角的切，记作ctanα即ctanα=下列问题：

角边，据上述角的余切定义，解角边BC；（1（2如图，已知tanA=

，其中A为角，试求ctanA值．例4江苏江11分等边△ABC的长，是BC边的任一点（与、不重合接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边APE，分别与边、AC交点M、（如图（1求证AM=AN；（2设BP=x。

000000000000①若，BM=，求x的；②记四边形ABC重部的面积为S求S与x之的函数关系式以及S的小值；③连接DE分别与边AC交点G（如图x取值时，

？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成三角形是什么特殊三角形，请说明理由。【答案】解）证明：∵ABC△APD和△APE都等边三角形，∴AD=AP，∠∠，∠ADM=∠。∴∠∠PAN。∴△ADM△APN（ASAAM=ANBM（2①易证BPM△CAP，∴，CPCA∵BN=，AC=2－x，∴，4x1解得或x=。2

。②四边形AMPN面积即为四边形ADPE与ABC重部分的面积。∵△≌△APN∴S

ADM

APN

。∴四边形MPN

S

APM

ADM

。如图，过点作于S过点D作DT⊥AP于点，点是AP的点。在eq\o\ac(△,Rt)中∵P=60，BP=x，∴PS=BPsin60=

32

xBS=BPcos60x∵AB=2，AS=AB－－

12

x。

00000000000000000000000000000000∴APPS

1x=x

。∴

13AP2

2

。∴形A

33<4。∴当时，S的小值为③连接设交点。若∠BAD=15，∵∠DAP，∠PAG∵△APD和△APE都是等边三角形，∴AD=DP=AP=PE=EA。∴四边形是形∴DO垂平分AP。∴GP=AG∴∠APG=∠。∴∠PGA=90。设BG=t，在eq\o\ac(△,Rt)BPG中B=60，BP=2tPG=

3t

。∴AG=PG=

3t

。∴

，解得t=

3

－。∴

3

－2∴当BP=23－，BAD=15猜想：以DGGHHE这条线段为边构成的三角形是直角三角形。∵四边形是形AO，ADO=AEH=30

。∵∠BAD=15，∴易得∠，，∠。设则AD=AE=