中考数学培优 易错 难题之反比例函数

中考数学培优易错难题(含解析)之反比例函数含答案一、反例函数．在平面直角坐标系内，双曲线：y=

（＞）别与直OA：和线：﹣x+10，于CD两点，并且．（）出双曲的解析式；（）结CD，求四边形OCDB的积．【答案】（1）解：过点、C、D作x轴的垂线，垂足分别是、、F，AMO=CEO=，直：和线：﹣x+10，AOB=，CEO△DEB

==3，设﹣m，）其中m＞，C，），点C、在曲线上，9m

（﹣）解得：或（去）C3，），k=9，双线y=

（0）（）：由（1）知D（，）（，，（，）BF=1，

OE=3，，

+Seq\o\ac(△,)+Seq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)S

OCDB

CDFE=×3×3+×1+3）

，四形的积是17【解析】【分析】（）点A、、作x轴垂线，垂足分别是、、，由直线和y=﹣可知ABO=45°，eq\o\ac(△,)，而可知

==3，后设设（﹣，m），其中m＞，从而可知C的坐标为3m，）利用C、在比例函数图象上列出方程即可求出的．2）分别求eq\o\ac(△,)OCEeq\o\ac(△,)DFB、形CDFE的面积即可求出答案．2．如图直角坐标系中，矩形ABCD的边BC在x轴上，点，的坐标分别为B10），（，）．（）C的标_______；（）反比例函数

（的图象经过直线上点E，点E的标为（，m），求m的及反比例函数的解析式；（）（）中的反比例函数的图象与CD相于点，连接，在直线AB上一点P，使得

=，求点的标．【答案】（）3，）（）：AB=CD=3，A的坐标为（，），又C（，0），设直线AC的析为y=ax+b则，得：，直AC的解析式为y=﹣x+．点E（，）在直线上

m=﹣×2+=，点E（，）．反例函数y=的图象经过点，=3，反例函数的解式为y=（）：延长FC至M，CF，连接EM，则eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)EFM=eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)，M，0.5．在y=中，当时，，（1）过点作直线MP交线AB于，则eq\o\ac(△,)．设直线EF的析式为，

，解得，y=﹣x+．设直线PM的解析式为y=x+c，代入M（，0.5，得：，y=﹣．当时，y=0.5，点P（，）同理可得点P（，）点坐标为1，0.5或1，）．

eq\o\ac(△,)EFMeq\o\ac(△,)EFMeq\o\ac(△,)【解析】【解答】解：（）D（，），OC=3C3，）．故答案为（，）；【分析】（）D的坐标为3，得到线段OC=3，可确定出C的标；（）由矩形的对边相等，得到AB=CD，由的坐标确定出CD的，即为的，再由的标确定出OB的，再由为一象限，确定出A的标，由A与C的标确定出直线AC的解析式，将E坐标代入直线解式中，求出m的，定出E的坐标，代入反比例解析式中求出的值，即可确定出反比例解析式；（3）长FC至，CM=CF，连EM，则

=，（，﹣0.5）求出F（，），过点M作线MPEF交线于P，利用平行线间的距离处处相等相等利用底等高得到eq\o\ac(△,)

．此直线与线PM的率相同，由F的坐标与C横标相同求出的横坐标，代入反比例解析式中，确定出坐，由E与F坐确定出直线斜，即为直线的率，再M坐标，确定出直线PM解析式，由P横坐标与B横坐标相同，将B横标代入直线PM解式中求出的，即为P的纵坐标，进而确定出此时P的标．3．如图，已知一次数与x轴y轴分别交于点，，比例函数y=经过点M．（）M是线段AB上一个动点（不与点、重）．当a=﹣时设点M的横坐标为m，求k与之的函数关系式．（）一次函y=ax+2的图象与反比例函数y=的象有唯一公共点M，且，a的值．（）﹣2时将eq\o\ac(△,)在第一限内沿直线

y=x平移

个单位长度得到

eq\o\ac(△,)A′B，图2，是eq\o\ac(△,)A′B斜上的一个动点，求k的值范围．【答案】（）：当﹣时﹣，当时，﹣，x=，点M的坐标为m，且M是段AB上一个动点（不与点、重），＜＜，，DANG则

，﹣，当时，﹣

+2m（＜m）（）：由题得：

，ax+2=，k=0，直a）双曲线y=有一公共点M时=4+4ak=0，ak=﹣，﹣，

则，解得：OM=，

，1

+（）（）

，a=±（）：当a=﹣时y=，点的标为（，），点B的坐标为02，将eq\o\ac(△,)在第一象限内沿直线平

个单位得到eq\o\ac(△,)′O，′（，）B（，），点是eq\o\ac(△,)A′B斜上一动点，当点与′重合时，，当点与B重时k=3，k的值范围是2≤k【解析】【分析】（）a=﹣时，直线解析式为﹣，出A点横坐标，由于点M的横坐标为m且M是线段上的一个动点（不与点AB重合）从而得到m的值范围，由3x+2=,由X=m得﹣2（＜＜）；2由得ax2+2x﹣k=0直线（）双曲线y=有一公共点M时eq\o\ac(△,)=4+4ak=0，﹣，勾股定理即可；（3）a=﹣时y=﹣，而求出、两的坐标由平移的知识知，点坐标，从而得到k的值范围。4．如图，矩形OABC的点A、分在xy轴正半轴上，点为BC边的点，反比例函数y=

（在第一象限内的图象经过点

（，）AB边上的点（，）．（）反比例数的表达式和的值；

（）矩形OABC的进行折叠，使点O于D重合，折痕分别与x轴轴半轴交于点F，，求折痕FG所直线的数关系式．【答案】（）：反例函数=2，

（）第象限内的图象经过点（，）反例函数的表式为y=

．又点（，2）在反比例函数y=

的图象上，2m=2，解得：（）：设OG=x则﹣，点（，）CD=1．在eq\o\ac(△,Rt)中DCG=90°，CG=2，，，CD+CG=DG，解得：点G（，

，即1+（﹣）=x）．

，过点作FHCB于点，图所示．由折叠的特性可知：GDF=GOF=90°，，．CDG=90°，，HDF，FHD=90°，GCD△DHF，DF=2GD=

=2，，点的标为（

，）

设折痕FG所直线的函数关系式为y=ax+b，有，解得：．折FG所在直线的函数关系式为y=﹣

x+【解析】【分析】（）点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出值，再由点B在比例函数图象上，代入即可求出值2），用勾股定理即可得出关于x的元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的标．再点F作FHCB于H，由此可得eq\o\ac(△,出)△DHF，据相似三角形的性质即可求出线段的长度，从而得出点的标，结点G、的标利用待定系数法即可求出结论．5．如，在平面直角坐标系中，平行四边形点坐为.

的边，点

坐标为，（）的标________，的标是________（表）；（）双曲线（）平行四形【答案】（）（）：双线

过平行四边形与双曲线；过点

的顶点和，该双曲线的表达式；总有公共点，求的取值范围和点，

点的坐标为

，解得，，点坐标为

，把点的坐标

代入，解得，双线表达式为

在双曲线（）：平四边形当当点在双曲线的取值范围

与双曲线，得到，得到.

，，

总有公共点，【解析】【分析】（）四边形为平行四边形，得到A与纵标同，C与D纵坐标相同，横坐标相差2，出B、坐即可；）根据B与在比例图象上，得到C与D横纵坐标乘相等，求出b的确定出B坐，进而求出的，确定出双曲线解析式；3）住两个关键点，将A坐标代入双曲线解析式求出b的；将C坐标代入双曲线解析式求出的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时b的围．6．理数学兴趣小组在探究如何求的，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如，在eq\o\ac(△,Rt)中，，ABC=30°，长CB至点D，使BD=BA，接．设AC=1，则BD=BA=2，．

．tanD=tan15°==思路二利科普书上的和（差）角正切公式：（α±）α=60°，代差角正切公式：（﹣45°）．=思路三在角为30°的腰三角形中，作腰上高也可…思路四请解决下列问题（上述思路仅供参考）．

=

．假设

（）比：求的；（）用：如2某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米在地平面上有一点，测得AC两点间距离为60米，从测得电视塔的视角CAD为，这座电视塔CD的度；（）展：如，直线

与双曲线

交于，两，与y轴于点，将直线绕C旋转45°后是否仍与双曲线相交？若能，求出交点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（）：方法一：如图1在eq\o\ac(△,)ABC中，C=90°，，长至点，BD=BA，接AD设AC=1，则BC=

．===

；方法二：（45°+30°）==（）：如图，在eq\o\ac(△,)中，==

，sin

，即BAC=30°．DAC=45°，DAB=45°+30°=75°．在eq\o\ac(△,)中，DAB=

，DB=ABDAB=

（）

，DC=DB﹣

=．答：这座电视塔CD的高度为（）

（）：若直线AB绕C逆时针旋转45°后与双曲线相交于，图．点C作x轴，过点P作PECD于，过点A作CD于．解方程组：

，得：

或，点（1）点B（﹣，﹣）对于

，当x=0时，y=﹣，C（﹣）OC=1，CF=4，﹣（﹣）=2，tanACF=

，∴PCE=tan（ACP+）=tan（ACF）==3，即则有：，

=3．点P的标为（，）解得：

或，点的坐标为（1，）或（，）②若线绕C顺针旋转后，与x轴交于点，图．由①可ACP=45°，（，），则CP．过点P作PHy轴于H，则

GOC=，GCO=90°﹣HCP=，，

．CH=3﹣（﹣），，，

，GO=3，（3，）设线的析式为，则有：，解得：，直CG的解析式为．联立：，△=

，消去y，得：，理得：，方没有实数根，点P不存在．综上所述：直线AB绕旋45°，能与双曲线相交，交点的坐标为（﹣，﹣4）（，）【解析】【分析】，DAC用边的比值表示在eq\o\ac(△,)ABC中由勾股定理求出，三角函数得出∠从而得到∠，在eq\o\ac(△,)中可求出，﹣分种情况讨论，设点P的坐标为（a，），根据tanPCE和P在图像上列出含有a，的程组，求出a利用已知证eq\o\ac(△,)CHP根据相似三角形的性质可求出G的标设出直线CG的析式，与反比例函数组成方程组消元eq\o\ac(△,)<0点P不存在.7．如图，一次函数y=﹣的象与反比例y=（为数，且k≠0）的图象交于1，a，两点．（）反比例数的表达式及点B的坐标；（）x轴上找一点P，使的最小，求满足条件的点P的坐标．【答案】（）：点A（，）一次函数y=﹣的象上，﹣1+3=2，点（，）点（，）反比例（为数，且≠0）图象上，

k=1×2=2，反例函数的表式为y=．联立一次函数与反比例函数关系式成方程组，得：，解得：

，，点（2，）（）：作点于x轴对称点B（，1）连接AB，x轴于点，连接，图所示．点、关轴对称，PB=PB．点、P、三点共线，此PA+PB取小值．设直线AB的数表达式为y=mx+n（≠0）将（，）、B（，1）代入y=mx+n，，解得：，直AB的数表达式为y=﹣3x+5．当y=﹣3x+5=0时，x=，满条件的点的标为（，）【解析】【分析】（）x=1代直线AB的数表达式中即可求出点A的坐标，由点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式，联立两函数表达式成方程组，通过解方程组即可求出点的坐标；2作B点于x轴的对称点′（，﹣1）连接AB，交x轴点，连接，由两点之间线段最短可得出此时PA+PB取最小值，根据点A、的标利用待定系数法可求出直线的数表达，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的标．8．【阅读理解】我们知道，当a＞且b0时（（当时等号），

﹣）所以a﹣，从而a+b≥2

121212121212【获得结论】设函数y=x+（＞，x0），由上述结论可知：当x=即x=

时，函数y有最小值为2（）直接应】若=x（＞）y（＞）则当x=________时，+y取最小值为________．（）变形应】若（＞﹣）与y（+4（＞﹣）则

的最小值是_______（）探索应】在平面直角坐标系中，点A（3，）点（0，2，点P是数y=在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PCx轴于点，y轴于点D，点P的坐为x四边形ABCD的积为S①求S与x之的函数关系式；②求S的小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的状，并说明理由．【答案】（）；（）（）：设（，）则C（，）（，），+2AC•BD=（x+3）+2）=6+x+；②x＞x+≥2=6当x=时即x=3时，x+有最小值，

12121212此有小值12，，（2）C（3），（2）A、C关x轴称，、关y轴称，即四边形ABCD的角线互相垂直平分，四形为形．【解析】【解答】解：（）＞，y+y=x+≥2=2，当x=时即x=1时，y+y有小，答案为：；；（）x＞，，

=

=（）+≥2，∴当x+1=

时，即x=1时，

有最小值4，故答案为4；【分析】（）接由结论可求得其取得最小值，及其对应的的值；2）把x+1看一个整体，再利用结论可求得答案；（）可（x，）则可表示出、的标，从而可表示出和，利用面积公式可表示四边形ABCD的面积，从而可得到S与的函数关系式再用结论可求得其最得小值时对应的x的，则可得到、C、D的坐标，可判断、关x轴对称B、关轴对称，可判断四边形为形．9．在面直角坐标系xOy中，对于双曲线y=（0）和双曲线（＞）如果，则称双曲线y=

（＞）双曲线y=

（＞）“倍双曲线”，双曲线y=（0）双曲线y=（＞）的倍曲”，双曲线（＞）双曲线y=（＞0）的半曲线，（）你写出双曲线

y=

的倍曲线”是；双曲线y=

的“半曲线”是________；（）图1，平面直角坐系中，已知点A是曲线y=在一象限内任一点，过点与y轴平行的直线交双曲线y=的半曲线于点，eq\o\ac(△,求)的积；

（）图，知点M是曲线

（＞）第一象限内任意一点，过点M与轴平行的直线交双曲线y=

的半曲”于N，点M与x轴平行的直线交双曲线y=的半曲于点，eq\o\ac(△,)的积记为

eq\o\ac(△,)

，且1≤2求k的值范围．【答案】（）；（）：如图，

双线y=的半曲线”是，AOD的面积为2，的积为，AOB的积为（）：解法：如图2依题意可知双曲线

的半曲”为，设点的横坐标为m，则点坐为，），点坐标为m，），CM=MN=

，CN=．﹣=．同理﹣=．

eq\o\ac(△,)

=MN•PM=1

≤2，1≤≤2．

=k，=k，≤k，解法二：如图3，依题意可知双曲线

的半曲”为，设点的横坐标为m，则点坐为，），点坐标为m，），点N为的点，同理点为MD的点．连接OM，

，△．

．

eq\o\ac(△,)OCM

eq\o\ac(△,)

=．1

≤2，≤≤2．≤k．【解析】【解答】解：（）由倍双曲”的定义双线y=，的“倍曲”是；双曲线y=

的半曲是．故答案为y=，；【分析】（）接利用“双曲线”的定义即可；（）用曲线的性质即可；（）先利用双曲线上的点设出的坐标，进而表示出，的标；方法一、用三角形的面积公

eq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOBeq\o\ac(△,)AOPeq\o\ac(△,)AOB式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得eq\o\ac(△,)PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．10．图，在平面直角坐标中，轴点C，A（数y=的图象上．

，）反比例（）反比例数的达式；（）x轴的负半轴上存在一点，使得

=，求点的标；（）eq\o\ac(△,)BOA绕B按逆时方向旋转60°得eq\o\ac(△,)BDE．直接写出点E的标，并判断点是否在该反比例函数的图象上．【答案】（）：点A（

，）反比例数y=的象上，k=×1=

，反例函数表达为

.（）：（

，）x轴点C

，AC=1，OAAB，A=COB，A==tanOC2=AC，即BC=3，，

，

=××4=2

，

==

，设点P的坐标为m，）

×|m|×1=

，解得m|=2

，

121212121212P是x轴负半轴上的点，，m=﹣，）点的坐标为（2（）：由（）可知=

=

，COB=60°，，eq\o\ac(△,)BOA绕按时方向旋转60°得eq\o\ac(△,)，OBD=60°，，x轴，在eq\o\ac(△,)AOB中，AB=4AO=DE=2，

，且BC=3，OC=

，﹣

，﹣DE=1，E﹣﹣

，﹣）×（﹣）

，点在该反比例函数图象上【解析】【分析】（）点A的标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；2）由条件可求，用三角函数的定义可到=AC，求得BC的，可求eq\o\ac(△,)的积，设点坐标为（，）由题意得到关于m的程，可求得m的值；（）条可求，则BDx轴由、的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．11．图1，平面直角坐标系O为坐标原点，点（2，）点B（，2

）（）接写求的数；（）图1，eq\o\ac(△,)AOB绕顺针eq\o\ac(△,)A，当A恰好落在AB边上时，eq\o\ac(△,)AB′O的面积为，BA的积为S，S与有关系？为什么？（）eq\o\ac(△,)绕O顺针旋转到如图所的位置S与S的系发生变化了吗？证明你的判.【答案】（）：A（），（，）

12121212121212OA＝，＝，在eq\o\ac(△,)AOB中，＝

，BAO＝（）：＝；理由：60°＝，＝，OA'＝＝，AOA'是边三角形，OA'＝＝＝，B'A'O＝60°60°，B'A'，根据等边三角形的性质可得eq\o\ac(△,)AOA'的边AO上高相等，eq\o\ac(△,)AB′O中AO边高和BA中BA边的高相等，BA'O的积eq\o\ac(△,)AB'O的积相等（等底等的三角形的面积相等），即＝（）明：＝不发生变化理由：如图，过点作OB.过点作ANOB'交B'O的延长线于，A'B'O是eq\o\ac(△,)绕旋得到，BOOB'，＝，＋＝A'OM＋＝，＝A'OM，eq\o\ac(△,)AON和A'OM中

，AONA'OM），AN，BOA'的积eq\o\ac(△,)AB'O的积相等（等底等高的三角形的面积相等），即＝.

11【解析】【析】（1）先求出，OB，再用锐角三角函数即可得出结论（