专题训练 平面向量中的最值问题通关-高考数学棘手问题归纳解析版

专题训练

平面向量的最值问题关-2018高考学棘手问题纳解析版第一类与量积有关的最值1在

，

，

，

是边

上的两个动点且则

的取值范围为()A．

B．

C．

D．【答案】2．在边长为的方形

中，为

的中点，点在线段

上运动，则

的取值范围()A．B．【答案】

C．D．【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(，0)，0≤1又，

，(1，，所以所以因为0≤≤1所以

，，即

的取值范围是．

本题选择C

选项．3．已知、B是数f

f

（其中常数）象上的两个动点，点

，若

的最小值为0，则函数

f

的最大值为（）A．

11B．

C．

eD．e2e【答案】4图直梯形

ABCD

中，DAABBC2

在阴影区（含边界运有的取值范围是（）

A．

1B．2

C．,1

D．

【答案】5．在中，C,AB

，点满足CP，则

的最大值为（）A．

B．

C．

D．

【答案】【解析】取AB的点D，连接CDCAPCCBPCPC

4

，所以当

时，

PA

的最大值为16．选B．

11116．知点

A

的坐标

，

满足

{y

，则AP

的最小值3y0为（）A．

B．0C．4

D．

【答案】【解析】7．已知AB是单位圆O上的点O为心∠AOB=120°点C是线AB上与AB重的点MN是圆O的一直径，则

的取值范围是（）A．[

31，）B．[，0]．[，）D．[42

，【答案】【解析】建立如图所示的坐标系，d,OCOC，则224

OAOBAOBO

到直线AB

的距离

CMOMOCON

OC

，CM

3的取值范围是,04

，故选A．38．在中，•BC，其面积,2

，则AB与C夹角的取值范围为（）A．

64

B．

3C．,D334

【答案】9．已知是边长为2的边三角形，为平面ABC内点，则

PAPB+PC小值是()A．

B．

—

C．

D．1【答案】【解析】

PC

要取得最小值，则PA与PBPC

共线且反向即

位于

的中线上，中线长为

2

2

设则

PA，PCPA

2x

x当

x

32

时，

PC

取最小值，

2222故选B10．已知

OA

则当APBP小时的时（）A．﹣B．C．﹣D1【答案】11．在等腰直角中，ABC＝90°AB＝＝，(不与C重合为AC边上的两个动点，且满足|MN＝，的值范围()A．

B．

C．,2

D．,

【答案】【解析】以等腰直角三角形的直角边为x轴为y轴建立平面直角坐标系，如图，则B，0)，直线的程为＋＝．

1313设(2－，则0<<1，(＋，－)∴BM＝a2－)，＝a＋，－)∴BM＝a(a＋＋(2－)(1－＝－＋，∵0<a，当＝答案：

时，BM取最小值，又<2，故BM的值范围为,22

．12．已知平面向量ab

满足

ac，

12

，则

的最小值为()A．-2B．【答案】

C．-1D．013．在中，BC边上的中线AD

的长为2，点是ABC所在平面的任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．-2．-1【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D在原处，点A在y轴，则

．

设点P的坐为

，则

故

PAPBPCPA2x2y

，当且仅当0,y

时等号成立．所以

的最小值为．C．14．已知BC是O的径，H是圆O的AB上动点，，，的最值为（）A．

B．

C．

D．

【答案】15．知抛物线

为轴半轴上的动点，

为抛物线的切线，

分别为切点，则

的最小值为（）A．B．C．【答案】

D．【解析】设切线

的方程为

．由

消去x整得

（∵直线与抛物线相切，∴，．

∴方程（），得．∴点在方程

的坐标分别为．中，令，可得，∴点的标为．∴，∴当

时，

取得最小值．选C．16已知在直角三角形

中，为直角，

若

是

边上的高点在

内部或边界上运动，则A．

的取值范围()B．C．D【答案】【解析】

17．已知正三角形ABC的边为2值为________．【答案】

，圆O是三角形的内切圆P是O上任意一点，则

的最大【解析在正三角形

中内切圆半径

，，，，，∴

，故答案为1．18在角坐标坐标系

中线

1

的参数方程为{

xytsin

（

t

为参数标点

为极点，

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

2

的极坐标方程

．（）

3

时，

1

交

2

于A

两点，求

AB

；（）知点

P

，点Q

为曲线

2

上任意一点，求O

的最大值．【答案））

5

．【解析】试题分析）第（）问，先把直线的参数方程化为普通方程，再解圆里的三角形得弦长得到|AB|的值）写出OP

的三角函数表达式，再利用三角函数求它的最大值．

（）点

,y，则OP1,，xy

，xy

，又{

xysin．∴OP的大值为25

，19．已知向量的夹角为锐角，且满足

，b，若对任意的08【答案】15

x

成立，则a

的最小值为．20角形

中，M

N

分别是边

OP

的中点

在直线

MN

上ORyOQ

,yR

，则代数式

y2

12

的最小值为__________．

【答案】

24结合二次函数的性质可知，当2故答案为．4

时，取得最小值为

2421．如图，在平行四边形中，

，边，的分别为2，．若，分是边，上的点，且满足，则

的取值范围．【答案】，

【解析】22．知腰长为2的腰直角

中，

为斜边

的中点，点为平面内一动点，若，的最小值为__________．【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系，∴

，，当sin故答案为：

时，得到最小值为23．知菱形

ABCD

的边长为2，

，点

、

分别在边,CD

上，

，DFDC，2【答案】

，则AE的最小值___________

24等腰梯形

中，，，点

分别在线段

和

上，，则

的取值范围_．【答案】【解析】在等腰梯形

中，已知

，，，，点

分别在线段

和

上，且，以为点，

，则的取值范围为为轴建立直角坐标系，过点作，

，垂足为，

，，，

，

，数

在

上递减

最大值为，最小值为，

的取值范围为，答案为

．25．如图，边长为

的正三角形

放置在平面直角坐标系

中，

在

轴上，顶点

与

轴上的定点P

重合将三角形沿轴方向滚即先以顶点C旋转中心顺时针旋转顶点

落在

x轴上，再以顶点B

为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当ABC滚到11

时，顶点B

运动轨迹的长度为__________；在滚动过程中最大值．【答案】

83

26．已知正三角形

的边长为4，是面

上的动点，且，

的最大值为______．【答案】【解析】如图所示，建立直角坐标系，设．由题得，所以动点O的迹是圆，所以，所以4x的大值为．

故填27．平面直角坐标系取值范围是________．【答案】

中，，在

上，若，点的坐标的【解析】第二类与线性分解有关的最值1．平行四边形ABCD中，AB，AD

，P

是平行四边形一点，且AP

，如APyAD

，则3y

的最大值为（）A．1B．C．3D4【答案】

2．在矩形ABCD中＝AD＝，点在点C为圆心且与BD相切圆上．若AP

＝

AB

＋

AD

，则λ＋的大值为)A．3B．

C．

D．2【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，则C点坐(2，．设与C切于，连接CE，则CEBD∵CD1＝，∴BD

，

EC

255

，即圆C的半径为

25

，3已是

的重心过作线

与，交点且，，则的最小值是)A．B．C．D．【答案】

【解析】如图

三点共线，∵是

的重心，解得，

结合图象可知令故故当且仅当故选D

等号成立第三类与量模长或投影有关的最值1．设A．

，已知两个向量B．C．D．

，则

长度的最大值是()【答案】2．定义域为

的函数

的图象的两个端点分别为，，

是

图象上任意一点，其

中

向量

若不等式

恒成立则称函数

在

上为“函”已知函数

在

上为“函”，则实数的最小是（）A．1B．C．3D4【答案】【解析】当x=0时，y=-5，时，y=1．所以A(0-5)B(3，1)．所以

．

．因为向量

，所以

，所以所以设

，所以函数

在

单调递增，在（）单调递，所以所以k．故选D．3．已

,b

是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c

满足

，则

的最大值是()A．

B．

2

C．

D．2【答案】【解析】

22224．

ABC

中，

，AC，

，若向量m

满足

m

，则

m

的最大值与最小值的和为（）A．7B．C．9D10【答案】【解析】由AB2，AC，

得AC2

，即

为直角，以A

点为原点，为

轴，

AC

为

轴建立直角坐标系，则

A

，设

的终点坐标为

，∵

mAC

，∴

，故

m

的最大值与最小值分为圆

上的点到原点距离的最大值和最小值，故最大值为

5

，最小值为

5

，即之和为，选D．5．已知，是个单位向量，则A．B．C．．【答案】

的最大值为（）

6直角坐标系

中知三点

若向量

与

在向量

方向上的投影相同

的最小值为（）A．2B．C．D．【答案】【解析】向量

在向量

方向上的投影相同，

，

，，

在直线

上，

的最小值为原点到直线

距离的平方，因为，以

的最小值为，故选D．7知点在圆

x9

上足AP

，则线段在x轴上的投影长度的最大值__________【答案】15

2222228．点F，分是椭圆12

C

x

y

2

的左、右两焦点，点为椭圆的顶点，若动点M满：MNMF，MFMF21

的最大值为_________．【答案】

【解析】设

0

，由

2

，得

N12

，则由

MF2

，可得0

2

00

2

y

0

2

，

化

为

2

，

可

设

{

xsinysin

，MF=2cosMF4cos，MF6cos2MF12

，12cos

10，MFMF1

的最

大值为610，答案为6．9已知

为圆

的直径点为直线

上任意一点则

的最小值为_________．【答案】【解析由

可得圆半径为，，圆心

到直线

的距离，的最小值为，故答案为．10．已知C是平面ABD上点，AB，CB

．①若

AC

，则

____；②若AB

，则

AP

的最大值为___．【答案】

34

（），因为

AP

，所以ABADABADABADBDBD如图所示，当点C是段BD的点时，此时BD取得最大值，

，此时最大值为

BDCB，以的大值为2．

11．已知

e,1

是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量b满b2,b12

，则对于任意xb

的最小值为________．【答案】

12．在平面上，

OB12

，且

MBMB12

，

OPOBOB1

．若

PM

，则

OM

的取值范围是___________________．3,【答案】【解析】分别以

．、12

为

、

轴建立直角坐标系Oxy

，设

B1

，由

OPOBOB1

得

．设

M,y，由MBMB12

得

y

y

2

，两式相加得

xy2

，即

OMMP

，于是

OM4MP

，又

MP

，故

OM

，即

OM

的取值范围是

3,

．13．在平面上，

OB，OB，OB，OPOB．MB，则PM1112的取值范围是____________________

【答案】

,

．14角形中MN分别是边OPOQ

的中点在直线MN上

,y

，则代数式

x

的最小值为__________．【答案】

24【解析妨

为直角OPOQ

2

以

分别为,

轴时

为R

点的坐标，

2

2

表示R

到原点

O

的距离，最短时为点

到直线

MN

的距离，由于

MN

是中位线，故最短的

OR

等于点

到PQ

距离的一半，即

1PQ4

．15．已知向量

a

则

的最小值为【答案】

111111【

解

析】

已

知

向

量

a

，

b

，

3,sina

2610sin

时最小值为4．故答案为：．16．已知ab为位向量，且a，c的最大值为_________．【答案】17．在△中，G为△的心，且∠AOB＝60°，＝，则||最小值是________【答案】【解析】如图，在△AOB，

＝

221＝×(＋OB)3

＋

)，又OA·|||OB|·cos60°＝，∴||||12，∴|

1|＝(9

OA＋

)1＝(||＋OB|＋·OB9＝

(|OA|＋||＋12)≥OA||·||＋＝＝当且当OA||＝OB|取等999号．∴OG||，故|

||的最小值是2．故答案为：18．若平面向量e