2022年精品《圆周角2》名师优秀教案

圆周角〔第二课时〕〔张丹丹〕一、教学目标〔一〕学习目标1探索同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧和弦的关系2探索同弦所对圆周角的关系3记住圆周角定理的推论并能运用其解决实际问题4知道圆内接多边形及多边形的外接圆的概念，掌握圆的内接四边形的性质〔二〕学习重点1探索同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧的关系2知道圆内接多边形及多边形的外接圆的概念，掌握圆的内接四边形的性质〔三〕学习难点1探索同弦所对圆周角的关系2圆的内接四边形中对角的关系二、教学设计〔一〕课前设计1预习任务〔1〕在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧和弦也相等．〔2〕在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等或互补．〔3〕圆内接四边形的对角互补．2预习自测〔1〕如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，那么∠BAO的度数是〔〕A．55°B．60°C．65°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合D．70°【解题过程】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=〔180°﹣50°〕=65°．应选C．【思路点拨】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【答案】C．〔2〕如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．假设∠OBC=60°，那么∠BAC的度数是〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．应选D．【思路点拨】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．【答案】D．〔3〕如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，那么∠OAD∠OCD=度．【知识点】圆周角定理；平行四边形的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB∵四边形OABC为平行四边形∴AB=OC=OB=OA=BC∴△OAB和△OBC都为等边三角形∴∠OAB=∠OCB=60°∵四边形ABCD为圆的内接四边形∴∠DAB∠DCB=180°∴∠OAD∠OCD=180°﹣60°﹣60°=60°【思路点拨】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=12021∠ADC=60°，然后由三角形的性质，即可求得∠OAD∠OCD的度数．【答案】60°圆周角外角〔4〕如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，AC交于⊙O点E，∠BAC=45°．假设AE=1，那么BC=．【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是圆的直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BAC=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，那么AB=，BE=AE=1，那么EC=AC﹣AE=AB﹣AE=﹣1，在直角△BCE中，BC=．故答案是：．【思路点拨】首先利用圆周角定理证明△ABE是等腰直角三角形，那么求得AB、BE的长度，那么EC即可求得，然后再在直角△BCE中，利用勾股定理即可求解．【答案】二课堂设计1知识回忆〔1〕把顶点在圆上，并且两边都〔2〕在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，都等〔3〕半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。与圆相交的角叫做圆周角。于这条弧所对的圆心角的一半。2问题探究探究一：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧或弦的关系，同弦所对的圆周角的关系。★▲●活动①大胆猜测小心证明教师：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，那么，相等的圆周角所对的弧也相等吗？如图，⊙O与⊙O的半径相等，所以它们是等圆，∠A=∠D，证明：BC=EF，弧BC和弧EF相等。12图1图2证明：∵∠A=∠D，∴∠O1=∠O2O与⊙O的半径相等，∴OB=O1C=O2E=O2F∵⊙121∴△O1BC≌△O2EF∴BC=EF∴弧BC和弧EF相等结论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧和弦相等。●活动②探索在同圆或等圆中，同弦所对圆周角的关系教师：如图，⊙O中弦BC所对的圆周角有哪些？它们有什么关系？学生：有∠A、∠E、∠D，其中∠A=∠E。教师：那它们和∠D有什么关系呢？先猜测，再证明。学生：猜测：它们是互补的关系。解：如图，∠A与∠D不相等，它们互补。证明：∠A=∠BOC,∠D=〔360°-∠BOC〕∴∠A∠D=∠BOC〔360°-∠BOC〕=×360°=180°∴∠A与∠D互补。结论：在同圆或等圆中，同弦所对圆周角相等或互补。探究二：圆的内接多边形★▲●活动①引入概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．●活动②探索圆的内接四边形四个角之间的关系。教师：∠A和∠C是四边形ABCD的一组对角，也是⊙O的圆周角，它们在⊙O中所对的分别是哪两条弧？这两条弧有什么关系？从而∠A和∠C具有怎样的数量关系？∠B和∠D也具有这样的关系吗？学生：这两条弧的度数之和为360°，从而∠A和∠C之和等于360°的一半，也就是180°，∠B和∠D之和也为180°证明过程：结论：圆的内接四边形对角互补。探究三：例题分析●活动1根底性例题例1．同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．故答案为：同弧或等弧．【思路点拨】利用圆周角定理判断即可得到结果．【答案】同弧或等弧．【设计意图】此题考查了圆周角定理，熟练掌圆握周角定理是解此题的关练习1：圆〔1〕定理：一〔2〕推论：①圆周角的度数等于它所对弧的度数的_________．周角_________；在同圆相等的圆周角所对的_________．是_________；90°的圆弦_________．线等于这条边的一半，那么__________________．键．周角：条弧所对的圆周角_________．②同弧或等弧所对的圆或等圆中，③直径所对的圆周角周角所对的④如果三角形一条边上的中【知识点】圆周角定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：圆周角：〔1〕定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．〔2〕推论：①圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．④如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．故答案为：〔1〕等于它所对圆心角的一半．〔2〕①一半．②相等，弧相等．③90°，是直径．④这个三角形是直角三角形．【思路点拨】利用圆周角的定理以及推论直接填空即可．【答案】〔1〕等于它所对圆心角的一半．〔2〕一半．②相等；弧相等．③90°；是直径．④这个三角形是直角三角形．【设计意图】此题考查圆周角的定理以及推论，掌握根底知识是解决问题的关键．例2．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，在这8个角中，有几对相等的角？请把它们分别表示出来：_____________________________．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：有4对．分别是：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．故答案为：∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．【思路点拨】观察图形，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得答案．【答案】∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8．【设计意图】此题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．练习2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，假设AB=2DE，∠E=18°，∠C=，∠AOC=．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OD，∵AB=2DE，∴OD=DE，∴∠E=∠EOD，在△EDO中，∠ODC=∠E∠EOD=36°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=36°，在△CEO中，∠AOC=∠E∠OCD=18°36°=54°．故答案为：36°；54°．【思路点拨】根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．【答案】36°；54°．【设计意图】此题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．●活动2提升型例题例3△ABC为⊙A．80°B．160°【知识点】圆周角定理【数学思想】数形结合O的内接三角形，假设∠AOC=160°，那么∠ABC的度数是〔〕C．100°D．80°或100°【解题过程】解：如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．应选D．【思路点拨】首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠ABC的度数．【答案】D．【设计意图】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．练习3：如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点，弦心距为cm，那么此弦所对的圆周角等于______．【知识点】圆周角定理；垂径定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：如图，连接OA，OB，那么AB=2cm，OC=cm，∵OC⊥AB，∴AC=AB=〔cm〕，∴OC=AC，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，∴∠ADB=∠AOB=45°，∴∠AEB=180°﹣∠ADB=135°．∴此弦所对的圆周角等于45°或135°．故答案为：45°或135°．【思路点拨】首先根据题意画出图形，然后由垂径定理，求得AC的长，即可得△OAC是等腰直角三角形，那么可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得答案．【答案】45°或135°．【设计意图】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．●活动3探究型例题例5．弦AB、CDE，的度数为90°，的度数为30°，那么∠AEC=．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接BC，∵的度数为90°，的度数为30°，∴∠ABC=45°，∠BCD=15°，∴∠AEC=∠ABC∠BCD=60°．故答案为60°．【思路点拨】首先连接BC，根据圆周角定理可得∠ABC=45°，∠BCD=15°，再根据三角形外角的性质即可求得．【答案】60°．【设计意图】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．练习5．等腰△ABC的顶角∠A=12021腰AB=AC=10，△ABC的外接圆半径等于．【知识点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OA交BC与点D，连接OC，∵AB=AC,∴弧AB=弧AC，∴OA⊥BC，又∵等腰△ABC的顶角∠A=12021∴∠BAO=∠CAO=60°，在△AOC中，又∵OA=OC∴△AOC为等边三角形∴OA=AC=10即圆的半径是10【思路点拨】连接OA交BC于点D，连接CO，利用等腰三角形的性质和垂径定理，得出△AOC为等边三角形，进而得到圆的半径【答案】10．【设计意图】此题考查的是垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解答此题的关键．3课堂总结知识梳理〔1〕在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧和弦也相等．〔2〕在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等或互补．〔3〕圆内接四边形的对角互补．重难点归纳1在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等或互补．2圆内接四边形的对角互补．三、课后作业根底型自主突破1．假设所对圆心角度数是100°，所对的圆周角的度数为．【知识点】圆周角定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵所对圆心角度数是100°，∴所对的圆周角的度数为：×100°=50°．故答案为：50°．【思路点拨】由所对圆心角度数是100°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【答案】50°．2如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，⊙O的弦AD交⊙O1于C，那么：〔1〕OC与AD的位置关系是；〔2〕OC与BD的位置关系是；〔3〕假设OC=2cm，那么BD=cm．【知识点】圆周角定理；三角形中位线定理；垂径定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕∵以⊙O的半径OA为直径作⊙O，⊙O的弦AD交⊙O于C，11∴∠ACO=∠ADB=90°，∴OC⊥AC，即OC⊥AD；∴OC与AD的位置关系是：垂直；〔2〕∵∠ACO=∠ADB=90°，∴OC∥BD；∴OC与BD的位置关系是：平行；〔3〕∵OA=OB，OC∥BD，∴AC=CD，∴BD=2OC=2×2=4〔cm〕．故答案为：〔1〕垂直，〔2〕平行，〔O的半径OA为直径作⊙O，⊙O的弦AD交⊙O于C，易证得∠ACO=113〕4．【思路点拨】〔1〕由以⊙∠ADB=90°，那么可求得OC与AD的位置关系；〔2〕由〔〔3〕易证得OC是△ABD的中位线，继而可求得答案．【答案】〔1〕垂直，〔2〕平行，〔3〕4．3．如图，⊙O的直径AB=10，弦BC=5，∠B=°．1〕可求得OC与BD的位置关系；【知识点】圆周角定理；含30度角的直角三角形．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，又∵直径AB=10，弦BC=5，∴∠A=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°．故答案为60°．【思路点拨】由AB为直径，得∠ACB=90°，又AB=10，弦BC=5，得到∠A=30°，从而求出∠B．【答案】60°．4．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=75°，AE交⊙O于B，且AB=OC，那么∠A的度数为．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB．设∠A=°，∵AB=OC，OB=OC，∴∠BOA=∠A=°，∴∠EBO=∠A∠BOA=2°，又∵OB=OE，∴∠E=∠EBO=2°，∵∠EOD=∠E∠A=2=3°，即3=75，解得：=25．那么∠A的度数是25°．故答案是：25°．【思路点拨】连接OB，在△AOB和△AOE中利用三角形的外角的性质，外角等于不相邻的两个内角的和即可求解．【答案】25°．5．如图，在⊙O中，∠BAC=∠DAC=45°，AB=3，AD=4，那么CD=．【知识点】圆周角定理；勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接BD、BC，∵∠BAC=∠DAC=45°，∴∠BAD=90°，弧CD=弧BC，∴BD是⊙O的直径，CD=BC，∴∠DCB=90°，△CDB是等腰直角三角形，在Rt△ABD中，AD=4，AB=3；由勾股定理知，BD==5；在Rt△BCD中，BC=CD，BD=5；∴CD=．【思路点拨】∠BAC=∠DAC=45°，可得出两个条件：①∠DAB=90°；②弧CD=弧BC；连接BD、BC；由①知BD必为⊙O的直径；由②知：△BCD必为等腰直角三角形．BD的长，可在Rt△ABD中用勾股定理求得，进而可在Rt△BCD中求出CD的长．【答案】6．如图，AB为⊙O的直径，，∠A=35°，那么∠BOD=．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OC．由圆周角定理，得：∠BOC=2∠A=70°，∵，∴∠BOD=∠BOC=70°．故答案为：70°．【思路点拨】首先根据圆周角定理求得∠BOC=2∠A=70°，然后找出等弧，可根据“同圆中等弧对等角〞求解．【答案】70°．能力型师生共研7．人们常用“一字之差，失之千里〞来形容因一点小小的差异，往往会给问题本身带来很大的区别．在数学中，这样的例子比比皆是．下面两句话，请你先找出其中微小的区别，然后再填空．〔1〕在⊙O中，一条弧所对的圆心角是12021该弧所对的圆周角是；〔2〕在⊙O中，一条弦所对的圆心角是12021该弦所对的圆周角是．【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：〔1〕×1202160°；〔2〕圆周角的顶点在弦所对的优弧上时，圆周角是：×1202160°，圆周角的顶点在弦所对的劣弧上时，圆周角是180°﹣60°=12021故答案是：60°；60°或12021【思路点拨】〔1〕根据圆周角定理即可求解；〔2〕分圆周角的顶点在弦所对的优弧和弦所对的劣弧两种情况进行讨论．【答案】60°；60°或120218．如图，AB、AC是⊙O的弦，AD⊥BC于点D，交⊙O于点F，AE是⊙O的直径，试判断弦BE与弦CF的大小关系，并说明理由．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】解：BE=CF，理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC∴∠ABE=90°=∠ADC∵∠AEB=∠ACB〔同弧所对的圆周角相等〕，∴∠BAE=∠CAF〔等角的余角相等〕∴，∴BE=CF．【思路点拨】要探讨两条弦的关系，根据等弧对等弦可以转化为探讨所对的弧的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的圆周角的关系．根据条件，只需利用等角的余角相等就可证明．【答案】BE=CF．探究型多维突破9．如图，AB是⊙0的直径，C、D是半圆的三等分点，那么∠C∠E∠D=．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是⊙0的直径，C、D是半圆的三等分点解：∵是一个半圆，∴∠C∠D=×180°=90°，∵据C、D是半圆的三等分点，∴=×180°=60°，∴∠E==×60°=30°，∴∠C∠D∠E=90°30°=12021故答案为：12021【思路点拨】由于是一个半圆，故∠C∠D=×180°=90°，再根据C、D是半圆的三等分点可知=×180°=60°，故∠E==×60°=30°，故可求出答案．【答案】1202110如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC．〔1〕假设∠CBD=39°，求∠BAD的度数〔2〕求证：∠1=∠2．；【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】〔1〕解：∵BC=DC，∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，∴∠BAD=∠BAC∠CAD=39°39°=78°；〔2〕证明：∵EC=BC，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2∠BAE，∠CBE=∠1∠CBD，∴∠2∠BAE=∠1∠CBD，∵∠BAE=∠BDC=∠CBD，∴∠1=∠2．【思路点拨】〔1〕根据等腰三角形的性质由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39°，再根据圆周角定理

得∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°，所以∠BAD=∠BAC∠CAD=78°；〔2〕根据等腰三角形的性质由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB=∠2∠BAE，那么∠2∠BAE=∠1∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2．【答案】〔1〕78°；〔2〕略自助餐1．如图，AB为⊙O直径，，那么∠ABC=．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB为⊙O直径，∴∠C=90°，∵，∴∠A=3∠B，∵∠A∠B=90°，∴∠ABC=90°×=°．故答案为：°．【思路点拨】由AB为⊙O直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C的度数，又由，根据圆周角定理与弧与圆心角的关系，即可求得∠A=3∠B，继而求得答案．【答案】°．2．如图，AB为⊙O的直径，BC为弦，且，那么∠AOC=°，∠B=°，∠BOC=°．【知识点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵，∴∠BOC=4∠AOC，而∠BOC∠AOC=180°，∴5∠AOC=180°，即∠AOC=36°，∴∠BOC=4×36°=144°，∴∠B=∠AOC=18°．故答案为：36°，18°，144°．【思路点拨】由，得∠BOC=4∠AOC，而∠BOC∠AOC=180°，那么可求出∠AOC，∠BOC，利用圆周角定理可得到∠B的度数．【答案】36°，18°，144°．3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于E点，=100°，=60°，那么∠AEB=度．【知识点】圆周角定理；三角形的外角性质．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵=100°，=60°，∴∠ADE=50°，∠DAC=30°，∴∠AEB=80°，故答案为：80．【思路点拨】由=100°，=60°，可求出∠ADE，∠DAC的度数，再利用三角形的外角和