线性控制系统的运动分析

线性控制系统的运动分析2023/2/261第一页，共四十一页，2022年，8月28日[预备知识]：线性定常系统的运动1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解：2、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：2023/2/262第二页，共四十一页，2022年，8月28日第一节线性定常齐次状态方程的解2023/2/263第三页，共四十一页，2022年，8月28日满足初始状态的解是：一、直接求解：1、标量齐次微分方程：满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：2、齐次状态方程其中：定义为矩阵指数函数，和A一样也是n×n阶方阵[线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化求解2023/2/264第四页，共四十一页，2022年，8月28日求解过程：仿标量方程求解将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：（5）式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得：（4）(1)(2)代入状态方程得：（3）设齐次状态方程的解为当时，由上式可得此处（1）式(1)左右求导得：（2）－－标量齐次状态方程2023/2/265第五页，共四十一页，2022年，8月28日二、拉氏变换求解：两边取拉氏变换得：整理得：齐次状态方程：初始状态为：与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：仿标量系统得：拉氏反变换得：－－－（6）[本节小结]：2023/2/266第六页，共四十一页，2022年，8月28日第二节矩阵指数函数的性质和计算方法2023/2/267第七页，共四十一页，2022年，8月28日一、矩阵指数函数的性质：2、[证明]：矩阵指数函数定义中，令t＝0即可得证3、总是非奇异的，必有逆存在，且：[证明]：1、设A为n×n阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：[证明]：根据定义证明2023/2/268第八页，共四十一页，2022年，8月28日5、对

有：4、对于n×n阶方阵A和B：如果A和B可交换，即A×B=B×A，则如果A和B不可交换，即A×BB×A，则6、如果P是非奇异阵，即存在，则必有：[证明]：根据定义证和[注意]：[用途]：此性质经常用于计算2023/2/269第九页，共四十一页，2022年，8月28日7、如果A是n×n阶对角阵，则也是n×n阶对角阵：则有：如果：[证明]：根据定义证2023/2/2610第十页，共四十一页，2022年，8月28日8、如果是m×m阶的约当块：则有：证明：略。根据定义证。2023/2/2611第十一页，共四十一页，2022年，8月28日其中是约当块其中是对应约当块的矩阵指数函数。9、当A是约当矩阵时：则有：[例如]：2023/2/2612第十二页，共四十一页，2022年，8月28日二、矩阵指数函数的计算：直接求解法：根据定义拉氏变换求解：标准型法求解：对角线标准型和约当标准型－非奇异变换待定系数法：凯莱－哈密顿（简称C-H）定理求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。1、根据矩阵指数函数的定义求解：对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的2023/2/2613第十三页，共四十一页，2022年，8月28日2、用拉氏变换法求解：关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。3、标准型法求解：思路：根据矩阵指数函数性质6：对A进行非奇异线性变换，得到：联立上两式，得到：有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵2023/2/2614第十四页，共四十一页，2022年，8月28日其中：P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值为两两相异时：对角线标准型对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：1）先求得A阵的特征值。2）求对应于的特征向量，并得到P阵及P的逆阵。3）代入上式即可得到矩阵指数函数的值。2023/2/2615第十五页，共四十一页，2022年，8月28日（2）当A具有n重特征根：约当标准型

其中：Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵Q。说明：对于所有重特征值，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得。2023/2/2616第十六页，共四十一页，2022年，8月28日4、待定系数法：将化为A的有限项多项式来求解：说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。设n×n维矩阵A的特征方程为：（1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：2023/2/2617第十七页，共四十一页，2022年，8月28日由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0～(n-1)次幂线性表出。并令即可得到如下的结论：即：将此式代入的定义中：其中：

为t的标量函数，可按A的特征值确定。（2）将化为A的有限项多项式来求解根据C-H定理，可将化为A的有限项表达式，即封闭形式：2023/2/2618第十八页，共四十一页，2022年，8月28日1）A的特征值两两相异时，注意求逆推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。注意：推导时可看到：2023/2/2619第十九页，共四十一页，2022年，8月28日注意求逆2）A的特征值为(n重根）推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，则式(3)针对求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。2023/2/2620第二十页，共四十一页，2022年，8月28日[例]：求以下矩阵A的矩阵指数函数[解]：1）用第一种方法－定义求解：(略）2）用第二种方法－拉氏变换法求解：2023/2/2621第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日3）用第三种方法－标准型法求解：得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。先求特征值：2023/2/2622第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日2023/2/2623第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日4）用第四种方法－待定系数法求解.在第3种方法中已经求得特征根，所以得：求得矩阵指数函数如下：2023/2/2624第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日或者：由和

得到：从而求出系数2023/2/2625第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日[例]：求以下矩阵A的矩阵指数函数分析：用C－H定理求解先求特征值：求得：当时，有当（二重根）时，有上式对求导1次，得到另一个方程：2023/2/2626第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日得到方程组：写成矩阵形式为：整理得：2023/2/2627第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日可以求出：所以：可以求出矩阵指数函数。[本节小结]：矩阵指数函数的9个性质，4种计算方法2023/2/2628第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日第三节状态转移矩阵2023/2/2629第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日一、线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的齐次状态方程：满足初始状态的解是：满足初始状态的解是：已知：线性定常系统的状态转移矩阵令：则有：2023/2/2630第三十页，共四十一页，2022年，8月28日说明1：状态转移矩阵须满足以下条件，否则不是状态转移矩阵1）状态转移矩阵初始条件：2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明2：线性定常系统的状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身说明3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵2023/2/2631第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日二、状态转移矩阵的性质1、对于线性定常系统：说明：此性质的含义是，从t0到t0的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。不变性2、对于线性定常系统：3、对于线性定常系统：传递性说明：此性质表明，从t0到t2的转移可以分为两步：先从t0转移到t1，再从t1转移到t2。2023/2/2632第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日4、对于线性定常系统：可逆性说明：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。说明：由性质1、3证明5、对于线性定常系统：分解性说明：由去证明。6、对于线性定常系统：2023/2/2633第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日三、与状态转移矩阵相关的问题1、已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵：方法是利用直接求解。2、利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵。由可得3、已知状态转移矩阵，求系统矩阵A阵说明：利用状态转移矩阵性质2求4、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。[本节小结]：2023/2/2634第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日[例]已知某二阶系统齐次状态方程为：，其解为：试求状态转移矩阵。[解]：设，则：则有：所以：2023/2/2635第三十五页，共四十一页，2022年，8月28日第四节线性定常非齐次状态方程的解2023/2/2636第三十六页，共四十一页，2022年，8月28日若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：一、直接求解法初始状态引起的响应，零输入响应输入引起的响应,零状态响应说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。2023/2/2637第三十七页，共四十一页，2022年，8月28日[证]：1）先把状态方程写成3）对上式在区间内进行积分，得:直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数2）两边左乘，再利用的性质2023/2/2638第三十八页，共四十一页，2022年，8月28日对非齐次状态方程两边进行