理论力学9-动量矩定理3

由速度合成定理有9.5质点系相对于质心的动量矩定理质点系在相对动坐标系的运动中对质心的动量矩与在确定运动中对质心的动量矩之间的关系：rirCmiyy'x'z'COxzvir'i质点系在确定运动中对质心的动量矩，等于质点系在相对质心平移坐标系的运动中对质心的动量矩。质点系对于固定点的动量矩rirCmiyy'x'z'COxzvir'i质点系对任确定点O的动量矩为即:质点系对任确定点O的动量矩等于集中于质心的系统动量mvC对于点O的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩LC(应为矢量和)。rirCmiyy'x'z'COxzvir'i绽开上式,留意右端项中质点系对于定点O的动量矩定理可写成于是上式化为质点系相对于质心的动量矩定理rirCmiyy'x'z'COxzvir'i因为质点系相对于质心的动量矩定理即:质点系相对于质心的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对质心的主矩。质点系相对于质心的动量矩定理上式右端是外力对质心的主矩,于是得于是上式成为由刚体平面运动理论知：取质心为基点，刚体的平面运动可分解为伴同质心的平移和相对质心的转动两部分。JC为刚体对过C垂直于图示平面轴的转动惯量。9.6刚体的平面运动微分方程y'x'xyOCD取如图平移动坐标系,刚体对质心轴的动量矩为由质心运动定理和相对质心轴的动量矩定理得上式也可写成9.6刚体的平面运动微分方程y'x'xyOCD以上两式称为刚体的平面运动微分方程。应用时,前一式通常取其投影式。即9.6刚体的平面运动微分方程例7一均质圆柱体,质量为m，半径为r，无初速地放在倾角为q的斜面上，不计滚动摩阻，求其质心的加速度。解:以圆柱体为探讨对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，可分为以下三种状况进行探讨:Cq(1)设接触处完全光滑此时圆柱体作平移，由质心运动定理即qCxyOCqaCFNmg(2)设接触处足够粗糙，使圆柱体作纯滚动，列出平面运动微分方程:解得Fs由纯滚动条件有qCxyaCOFNmga由于圆柱作纯滚动,故FS所以这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。qCxyaCOFNmga(3)设圆柱体不满足在斜面上作纯滚动的条件设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f',则滑动摩擦力于是圆柱体在斜面上既滚动又滑动,在这种状况下,aC≠raFdqCxyaCOFNmga综合题5半径为r的均质圆柱体的质量为m,放在粗糙的水平面上,如图所示。设其质心C初速度为v0,方向水平向右,同时圆柱体绕图示方向转动,其初角速度为w0,且有rw0<v0。假如动摩擦系数为f,问经过多少时间,圆柱体才能只滚不滑地向前运动,并求该瞬时圆柱体中心的速度。Cw0v0Cw0v0aCamgFNFd解:圆柱体运动起先时作加速转动，但质心却在减速运动。分析受力和运动如图所示。由平面运动微分方程得Cw0v0aCamgFNFd由运动学条件得求得滑动摩擦力代入另外两个微分方程得Cw0v0aCamgFNFS圆柱体只滚不滑地向前运动时v＝rw例8行星齿轮机构的曲柄OO1受力矩M作用而绕固定铅直轴O转动,并带动齿轮O1在固定水平齿轮O上滚动,如图所示。设曲柄OO1为均质杆,长为l、质量为m1；齿轮O1为均质圆盘,半径r、质量为m2。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。解:以曲柄为探讨对象,曲柄作定轴转动,列出定轴转动微分方程MO1OaFn1Ft1FnFtOO1M由运动学关系,有联立求解(1)~(4),得O1F'n1F't1Ft2Fn2atana1取齿轮O1分析,齿轮O1作平面运动MO1OaFn1Ft1FnFt例9均质杆质量为m，长为l，在铅直平面内一端沿着水平地面、另一端沿着铅垂墙壁从图示位置无初速地滑下。不计摩擦，求起先滑动的瞬时，地面和墙壁对杆的约束力。yBqCAx解:以杆AB为探讨对象,分析受力。yBqCAxBqCAFAFB杆作平面运动,设质心C的加速度为aCx、aCy,角加速度为a。aaCxaCy由刚体平面运动微分方程mg以点C为基点，则点A的加速度为在运动开始时，，故，将上式投影到轴上，得所以（4）运动学分析再以点C为基点，则点B的加速度为同理，在运动开始时，，故，将上式投影到x轴上，得所以（5）或者由直角坐标法求出补充表达式:运动开始时,,故yBqCAx联立求解(1)~(5)式,并留意到可得yBqCAx例10

均质圆柱体A和B质量为m,半径为r。一绳绕在圆柱体A上,绳的另一端绕在圆柱体B上。求B下落时质心C的加速度。（习题9-22）解:取圆柱体A分析,受力如图。A作定轴转动,应用定轴转动微分方程有aAFTmgFOxFOyOA其中F'TmgaBCDBaC取圆柱体B分析,受力如图。B作平面运动。应用平面运动的微分方程有留意到公式（１）和（３）和得aAFTmgFOxFOyOAaADaDtaDCtAOCBaCaB取C为基点,分析圆柱体B上D点的切向加速度，向垂直方向投影解得aC代入公式综合题1均质细杆AB长为l，A端铰接，D点用铅直绳DE将杆保持在水安静止状态,如图。欲使绳断开时铰链A的反力保持不变，悬挂点D至A端的距离d应为多大？解:细杆静止时受力如图。dABDEmgFAxFAyADCBFDaABC绳断时杆绕A轴作定轴转动,此时角速度为0。运动和受力分析如图所示,由定轴转动微分方程得:atC即:

再由质心运动定理可得:mgFAx1FAy1ACB令其中得即得aABCatCmgFAx1FAy1ACB综合题2

提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2，半径分别为r1、r2，可视为均质圆盘，物体C的重量为P3，

轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。取轮B连同物体C为探讨对象,接受动量矩定理补充运动学条件解:取轮A为探讨对象，利用刚体定轴转动方程化简(1)得：化简(2)得：O综合题4平板质量为m1，受水平力F作用而沿水平面运动，板与水平面间的动摩擦系数为f，平板上放一质量为m2的均质圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。解:取圆柱分析,建立如图坐标。于是得:FN1F1m2gaaOaxyFaCxyF'N1F'1FN2F2m1gFa取板分析Ca综合题6均质细杆AB的质量为m,长为l,其A端铰接一轻轮置于斜面上,如图。摩擦忽视,当AB处于铅直位置时静止释放,求A点的初始加速度。解