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2022-2023学年湖北省黄石市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.设y=2x3,则dy=().

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

3.微分方程y''-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c

4.设f(x)在点x0的某邻域内有定义,且,则f'(x0)等于().A.-1B.-1/2C.1/2D.1

5.微分方程y'+y=0的通解为()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

6.()。A.过原点且平行于X轴B.不过原点但平行于X轴C.过原点且垂直于X轴D.不过原点但垂直于X轴

7.A.A.

B.

C.

D.

8.

9.

10.设y=2^x,则dy等于().

A.x.2x-1dx

B.2x-1dx

C.2xdx

D.2xln2dx

11.设函数f(x)=sinx,则不定积分∫f'(x)dx=A.A.sinx+CB.cosx+CC.-sinx+CD.-cosx+C

12.

13.下列命题不正确的是()。

A.两个无穷大量之和仍为无穷大量

B.上万个无穷小量之和仍为无穷小量

C.两个无穷大量之积仍为无穷大量

D.两个有界变量之和仍为有界变量

14.设区域,将二重积分在极坐标系下化为二次积分为()A.A.

B.

C.

D.

15.lim(x2+1)=

x→0

A.3

B.2

C.1

D.0

16.设().A.A.必定收敛B.必定发散C.收敛性与a有关D.上述三个结论都不正确17.设z=ln(x2+y),则等于()。A.

B.

C.

D.

18.函数y=sinx在区间[0,π]上满足罗尔定理的ξ等于().A.A.0B.π/4C.π/2D.π

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.23.

24.

25.微分方程y+9y=0的通解为________.26.27.28.曲线y=x3-3x2-x的拐点坐标为____。29.设,其中f(x)为连续函数,则f(x)=______.30.

31.

32.函数f(x)=ex,g(x)=sinx,则f[g(x)]=__________。

33.过点M1(1,2,-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为_________.

34.

35.

36.

37.设f(x)=sin(lnx),求f(x)=__________.

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.42.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

(1)写出S(x)的表达式;

(2)求S(x)的最大值.

43.求曲线在点(1,3)处的切线方程.44.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.45.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.46.

47.

48.

49.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

50.证明:51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.52.

53.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.54.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则55.

56.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?

57.求微分方程的通解.58.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.59.

60.

四、解答题(10题)61.将f(x)=e-2x展开为x的幂级数,并指出其收敛区间。

62.63.64.计算其中区域D由y=x,y=0,x2+y2=1围成的在第一象限内的区域.65.

66.

67.68.

69.一象限的封闭图形.

70.五、高等数学(0题)71.已知函数

,则

=()。

A.1B.一1C.0D.不存在六、解答题(0题)72.

参考答案

1.A

2.B由微分基本公式及四则运算法则可求得.也可以利用dy=y′dx求得故选B.

3.C本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点。

因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

4.B由导数的定义可知

可知,故应选B。

5.D可以将方程认作可分离变量方程;也可以将方程认作一阶线性微分方程;还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程,并作为特例求解。解法1将方程认作可分离变量方程。分离变量

两端分别积分

或y=Ce-x解法2将方程认作一阶线性微分方程.由通解公式可得解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解:特征方程为r+1=0,特征根为r=-1,方程通解为y=Ce-x。

6.C将原点(0,0,O)代入直线方程成等式,可知直线过原点(或由

7.Dy=cos3x,则y'=-sin3x*(3x)'=-3sin3x。因此选D。

8.A

9.D

10.D南微分的基本公式可知,因此选D.

11.A由不定积分性质∫f'(x)dx=f(x)+C,可知选A。

12.D

13.A∵f(x)→∞;g(x)→∞∴f(x)+g(x)是不定型,不一定是无穷大。

14.A本题考查的知识点为将二重积分化为极坐标系下的二次积分.

由于在极坐标系下积分区域D可以表示为

0≤θ≤π,0≤r≤a.

因此

故知应选A.

15.C

16.D

17.A本题考查的知识点为偏导数的计算。由于故知应选A。

18.C本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论.

由于y=sinx在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且y|x=0=0=y|x=π,可知y=sinx在[0,π]上满足罗尔定理,因此必定存在ξ∈(0,π),使y'|x=ξ=cosx|x=ξ=cosξ=0,从而应有.

故知应选C.

19.A解析:

20.B

21.

22.

23.

24.

25.

本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程.

26.

27.28.(1,-1)29.2e2x本题考查的知识点为可变上限积分求导.

由于f(x)为连续函数,因此可对所给表达式两端关于x求导.

30.

31.

解析:32.由f(x)=exg(x)=sinx;∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx

33.

34.y=2x+1

35.

36.x=-1

37.

38.1

39.

40.3x+y-5z+1=03x+y-5z+1=0解析:

41.

42.

43.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点

(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为

44.

45.函数的定义域为

注意

46.

47.

48.

49.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,

50.

51.52.由一阶线性微分方程通解公式有

53.由二重积分物理意义知

54.由等价无穷小量的定义可知

55.

56.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格

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