高中数学必修1基本初等函数常考题型：幂函数

-.z.幂函数【知识梳理】1．幂函数的概念一般地，函数y＝叫做幂函数．其中*是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质解析式y＝*y＝*2y＝*3y＝eq\f(1,*)y＝图象定义域RRR{*|*≠0}[0，＋∞)值域R[0，＋∞)R{y|y≠0}[0，＋∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增在(－∞，＋∞)上单调递增在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减在[0，＋∞)上单调递增定点(1,1)3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当*从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当*趋于＋∞时，图象在*轴上方无限地逼近*轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】(1)以下函数：①y＝*3；②y＝；③y＝4*2；④y＝*5＋1；⑤y＝(*－1)2；⑥y＝*；⑦y＝a*(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)幂函数y＝，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析]②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，应选B.[答案]B(2)[解]∵y＝为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝*－3，且有*≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝*0，且有*≠0.故所求幂函数的解析式为y＝*－3，{*|*≠0}或y＝*0，{*|*≠0}．【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，假设一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决*些问题的隐含条件．【对点训练】函数f(*)＝是幂函数，且当*∈(0，＋∞)时，f(*)是增函数，求f(*)的解析式．解：根据幂函数的定义得m2－m－1＝1.解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(*)＝*3在(0，＋∞)上是增函数；当m＝－1时，f(*)＝*－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(*)＝*3.题型二、幂函数的图象【例2】(1)如图，图中曲线是幂函数y＝在第一象限的大致图象，α取－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)(2)如图是幂函数y＝与y＝在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1[解析](1)令*＝2，则22>2eq\f(1,2)>2－eq\f(1,2)>2－2，故相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2.应选B.(2)此类题有一简捷的解决方法，在(0,1)内取*0，作直线*＝*0，与各图象有交点，则"点低指数大〞．如图，0<m<1，n<－1.[答案](1)B(2)B【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象上下判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近*轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离*轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝*－1或y＝或y＝*3)来判断．【对点训练】函数y＝，y＝，y＝的图象如下图，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b解析：选A由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当*>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用幂函数的性质比拟大小【例3】比拟以下各组数中两个数的大小．(1)与；(2)与；(3)与.[解](1)∵幂函数y＝在(0，＋∞)上是单调递增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，∴>.(2)∵幂函数y＝在(－∞，0)上是单调递减的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，∴>.(3)∵函数y1＝为R上的减函数，又eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>.又∵函数y2＝在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>，∴>.【类题通法】比拟幂值大小的方法(1)假设指数一样，底数不同，则考虑幂函数；(2)假设指数不同，底数一样，则考虑指数函数；(3)假设指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比拟数的一个底数一样，指数与另一个数的指数一样，则这个数就介于所比拟的两数之间，进而比拟大小．【对点训练】比拟以下各题中两个幂的值的大小：(1)，；(2)，；(3)，.解：(1)∵y＝为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴<.(2)∵y＝为(0，＋∞)上的减函数，且<，∴>.(3)∵y＝为R上的偶函数，∴＝.又函数y＝为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴<，即<.【练习反应】1．以下函数是幂函数的是()A．y＝2* B．y＝2*－1C．y＝(*＋1)2 D．y＝解析：选D由幂函数的概念可知D正确．2．以下命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n＝0，函数y＝的图象是一条直线；④幂函数y＝当n>0时，是增函数；⑤幂函数y＝当n<0时，在第一象限内函数值随*值的增大而减小．正确的命题为()A．①④ B．④⑤C．②③ D．②⑤解析：选Dy＝*－1不过(0,0)点，∴①错误，排除A；当n＝0时，y＝的图象为两条射线，③错误，排除C；y＝*2不是增函数，④错误，排除B；因此答案选D.3．幂函数f(*)的图象过点(4,2)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝________.解析：设f(*)＝，则4α＝2，∴α＝eq\f(1,2)，即f(*)＝，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)))＝＝.答案：4．函数f(*)＝是幂函数，且在*∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m＝________.解析：由m2－m＋1＝1，得m＝0或m＝1，再把m＝0和m＝1分别代入m2＋2m－3<0