专题04%C2%A0立体几何-2020年新高考数学二轮专项习题练

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立体几何一、单选题1．用半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A． B． C． D．2．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为（）A．6 B．8 C．10 D．123．若向量，，则（）A． B． C．3 D．4．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中真命题的序号为（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④5．已知三棱锥的侧棱长相等，底面正三角形的边长为，平面时，三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．6．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是（）A． B． C． D．7．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5.若球在圆锥内，则球的体积的最大值为（）A． B． C． D．8．四面体的四个顶点坐标为，，，，则该四面体外接球的体积为（）A． B． C． D．9．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：①线段长度的取值范围是；②存在点使得平面；③存在点使得.其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②10．如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A． B． C． D．二、填空题11．一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为________.12．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为________；13．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，则球O的表面积为________.14．如图,已知正方体的棱长为4,点E、F分别是线段上的动点,点P是上底面内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面的距离,则当点P运动时,PE的最小值是__________.15．已知四边形为矩形,,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值；②三棱锥的最大体积为；③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题16．如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，交于点，为的中点，．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小．17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，点、分别在线段、上，且，其中，连接，延长与的延长线交于点，连接．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若时，求二面角的正弦值；（Ⅲ）若直线与平面所成角的正弦值为时，求值．参考答案1．B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高,故选B【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.2．A【解析】【分析】设两圆的圆心为，，球心为，公共弦为，中点为，可知为正方形，根据和，代入长度求解即可.【详解】如图，设两圆的圆心为，，球心为，公共弦为，中点为，因为圆心到这两个平面的距离相等，则为正方形.两圆半径相等，设两圆半径为，，，又，，，.这两个圆的半径之和为6.故选A【点睛】本题主要考查了球的几何运算，解题的关键是清楚球心和截面的位置关系，考查了空间想象力，属于中档题.3．D【解析】【分析】先求出的坐标，再求模长即可.【详解】则=故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.4．A【解析】【分析】逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.【详解】对于命题①，若，过直线作平面，使得，则，，，，，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若，，则，命题②正确；对于命题③，若，，则与相交、平行或异面，命题③错误；对于命题④，若，，则或，命题④错误.故选：A.【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.5．D【解析】【分析】证明，得出，可得出的外接圆直径为，并计算出三棱锥的侧棱长，然后利用公式可得出外接球的半径，并利用球体表面积公式可得出外接球的表面积.【详解】如下图所示：由题意可知，，，则，.平面，平面，，，的外接圆直径为，易知三棱锥的侧面都是等腰直角三角形，，设三棱锥的外接球半径为，则，得.因此，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，分析出几何体的结构，找出合适的模型计算出外接球的半径是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．B【解析】【分析】三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心，外接球的半径为，可求出，然后由可求出半径，进而求出外接球的体积.【详解】由题意，易知三棱锥是正三棱锥，取为外接圆的圆心，连结，则平面，设为三棱锥外接球的球心.因为，所以.因为，所以.设三棱锥外接球的半径为，则，解得，故三棱锥外接球的体积是.故选B.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球体积的求法，考查了学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.7．A【解析】【分析】设圆锥的轴截面为等腰△，则球的体积最大时，球的轴截面是△的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积.【详解】设圆锥的轴截面为等腰△，则球的体积最大时，球的轴截面是△的内切圆，所以，解得：，所以球的体积的最大值为.故选：A【点睛】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.8．B【解析】【分析】计算出线段长度，分析出四面体的形状，从而可确定出外接球的球心，根据球心求解出球的半径即可求解出外接球的体积.【详解】由题意知，所以，所以，所以该四面体侧棱底面，且底面是边长为的正三角形，侧棱，所以底面正三角形的外接圆半径为，球心必在过中点且平行于底面的平面上，所以球半径，所以球的体积为.故选：B.【点睛】本题考查空间几何体的外接球体积计算，难度一般.求解空间几何体的外接球的问题，首先要确定出球心所在的位置，然后根据线段长度求解出外接球的半径，最后即可求解出球的体积或表面积.9．D【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求出点、的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.在正方体中，平面，平面，，又，，平面，即，，同理可证，，则，.以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，.对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；对于命题②，，则平面的一个法向量为，，令，解得，所以，存在点使得平面，命题②正确；对于命题③，，令，整理得，该方程无解，所以，不存在点使得，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.10．B【解析】【分析】由题意可知，当平面α经过BCNM时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积．【详解】当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8此时作正四棱台俯视图如下：则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为所以截面面积的最大值为所以选B【点睛】本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题，关键是分析出截面的位置，再根据条件求得各数据，需要很好的空间想象能力，属于难题．11．.【解析】【分析】先求圆锥底面圆的半径，再由直角三角形求得圆锥的高，代入公式计算圆锥的体积即可。【详解】设圆锥底面半径为r，则由题意得，解得.∴底面圆的面积为.又圆锥的高.故圆锥的体积.【点睛】此题考查圆锥体积的计算，关键是找到底面圆半径和高代入计算即可，属于简单题目。12．；【解析】【分析】由体积公式得，长宽高变化后体积公式为，这样可用表示，然后结合基本不等式求得最值．【详解】依题意，设新长方体高为，则，∴，当且仅当时等号成立．∴的最大值为．故答案为．【点睛】本题考查长方体体积，考查用基本不等式求最值，属于中档题型．13．【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，边长分别为，，，则，所以，所以，则球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.14．【解析】【分析】通过题意可知当E,F分别是AB,上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值，利用两点间距离计算即可求出.【详解】如图建立空间直角坐标系：设，则，点P到F的距离等于点P到平面的距离，，整理得P点轨迹方程：，所以P到平面的距离，,所以，此时P与F共线垂直,又当E,F分别是AB,上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值，此时，.故答案为：【点睛】本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难题.15．①②【解析】【分析】取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.【详解】如下图所示：对于命题①，取的中点，连接、，则，，，由勾股定理得，易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，平面，平面，平面，命题①正确；对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，取的中点，则，且，平面平面，平面平面，，平面，平面，的面积为，所以，三棱锥的体积的最大值为，则三棱锥的体积的最大值为，命题②正确；对于命题③，，为的中点，所以，，若，且，平面，由于平面，，事实上，易得，，，由勾股定理可得，这与矛盾，命题③错误.故答案为：①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.16．（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连结，可证，从而得到要求证的平面.（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量后可求二面角的大小.【详解】（1）证明：连结，交于点，为的中点，四边形是平行四边形，，又平面，平面，∴平面．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量，则，取，得，又平面的法向量，，而，，∴二面角的平面角为．【点睛】线面平行的证明的关键是在面中找到一条与已知直线平行的直线，找线的方法是平行投影或中心投影，我们也可以通过面面平行证线面平行，这个方法的关键是构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.17．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）在线段上取一点，使得，，证明四边形为平行四边形，得到，然后证明平面．（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角的正弦值．（Ⅲ）令，，，，，求出平面的一个法向