备战2022年高考数学二轮复习培优专题 第39讲 圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合

第三十九讲圆锥曲线中的离心率问题求值与范围及综合A组一选择题1.（2017年高考浙江卷）椭圆+=1的离心率是（

）A、

B、

C、

D、【答案】B

【解析】【解答】解：椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，

所以椭圆的离心率为：=．

故选：B．2.如图，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）（A）（B）2（C）（D）【答案】D【解析】依题所以,3.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列则所以4.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是A.B.C.D.【答案】A解析：设左焦点为,连接.则四边形是平行四边形,故，所以，，所以，设，则，从而，所以椭圆的离心率的取值范围是，故选A.5.如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是在第二、四象限的公共点．若四边形为矩形，则的离心率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】设双曲线实半轴长为，焦半距为，，由题意知，，，，，则双曲线的离心率，选择D.6.已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解析】即双曲线的一条渐近线方程.过焦点且垂直渐近线的直线方程为：，与联立，解之可得故的中点坐标为（）.由中点坐标公式可得点的坐标为，将其代入双曲线的方程可得结合化简可得，故．故选.7．已知是双曲线的左焦点，是双曲线的右顶点，过点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】由于为等腰三角形，可知只需即可，即，又，故选C．二填空题8.点为椭圆1上一点，为椭圆的焦点，如果，，则椭圆的离心率为________．【答案】eq\f(\r(6),3)【解析】由题意得，所以.9.椭圆的左.右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于__________【答案】【解析】由直线方程直线与轴的夹角，且过点∵∴即∴在中，由椭圆的第一定义可得10.已知双曲线的渐近线与圆有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________．答案：【解析】由双曲线的方程为，可得它的渐近线方程为，由圆的方程可得，所以它是以为圆心，以为半径，又因为圆与渐近线有交点，由点到直线距离公式可得，又因为，，从而可得，双曲线的离心率为，又因为双曲线的离心率大于1，所以双曲线的离心率的取值范围为．B组题一选择题1.（2017年高考新课标Ⅲ理）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（

）A、

B、

C、

D、【答案】A

【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，

∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．

∴椭圆C的离心率e===．

故选：A．2.已知双曲线左右焦点分别为，点为其右支上一点，，且，若|成等差数列，则该双曲线的离心率为()A.B．C．2D.【答案】A【解析】设，双曲线方程为，因此有，∴又=1\*GB3①由余弦定理=2\*GB3②

=1\*GB3①=2\*GB3②两式联立解得，所以3.如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为()4B.C.D.【答案】B【解析】根据双曲线的定义，可得，∵若为等边三角形，即，∴，即，又∵，∴，∵中，，，，∴，即，解之得：，由此可得双曲线的离心率为.4.设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点,若点满足，则该双曲线的离心率是()（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】由双曲线的方程可知，渐近线为，分别于联立，解得，由得，设的中点为，则，PQ与已知直线垂直，故，则.故选A.5.斜率为1的直线与椭圆相交于两点，则的最大值为()A、2 B、 C、 D、【答案】C【解析】弦长6．F是双曲线C：的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂直，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则C的离心率是（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】由已知渐近线为，，由条件得，F到渐近线的距离，则，在中，，则，设的倾斜角为，即，则，在中，，在中，，而，即，即，∴，∴，即.7．已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】【解析】任取一焦点到一条渐近线的距离为，则，有．二填空题8.在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为.若，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】由题意知，，不妨设，则直线即于是，由，，化简得即，解得或（舍去）故，故椭圆的离心率为.9.如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.【答案】【解析】考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：则在椭圆上，解得：C组题一选择题1.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率 A． B． C． D．【答案】【解析】方法一：设由为的重心得：的坐标为再由可知平行于轴，所以点的纵坐标为，在中，，所以的面积为，又因为为的内心，所以点的纵坐标即为内切圆的半径，所以，所以，即，所以，所以椭圆的离心率，故应选.方法二：（个人观点）特殊化法，取为上顶点，在轴上，又，所以重合，所以为正三角形，所以,而，2..如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若且，则双曲线的离心率为()A． B．C．D．【答案】C【解析】确定为等边三角形，设，则，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论．因为且，所以为等边三角形，设，则，渐近线方程为，，取的中点，则，由勾股定理可得，∴在中，,∴结合，可得方法二：（个人观点）以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点．若，则为正三角形，所以，，所以，由圆的切割线定理，，渐近线方程为到渐近线的距离而由为正三角形，可知到渐近线的距离所以，则3.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则A.4B.C.D.2【答案】A【解析】

解法1：试题分析：设，，则，又，所以，,,即,，因此，解法2：椭圆双曲线：根据椭圆定义：根据双曲线定义：，不妨设则，在中，则化简得知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）．B.C.D.【答案】A【解析】解法1：因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即设点由焦点半径公式，得，则记得由椭圆的几何性质知，则，整理得，解得或，又，故椭圆的离心率解法2：由解析1知由椭圆的定义知则即，由椭圆的几何性质知，则即所以以下同解析1.5．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为，这两条曲线在第一象限的交点为是以为底边的等腰三角形。若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c，利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出的取值范围是．设椭圆与双曲线的半焦距为c，由题意知故选B．二填空题

6.2017年高考北京卷理）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=________．【答案】2

【解析】双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，

可得：，

解得m=2．

故答案为：27.椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是．【答案】【解析】解法1：由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，所以，而，，所以，所以。又，所以，所以，即，又，所以*解法2：设点。由题意，椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线过点，所以，由椭圆第二定义，，所以，而，所以，解出，由于，所以，又，所以，即，又，所以8.我们把离心率的双曲线称为黄金双曲线．如图是双曲线的图象，给出以下几个说法：①双曲线是黄金双曲线；②若，则该双