初中数学相似三角形专项练习题：X字型相似3附答案

初中数学相似三角形专项练习题：X字型相似3（附答案）.如图，在矩形4BCO中，E是边的中点，8ELAC于点尺连接。F,给出下列四个结论：①△AE77sz^\C48；②CF=2AF：@DF=DC；④S“竹：S四边彩e"・=2：5,其中正确的结论有（）B.2个C.B.2个C.3个D.4个.如图，已知E是平行四边形A5CQ中AO边上一点，且石=3:2,CE交BD于点尸，BF=15cm,求的长.S.已知，如图，在梯形ABCO中，AD//BC.对角线AC与8。相交于点。.若卢•=^SACD.如图，矩形A5CQ的对角线AC、5。相交于点。，过。点作交A5于E,连EC交05于M，若8c=4,AAO上的面积为5,求??的值.MCBCBC.如图，在等腰AMSC中，AB=AC,分别过点8、C作两腰的平行线，经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E，连结。C、BE,DC与A5边相交于点M，BE与4c边相交于点N,求证：AM=NC.（提示：关键是找出题中的型与"X”型写出比例线段进行等比线段的代换）

.我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心.重心有很多美妙的性质，如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重心的概念完成如卜.问题：An7（1）若。是△ABC的重心（如图），连结AO并延长交5c于。，证明：—=-；AD3An2（2）若是6c的一条中线（如图），。是AO上一点，且满足一=丁，试判（3）若。是6c的重心，过。的一条直线分别与A5、AC相交于G、H（均不与6c的顶点重合）（如图），求证：—+—=1.AGAH.已知在△ABC中，点。为边3C上一点，点上为边4C的中点，AD与BE交于前（2）如图，当C0=2B。时，求证：PE=PB..如图，CD、8E是6c的两条高，连。石.（1）求证：AEAC=ABADxDE（2）若NHAC=120。，点M为6c的中点，求-7的值.DM.如图，在四边形A尸。。中，ZQAF=45°,AD1DQ,4。与尸。相交于。点,线段04=3,00=2,0F=-,0Q=-.试问：4。与人尸之间有怎样的数量关2 3系？.如图，是一个照相机成像的示意图.（1）如果像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有多远？（2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m,像高不变，则相机的焦距应调整为多少？.如图，dASC是。。的内接三角形，BT为OO的切线,3为切点，夕为线段46上一点，过夕点作5c的平行线，交直线8T于点E,交直线AC于尸，求证：APPB=PEPF.A/^^XC

.已知如图，在梯形45co中，CDHABfAD>5。的延长线相交于点E，AC.3。相交于点0，连结石O并延长交AB于点M，交CD于点N.那么线段AM与BM是否相等？请说明理由..(1)如图，若4。为nMSC的内角平分线，请问：江=空成立吗？并说明你ABBD的理由.(2)如图，6c中，ZACB=90°,AC=8,AB=-9E为43上一点且DFAE=5,CE交其内角角平分线4。与尸.试求——的值.FA.在图中；如图1,在正方形A5C。中，延长5c至“，使8W=ON,连结MN交50延长线于点石.(1)求证：BD+2DE=>J2BM;(1)求证：BD+2DE=>J2BM;(2)如图2,连结6N交人。于点尸，CM=2,则线段QG= .B CM B CN连结板交5。于点G.若AF/D=1:2,且.如图，己知一次函数y=x+2的图象交y轴于点a,交x轴于点B，点E在x轴正半轴上，点尸在射线BA上，且OE=OF=10.FH垂直x轴于点H.（1）点E坐标为，点F坐标为.（2）操作：将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E,另一直角边与y轴相交于点P.问是否存在这样的点Q,使以点P,Q,E为顶点的三角形与^POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由..如图，△A6C为等边三角形，过A6边上点。作。G//6C,交AC于点G,在GO的延长线上取点E,使DE=DB,连接AE,CD.过点、E作EF//DC,交5c于点F,交AB于点H,连接A尸.（1）求证：ZAEG=ZACD；（2）设C0=x,2a欧=y,求y关于x的函数关系式；（3）连接。尸，若_15c于点F,求处的值.AH17.如图17.如图(1),nAS。中,M是AC的中点，E是AB上一点，且5E=3A石，请分别在图（1）,图（2）,（3）,图（4）分别在图（1）,图（2）,（3）,图（4）中用四种不同的方法求——的值..如图，在/XABC中，4。是5c边上的中线，尸是4。上的一点，且A尸：尸。=1:5,连结b并延长交A6于点上，则AQ仍等于（）..如图，己知A45C和A0CE是等边三角形，连结8E,连结D4并延长交CE于点尸，交BE于点、G,CD=6,EF=2,那么石G的长为.参考答案1.D【解析】【分析】①根据四边形ABCD是矩形，BE_LAC,可得NABC=NAFB=90。，又NBAF=NCAB,于是△AEF^ACAB,故①正确；②根据点E是AD边的中点，以及AD〃BC,得出△AEFs/\CBF,根据相似三角形对应边成比例，可得CF=2AF,故②正确：③过D作DM〃BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=-BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确：2④根据△AEFs/\CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出SiAEr=|SiAEF,SaABF=-S矩影ABCD'nJ得S四边影CDEF=SaaCD-SaAEF=-S矩形ABCD，即可得至ljS川边形CDEL-S.ABF，

6 12 2故④正确.【详解】如图，过D作DM〃BE交AC于N,•・四边形A8CD是矩形，J.AD//BC,ZABC=90°,AD=BC,••BE_LAC于点尸，AZEAC=ZACB9NA8C=NA/石=90。,J.AAEF^ACAB,故①正确；:AD//BC,AfAp:AAEFsACBF,：.——=-一,BCCFyAE=-AD=-BC.4/7I：.CF=2AF9故②正确，Ck2♦：DE〃BM,BE//DM,・•・四边形BMDE是平行四边形，;.bm=de=Lbc,:.bm=cm,2:・CN=NF,•・・BE_LAC于点凡DM//BE,:.DN1CF,：.DF=DC,故③正确；二•△AEFsACBF,.EFAE1••而一氤―2'.1_1TOC\o"1-5"\h\z•S△八EF=S△八8尸,S^ABF=—S矩彩ABC。，2 6.1•S△A£F=—S矩彩ABC。,_ _ _1 1 _5乂•S四边形CQ£F=Sa/1C・。-S△八EF=—S矩同A8CO-Sm形八雨。=—S能彩ABC/),2 12 12**•S△八勿•：S四边形cdef=2：5,故④正确；故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.2.6cm【解析】【分析】由已知可得△EDFs^CBF,由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解DF的长.【详解】解：•・•四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上ADE/7BC,且AD=BC,,ZDEF=ZBCF；ZEDF=ZCBFAAEDF^ACBFBCBF• …而一而AE3■•—.DE-22BF2x15/.设AE=3/,则DE=2t,则「.DF= = =6cm,5 5DFDE2VBF=15cmCh2BFDr= 一3故答案为6cm【点睛】熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质.m3.—4【解析】【分析】由题意可知三角形AOD和三角形DOC中AO和CO边上的高相等，所以面积比等于对应边AO,CO的比值，进而求出AO：CO的值，又因为△AODsaBOC,利用两三角形相似，面枳比等于相似比的平方即可求出S“OD：Saboc的值；从而求出AAO。的面积.【详解】过点。作OE_LAC于E,S-AO.de[TOC\o"1-5"\h\znw%加2 1则^—=1 =ude。-AC-DE52.A。_1•• =一，AC3.AO_I• ，OC2,:AD〃BC,.•.沁=(好)2=L即2=L^abocOC4 〃？ 4•S^AOD=.44,正4【解析】【分析】先由矩形的性质和勾股定理求得OA=26,OE=下,然后证。石BC四点共圆得ZEOM=ZECB,再证得△OEMs£8%.最后由相似的性质求出丝的值.MC【详解】如题图，•・•。为矩形468对角线的交点，・・・。为AC的中点.又・・・EO_LC4,•EC—AE,S4coe=Smoe=5，SA4C£=—•EA-CB=10» AE=5=EC.2••在RtACBE中根据勾股定理可知EB=3.•・在RtZ\46C中OA=q.AC=3.JAB，+BC? .18?+4「=26.•・在RtAAOf：中Of=>jAE2-OA2=^52-(2>/5)2=下•又・・・EO_LC4,/CBE=90°,・・QE5c四点共圆，•・ZEOM=ZECB,•・aoemskbm..OM_OEy/5.■,—,—,■CMBC4

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质.此题难度适中，注意四点共圆在本题中的应用.5.见解析【解析】【分析】首先延长DB、EC交于点P,由BD〃AC,AB〃EC,可得四边形ABPC为平行四边形，又由AB=AC,即可证得：=ABPC是菱形，可得AB=BP=PC=CA,又可证得：ZkEACs/^EDP与△AMCs^pcD,根据相似三角形的对•应边成比例，则可证得：CN=AM.【详解】证明：延长DB证明：延长DB、EC交于点P,BD〃AC,AB〃EC,四边形ABPC为平行四边形,AB=AC,-ABPC是菱形，AB=BP=PC=CA,BD〃AC,△EAC^AEDP,ACEC而一而同理:NCEC

同理:NCECAC_NC'~DP~~BP•・•四边形ABPC是平行四边形，:.ZBAC=ZP,VAC//DP,ZACD=ZCDP,AAAMC^APCD,MX_CP,~CA~~DPVAC=CP,.MA_NC,~CA~~BPVAC=BP,AAM=CN.【点睛】此题考查了平行四边形,菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质.此题综合性很强,注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.6.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）如图，作出中位线PD,证明可以证明结论；（2）如图，作△A6C的中线CP,与边交于点夕，与△A8C的另一条中线交于点An2 AO2。，则。是6c的重心，由（1）中的证明可知/=彳，而由条件f ，点。与AD3 AD3点。重合（是同一个点），所以点。是6c的重心.（3）如图，分别过A、B、D、C作G”的垂线，垂足分别为M、N、F、。，证得4BNGs^AMG和△C。“s△am”，利用相似三角形的性质得到器+^=卷+^=殁产’在四边形加℃中证得6N+CQ=2b0‘所以,.BGCHBN+CQ2FD\j,.BGCHBN+CQ2FD\j1 = = AGAHAMAM，再证△尸ZMsamAO得当一空AMAO，最后根据点。m、八BGGHBN+CQ2FD,走aA/c的重心证得恁+而=》-=丽=1.【详解】(1)证明：如图，连结CO并延长交A5于点夕，连结PO.•・•点。是的重心，••・P是AB的中点，。是6C的中点，尸。是aA6c的中位线，/.AC=2PD，AC//PD,:•ZDPO=ZACO,ZPDO=Z.CAO,・•・△OP。s△qca,.OP_PD OD+O4_1+23^AO~AC~2fOA.A0_2,•而丁(2)点。是△A6C的重心.证明：如图，作△ABC的中线CP,与A6边交于点夕，与△A6C的另一条中线A3交于点0，则。是△ABC的重心,根据(1)中的证明可知黑=!■,AD3An2而由条件方J=w，点。与点。重合(是同一个点),所以点。是△A8C的重心.(3)如图，分别过A、B、D、。作G”的垂线，垂足分别为加、N、F、2,证明：:BN〃AM,・•・4BNGs△AMG,BGBN••而一而.又•：CQ"AM,:.△CQ"s△AM”,•CH_CQ••丽―而‘.BGCH_BMCQ_BN+CQ••+-+- .AGAHAMAMAM又在四边形BNQC中可证BN+CQ=2FD,BGCH BGCH 1 AGAHBN+CQ2FDAM又,：FD口AM,:./\FDOsz^MAO,FDOD•__••而一茄.丁点。是-A6c的重心,OD1•.一=-,AO2FDOD1・一一.9AM~AO~2：.AM=2FD,.BGGH_BN+CQ2FD即原命题得证.••+- ==1，即原命题得证.AGAHAMAM【点睛】本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形、中位线等的性质和应用.7.⑴9;(2)见解析.2【解析】【分析】(1)连接DE,利用三角形中位线的性质得出DE〃AB,DE==AB,则△ABPs^DEP,进2而得出答案：(2)过点E作EF//AD交BC于点F,利用平行线分线段成比例定理得出F是CD的中点,进而得出BD=DF=FC,进而得出即可.【详解】(1)解:连接DE,•1点E为边AC的中点，BD=CD,ADE是△ABC的中位线，，DE〃AB,DE=—AB.,AABP^ADEP,PEDE1•—— 一而一而一5故答案为二2(2)证明：过点E作EF〃AD交BC于点F,丁点E为边AC的中点，EF〃AD,，F是CD的中点，VCD=2BD>，BD=DF=FC,又〈PDy/EF,ABP=PE.【点睛】此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行线分线段成比例定理等知识，正确作出平行线是解题关键.(1)见解析；(2)1.【解析】【分析】(1)由BE、CD是的高得NAEB=NADC=90。，加上NEAB=NDAC,根据相似三角形的判定方法得到△AEBs/\ADC,则AB：AC=AE：AD,利用比例性质即可得到结论；(2)连结ME,由NBAC=120。得到NBAE=60。，则NEBA=30。，由点M为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到MB=ME=MD=MC,于是可判断点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，根据圆周角定理得NDME=2NEBD=60。，则可.de判断△”!£口为等边三角形，所以DE=DM.所以二V的值为1DM【详解】(1)证明：「BE、CD是的高，/.ZAEB=ZADC=90%而NEAB=NDAC,AAAEB^AADC,/.AB：AC=AE：AD,,AE#AC=AB•AD；(2)连结ME,如图，VZBAC=120°,/.ZBAE=60°,,ZEBA=30°,・•点M为BC的中点，，MB=ME=MD=MC,•・点B、E、D、C在以M点为圆心，MD为半径的圆上，,ZDME=2ZEBD=2x30°=60°,••△MED为等边三角形，，DE=DM..•匹=1DM【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比.也考查了直角三角形斜边上的中线性质以及圆周角定理.AQ=y/2AF【解析】【分析】5 5AOOF根据04=3,DO=2,0F=-,。。=1得到而=而，进一步证明△AOFsZk。。。，因为AO_L。。，于是可得NODA=45。，因此可证得生。Ds/XfOQ.并推出△△尸。为等腰三角形，因此【详解】解：如图，•・•线段04=3,00=2,。尸=2,Og=-,2 3AO_OF**~Dd~~OQ'又•・・ZAOF=ZDOQ,•・△AOFsADOQ,•.ZODQ=ZFAO=45°.而NA。。=90。，•・ZODA=45°.AnFO又•・•——=——，ZAOD=ZFOQ,DOQO 匕:./\AODs/\FOQ.•・ZAQF=ZODA=45°,•・△△尸。为等腰三角形，•・AQ=近AF.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理和判定定理是解题的关键.10.(1)7m.(2)70inin.【解析】试题分析：(1)利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解.(2)和(1)一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可.MNLC解：根据物体成像原理知：△LMNs/\LBA,ABLD(1):像高MN是35mm,焦距是50mm,拍摄的景物高度AB是4.9m,（2）拍摄高度AB是2m的景物，拍摄点离景物LC=4m,像高MN不变，是35mm,.35_LC••—= ,解得：LC=70.2 4工相机的焦距应调整为70mm.11.见解析【解析】【分析】PAPF欲证PA・PB=PE・PF即证==--，观察图形可得：证明线段所在的两个三角形^PAF与PEPB△PEB相似即可.再根据弦切角和平行线的性质证出对应角相等，利用相似三角形的判定证出/kPAFs/XPEB,从而使命题得证【详解】证明：如图•••BT为切线，BA为弦，/.ZABE=ZC,又TEFaBC,AZC=ZAFP,/.ZABE=ZAFP.NAPF=/EPB,,AAPF^AEPB,PAPF■ ',~PE~~PB••.PA・PB=PE・PF.【点睛】本题给出圆内接三角形和圆的切线，求证线段的枳相等.着重考查了弦切角定理、平行线的性质和相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题.12.见解析【解析】【分析】由C£)〃A8可得到,AE7VC-A£MB,/\EDC-^EAB.以及AONDsAOMB，△0VCS/\OM4,aOCDsaOAB.再由相似三角形的性质得到比例式，变形整理可得出结论.【详解】相等.理由如下：・•CD//AB,工AEDNs△MA/, /\EDC^EAB..DN_DECN_CEDE_CE••而一诟‘'AE~~BE'.DN_CN.BM_CN・•CD//AB,:・AONDsAOMB、△OVCs2Xom4,&OCDs&OAB.DN_ODCN_OCOD_OC'am~~oa,~OB~~OA'.DN_CN•丽―丽..AM_CN•丽―丽..BM_AMAM2=BM?.:•AM=BM.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质定理的应用，利用比例式进行变形推理是本题的一个关键.13.(1)见解析；(2)2.8【解析】【分析】（1）过3点作8G-4C交4。的延长线于点G.由8G/AC,A£＞平分的C证得NGBDsRD,再由相似的性质证出结论；CDAC_8_3（2）连结EO.由（1）得丽=而=亚=5,然后证得。石〃AC.再证明y△DEFs&ACF.最后利用相似的性质可求得结果。【详解】（1）结论成立.理由如下：如图，过8点作BG/AC交4。的延长线于点G.VBG//AC,平分4AC,ZG=ZCAD=ZBAD,/.BG=AB,z\G50s△am.ACCD.ACCD（2）如图，连结EC）.•・•AO为△ABC的内角角平分线，AC=8,AB=—,3CDAC_8_3J由（1）得，Di-AB-40-5•

：.EB=AB-AE=--5=—3：.EB=AB-AE=--5=—AE_525-5T.CD_AE••丽一丽.:•aDEFs4、CF.DFEFDE5• -7c-AC-8-【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，掌握添加辅助线的方法和能灵活应用判定定理、性质定理是解题关键。14.(1)见解析；(2)DG=—.2【解析】【分析】(1)过点M作MPJ_BC交BD的延长线于点P,首先证明△DEN@Z\PEM,得到DE=PE,由△BMP是等腰直角三角形可知6P= ，即可得到结论；(2)由AF：FD=1：2,可知DF：BC=2：3,由△BCNs/^FDN,可求出BC=2,再由△DFG^ABMG即可求出DG的长.【详解】(1)证明：过点用作加。_16。交6。的延长线于点P,・•四边形A6CO是正方形，•・4C£)=90。，ZDBC=ZBDC=45。,•・PMHCN,:•d=ZEMP,ZBDC=ZMPB=45。,:.BM=PM,*/BM=DN,

ADEN=ZPEM在ADEN和APEM中,NP=NNDE=450,DN=MP・•・ADEN="EM，:•DE=EP,•・•A3A仍是等腰直角三角形：•BP=QbM，，BD+2DE=6BM.(2)解：VAF:F£)=1:2,••DF:BC=2:3,•••MCN〜MDN,.DF_DN，'~BC~'CN，设正方形边长为。，又知CM=2,••BM=DN=a+2,CN=2〃+2,。+22。+22。+2=-|»解得:4=2,4•・DF=§,BM=4,BD=24•・DF=§,BM=4,BD=2近，又•：\DFG〜WMG,.DG_DF4DG_3,

25/2-DG-7图2图2【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，运用三角形相似求出正方形的边长是解决第2小题的关键.15.(1)(10,0)(6,8)(2)存在这样的点Q,使以点P,Q,E为顶点的三角形与aPOE全等【解析】【分析】(1)根据点E在x轴正半轴上，OE=OFTO,即可得出E(10,0),再根据点F在射线BA上，可设尸(x,1+2),则0"=%,FH=x+2,最后根据勾股定理求得x即可；(2)当点。在射线”F上时，分两种情况：①QE=OE=10,②0尸=OE=10；当点。在射线AF上时，分两种情况：①。£=。£=10,②2尸=OE=10,分别作辅助线构造直角三角形或相似三角形，求得。”的长，即可得出点。的坐标.【详解】•・•点E在x轴正半轴上，OE=OF=10,.*.£(10,0).•・•点/在射线BA上，・••可设/(x,x+2),则。”=x,FH=x+2,如图，连接OF,则RtZi。”/中，x2+(x+2)110二，解得：l6,，x+2=8,:.F(6,8).故答案为(10,0),(6,8)；(2)存在这样的点0,使以点P,。，E为顶点的三角形与APOE全等.当点Q在射线HF上时，分两种情况：①如图所示，若QE=OE=10,而HE=10-6=4,，在中，QH=何2_昨="0?—42=29,・・・。(6,2百)；

②如图所示，若2P=。七=10,作尸KJ_H/于K,则NPKQ=NQHE=90。,QKyioj?=8.VZPQK+ZEQH=ZQEH+ZEQH=9Q(>,:・/PQK=NQEH,：./\PQK^/\QEH,/.—=PK黑,即"■=?，解得：QHf：Q(6,3)：6 8当点。在射线AF上时，分两种情况：①如图所示，若。E=。七=10,设2（x,户2）,作2R_L%轴于R,则RE=10-x,QR=x+2,，RtZi2RE中，（10-x）2+（x+2）2=102,解得：入=4士 （4+5/nr，6+5ynr）或（4-5ynr，6-5/m）；②如图所示，若2P=OE=10,则。七=OP,设。（x,x+2）.VZPOE=90°,・•・四边形OPQE是矩形，：.x=OE=10.在射线A/上，，x+2=0E=12,：.Q（10,12）.

【点睛】【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，相似三角形的性质，矩形的性质以及勾股定理的综合应用.解决第（2）题的关键是分类讨论，运用勾股定理以及相似三角形的对应边成比例进行计算求解.分类时注意不能遗漏，也不能重复.16.（1）16.（1）证明见解析；（2）），=正/；4,BH2(3)——=-AH7【解析】【分析】（1）先证明aAOG是等边三角形，再利用SAS证明.AG石四△ZMC,然后可得出结论；（2）根据已知易得四边形石尸。。是平行四边形，再结合（1）中的全等可证明尸为等边三角形，根据等边三角形的性质以及面积公式可得出结果；（3）先根据等边三角形的性质得出8尸=180,令5/=4,由平行可得△6"尸s△。//石，2RHRF" 1再根据== 然后用含a的式子表示出BH,AH,即可得出结果•DHDE2。2【详解】（1）证明：•••△A6C是等边三角形，/.AB=AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°.•・•EG//BC，・•・aAOG是等边三角形./.AD=DG=AG^ZAGE=ZDAC=60°.;DE=DB•・.EG=AB.GE=AC.在:.AGE和△ZMC中，AG=DAAAGE=ADAC,GE=AC•.^AGE^DAC(SAS),•・ZAEG=ZACD；(2)解：•:EG/iBC,EFi/DC,•・四边形EFCD是平行四边形.•・.EF=CD,ADEF=ADCF.由(1)知△AGE式zJMC,/.AE=CD,ZAED=ZACD.,;EF=CD=AE,ZAEF=ZAED+ZDEF=ZACD+ZDCB=60。,尸为等边三角形.*.*AE=CD=x,.6，..)，=『；(3)解：:△A6c为等边三角形，Z.Z5=60°.：DF1BC,•・在Rt.5/。中，BF=-BD.2令BF=a,则DB=DE=CF=2a,•・AB=BC=BF+CF=3a.AD=AB—BD=a.,?DE//BF,：.&BHFS&DHE.BHBFa\TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"• _ _ __••丽一瓦一五>4又•：BH+DH=2a, =DH=-a.32•BH-3 -2.•记二£77于3【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质与判定，相似的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识点，掌握基本性质与判定定理是解题的关键.17.见解析【解析】【分析】方法一：过点C作CF〃AB交ED于点F,证出△AEMs^CFM,进而得出AE=FC,再证可噎=2；…BCBE-FC可噎=2；（寸= CDFC方法二：过点M作MF〃AB交BC于点F,证出△CMFs^CAB,然后应用相似的性质求PMFD2 BC得-^=会=7,再设BF=x,则FC=x,CD=x，代入可得77K=2；BEdD3 CDCD2方法三：过点E作EF〃AC交BC于点F,证出△BEFsAjbAC,进一步求得——=一，然FD3Be后设FC=x,则BF=3x,CD=2x,代入可得方=2；方法四:过点E作EF〃BC交AC于点F,证出△AEFs/XABC,进一步证得△MFEs^mcD,并求得EFCD可得BCCD并求得EFCD可得BCCD=2.【详解】方法一:解:过点C作CF〃AB交ED于点F,VCF/7AB,AAAEM^ACFNLTM是AC的中点，AMFC,…MCAE，AE=FC,VBE=3AE,CF_1VFC/7AB,BCBE—FCc,CDFC方法二：解：过点M作MF〃AB交BC于点F,VMF/7AB.AACMF^ACAB,・・・M是AC的中点，FCFM1• — •/BE=3AE,FMFD2• _ _ 一旅一而一］设BF=x,则FC=x,CD=x,.岑=2CD方法三：解：过点E作EF〃AC交BC于点F,方法二VEF/7AC