4随机变量及其分布分析

1第二章随机变量及其分布§1随机变量的概念2随机事件可以采取数量的标识。如：抽样检查产品时废品的个数。掷骰子出现的点数。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。如产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。3例如：(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。用ξ表示射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。(2)抛一枚硬币，ξ表示正面出现的次数，它是随机变量，可取0和1两个值。(3)某段时间内候车室旅客数目记为ξ，它可取0及一切不大于最大容量M的自然数。(4)一块土地上农作物的产量ξ是随机变量，它可以取区间[0，T]的一切值。(5)沿数轴运动的质点，它的位置ξ是随机变量，可以取任何实数，即ξ(-∞,+∞)4随机变量按取值情况分为两类：(1)离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值。(2)非离散型随机变量可以在整个数轴上取值，或至少有一部分值取某实数区间的全部值。非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。即取值于一个连续区间全部数值的随机变量。以后，只研究离散型与连续型随机变量。5定义2若ξ是一个随机变量，对任何实数x，令

F(x)=P(ξ≤x)称为F(x)是随机变量ξ的分布函数。对任意实数a<b,有P(a<ξ≤b)=P(ξ≤b)-P(ξ≤a)=F(b)-F(a)分布函数完整地描述了随机变量的变化情况。注意P(a≤ξ≤b)=P(ξ=a)+P(a<ξ≤b)=P(ξ=a)+F(b)-F(a)P(a<ξ<b)=P(a<ξ≤b)-P(ξ=b)=F(b)-F(a)-P(ξ=b)6分布函数具有如下的性质：F(x)是概率，取值在0与1之间(2)F(x)是x的不减函数。ξ≤x所含基本事件个数不会随x增大而减少(4)F(x)至多有可列个间断点，在其间断点上右连续。7§2随机变量的概率分布(一)离散型随机变量的概率分布定义1如果随机变量ξ只取有限个或可列个可能值，而且以确定的概率取这些不同的值，则称ξ为离散型随机变量。一般列成概率分布表：也可写成 P(ξ=xk)=Pk (k=1,2,…)称之为概率函数。ξ＝x1,ξ=x2,…,ξ=xk,…构成完备事件组。离散型随机变量的分布是指概率分布表或概率函数。性质： Pk≥0,k=1,2,…8例1一批产品的废品率为5％，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量描述废品出现的情况。解：用ξ表示废品的个数。ξ＝1表示产品的废品，ξ＝0表示产品的合格品。或P(ξ=k)=(0.05)k(0.95)1-k, (k=0,1)9分布函数的图形：x010.951称为两点分布称为0-1分布10例2产品有一、二、三等品及废品4种，其一、二、三等品率和废品率分别为60％，10％，20％，10％，任取一个产品检验其质量，用随机变量ξ描述检验结果。解：用ξ＝k表示产品为k等品，k＝1，2，3ξ＝4表示产品为废品概率分布表为0.1123401p1112340.10.6112例3用随机变量描述掷骰子的试验情况。解：令ξ表示掷一颗骰子出现的点数。其分布函数为13其图形为离散型随机变量的分布函数图形是阶梯曲线。在ξ的取正概率的点xk处有跳跃，跃度为概率pk在任一连续点x上，ξ取值x的概率都是零。1012345614解：在跳跃点的跃度就是概率。故概率分布表为15解：概率之和应为11＝2a+3a+a+2a+a+a=10a故a=0.1概率表应为=0.8=0.616这种随机变量称为几何分布。17例7盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡，其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。现在需要1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的ξ分布。解：ξ＝0表示第一个就取到了螺口灯泡。ξ

＝1表示第一个取到卡口，第二个才取到螺口灯泡。18故ξ的分布为若本题改为取到卡口再放回去。则每次取灯泡时的情况完全相同。ξ

＝k表示前k次取到卡口灯泡，第k＋1次取到螺口灯泡。k＝0，1，2，…19例8一袋中装有编号为1，2，3，4，5的五个小球，任取3个，用ξ表示球上的最大号码，求ξ的分布。解：ξ至少为3故ξ的概率分布为20重要的离散型分布(一)0-1分布(二)离散型均匀分布21(三)几何分布22(四)二项分布其中0<p<1,q=1-p由二项展开公式23利用组合数的性质可以验证(五)超几何分布24k=0,1,2,3,4经计算列出概率分布表。25(六)Poisson分布Poisson分布常见于稠密性问题，如：候车室旅客数目，原子放射粒数织机上的断头数印刷错误。26实际计算时，可查Poisson分布表。27(二)连续型随机变量的分布28概率密度的基本性质：29由于P(ξ

=a)=P(ξ=b)=0,故对连续型随机变量。P(a<ξ<b)=P(a≤ξ≤b)=P(a<ξ≤b)=F(b)-F(a)30(一)连续型均匀分布(二)指数分布3132指数分布常用来作为各种“寿命”分布的近似。如：随机服务系统中的服务时间。产品的寿命产品在t时间(t>0)失效的概率为而产品的可靠度为＝1－F(t)33(三)正态分布这是最重要、最常见的分布。许多微小的，独立的随机因素作用的总后果，一般可以认为服从正态分布。例如人的身高、零件长度，考试成绩等。特点为“中间大，两头小”。3435记作36对于任给的x值，样表如下：-110x3738标准正态分布的分布函数为其函数值也要通过标准正态分布的分布函数表查出。样表如下：3940对小于零的x，由下图可以间接查表求出-xxt41=0.025=0.95=0.99379-(1-0.94520)=0.938994243一般正态分布的概率密度的图形为其分布函数ux044=0=1454647x<0时＝00≤x<2时x>2时＝148P(1.5<ξ<2.5)=F(2.5)-F(1.5)=0.0625或者＝0.062549x<0时＝0x≥0时50故分布函数为=1-(2+1)e-2-0=1-3e-2实际上，对任意一点xP(ξ=x)=051§4随机变量函数的分布也有多元函数η＝f(ξ1,…,ξn)等。(一)离散型随机变量函数的分布定义1设f(x)是定义在随机变量ξ的一切可能值x集合上的函数。如果对于ξ的每一可能取值x，有另一个随机变量η的相应取值y=f(x)。称η为ξ的函数，记作η=f(ξ)。

52＝0.2＝0.4＝0.1＝0.3故η的分布表为53解:P(η=0)=P(ξ=0)=0.2P(η=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=0.2+0.1=0.3P(η=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2)=0.1+0.4=0.5故η的分布为54η的概率分布表为55ξη解：P(ξ+η=1)=P(ξ=0,η=1)+P(ξ=1,η=0)=0.4而P(ξη=1)=P(ξ=1,η=1)=0.256解：ξ-η的取值可以为1，2，3，4P(ξ-η=2)=P(ξ=4,η=2)+P(ξ=5,η=3)=P(ξ=4)P(η=2)+P(ξ=5)P(η=3)=0.38类似可算出其它概率。ξ-η的概率分布表为57(二)连续型随机变量函数的分布＝P(4ξ-1≤x)两边求导58解：当x<0时=0两边对x求导。59＝0＝10<x<1时内容总结1。对没有数量标识的事件，可以人为加上数量标志。产品为优质品记为1，次品记为2，废品记为3。天气下雨记为1，不下雨记为0。(1)射击击中目标记为1分，未中目标记0分。射击的得分，它是随机变量，可取0和1两个值。(2)抛一枚硬币，ξ表示正面出现的次数，它是随机变。(5)沿数轴运动的质点，它的位置ξ是随机变量，可以取。任何实数，即ξ(-∞,+∞)。非离散型随机变量中最常用的是连续型随机变量。定义2若ξ是一个随机变