2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第13章 §13

第十三章系列4选讲

§13.1坐标系

【考试要求】1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情

况2了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角

坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.伸缩变换

[xr—A'Xf%>0,

设点P（X,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换V,c的作用下，点

ly=〃少，〃>o

P（x,y）对应到点P'（/，<）,称夕为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系

（1）极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点。，自点。引一条射线Ox,再选定一个长度单位、一个角度单位（通常

取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.点。称为极点，射线

Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度。和从射线Ox到射线OM的

角度。来刻画（如图所示）.这两个数组成的有序数对S，。）称为点M的极坐标."称为点M

的极径,6称为点M的圾鱼」一般认为当极角6的取值范围是[0,2兀）时，平面上的点（除

去极点）就与极坐标s，建立■对应的关系.特别地，极点。的坐标为（0,0）（6CR）.

（2）极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内任意一点，它的直角坐标为（x,y）,极坐标为S，由图可知下面关系式成

立：

「个或广丁‘这就是极坐标与直角坐标的互化公式.

Ly=/）sin0tan6=?xW0）,

3.常见曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

O

圆心在极点，半径为7•的圆o=r（owev2兀）

〃=2rcos—-

圆心为。;0）,半径为r的圆（一-啮

圆心为（r，m，半径为r的圆亿号）

〃=2rsin兀）

0X

过极点，倾斜角为a的直线6=aSWR）或6=n+aSGR）

过点3,0）,与极轴垂直的直线"cose=4—

O（a,o）x

1通

过点G，9,与极轴平行的直线

osine=。（0</兀）

O\x

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴若点P的直角坐标为（1,一小），则点P的一个极坐标是（2,一却V）

（2）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.（V）

（3）极坐标方程e=7ts》o）表示的曲线是一条直线.（x）

TT

（4）tan6=1与9=1表示同一条曲线.（X）

【教材改编题】

1.在极坐标系中，圆p=-2sind的圆心的极坐标是（）

C.（1,0）D.（1,兀）

答案B

解析方法一由〃=-2sin。，

得p2=-2psin仇

化成直角坐标方程为金+)2=-2y,

化成标准方程为f+0+l)2=l,

圆心坐标为(0,-1),

其对应的极坐标为(1,-f).

方法二由"=-2sin0=2cos(0+?,知圆心的极坐标为(1,一；),故选B.

2.在极坐标系中，已知点'2,1),则过点尸且平行于极轴的直线方程是()

A.psin0=\B.psin。=小

C.pcos0=1D.pcos8=小

答案A

解析先将极坐标化成直角坐标表示，P(2,袁)转化为直角坐标为x="cos9=2cos季=小，y

=psin0=2sin5=1,即(审，1),过点(小，1)且平行于无轴的直线为y=1,再化为极坐标为

psin9=1.

3.在极坐标系中，直线〃cose+〃sin。=。伍＞0)与圆p=2cos。相切，则。=.

答案I+V2

/cose=x,

解析由＜psinff=y,可将直线pcos夕+psin6=a化为x+y—〃=0,

将p=2cos仇

即p2=2pcos0化为/+)2=2%，

整理成标准方程为a—1)2+)2=I.

又二直线与圆相切，

,二圆心(1,0)到直线无+y—〃=0的距离d==1,

解得。=1±也，

Vtz＞0,.\a=l+y[2.

■探究核心题型

题型一极坐标与直角坐标的互化

例1（1）极坐标方程/cos6—p=o转化成直角坐标方程为（）

A./+产=0或y=lB.x=1

C.片+产。或x=lD.y=l

答案C

解析02cos6—0=O=p=^?T^=O或0cos。=1,即丁十丁二。或x=l.

（2）点M的直角坐标是（一1,小），则点M的极坐标为（）

C（2,空）D（2,2E+飘GZ）

答案C

解析••7=.（一]）+（小户2,

tan0=^77=—y[3.

又点M在第二象限，生，

...点M的极坐标为（2,华）.

【教师备选】

在直角坐标系xOy中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ci：

即（呜）=坐'C2：/=3_4%夕

⑴求曲线Cl，C2的直角坐标方程；

（2）曲线Ci，C2的交点为M,N,求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标.

解（1）由分小0+§=坐，得

（.八兀_1__.cS

plsin"cos不十cos8sm

psin0=y9

将代入上式得x+y=l,

pcos6=x

即Ci的直角坐标方程为x-\-y—1=0,

同理，由可得犷一v=l,

；.C2的直角坐标方程为3f一丁=1.

(2)设M(xi,yi),Ng”),

[3X2-)^=1,

由J.i得3/—(1—x)2=l,

[x+y=1

即f+x—1=0,

X]+必=-1,

X\X2=11,

则MN的中点坐标为(一/3，

由弦长公式，可得=3+(-1)2佻-刈=啦XA/1-4X(-1)=Vio.

...以MN为直径的圆为G+,2+Q一

令x=0,得;+(厂1)2=最

即

；.y=0或y=3,

...以MN为直径的圆与y轴的交点坐标为

(0,0)或(0,3).

思维升华(1)直角坐标方程化为极坐标方程时，将x=pcos(?及)，=psin。直接代入并化简即

可.

(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如pcosapsin6,/的形式，再进

行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以如及方程两边同时平方是常用的变形方法.但对

方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检脸.

跟踪训练1已知曲线G的方程为。-1)2+尸=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点

且斜率大于0的直线.

(1)以直角坐标系原点。为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，求G与C2的极坐标方程；

⑵若G与C3的一个公共点为&异于点。)，C2与C3的一个公共点为B,当I0AI+两=4而

时，求C3的直角坐标方程.

解(1)曲线G的方程为。-1)2+)2=1,

整理得『+)2—2%=0,转换为极坐标方程为p=2cos(9.

曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为pcos9+psin。-3=0.

(2)因为曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线，

则极坐标方程为e=a(0<a<§),

由于Ci与C3的一个公共点为4异于点0),

p=2cos9,

故彳所以|O4|=2cosa,

9=a.

C2与C3的一个公共点为B,

[pcos0+psin9=3,

所以召

[0=a9

3

所以|OB\-1..

cosa+sina

3__

由于|。41+,

所以2cosa+cosa+sina=yf\0,

即3cosa+sina=4T6,

君°sa+君ina=l,

故曲线C3的直角坐标方程为y=1x.

题型二求曲线的极坐标方程

例2(2022.梧州模拟)在极坐标系中，已知三点A(2,0),B(2,y),&,蜘

(1)若A,B,C三点共线，求p的值；

(2)求过0,A,8三点的圆的极坐标方程.(。为极点)

解以极点为坐标原点，以极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy,

⑴因为A,8两点的极坐标分别为4(2,0),B[2,y),所以其直角坐标分别为A(2,0),8(0,

-2),

即直线A8的方程为y=x-2,

因为C点的极坐标为2，

所以其直角坐标为瞎八%),

代入直线AB的方程，

可得%=多一2,

解得〃=2(小+1).

(2)因为OALOB,

所以AB的中点(1,一1)即为圆心,

半径/"=#"+(-1>=啦'

所以圆的标准方程为（X—1）2+。+1）2=2,

即/+y2—Zt+2y=0,

因为x2+y2=/>2,x=pcos6,y="sin仇

所以圆的极坐标方程为p2—20COS0+2psin6=0,

即p=2cos0—2sin0.

【教师备选】

已知曲线Ci的直角坐标方程为f+y2—8x—10y+16=0,以坐标原点为极点，x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2sin0.

（1）把G的直角坐标方程化为极坐标方程；

⑵求G与C2交点的极坐标S》。，。〈兴2元）.

x-pcos0,

解⑴将.〃

y=psin3

代入x2+y2-8x-10y+16=0,

得p2—8pcos0—1Opsin。+16=0,

所以G的极坐标方程为"—“cos6»-1Opsin9+16=0.

⑵C2的直角坐标方程为f+V—2y=0.

p+^-Sx-lOy+lG=O,

./+y2—2y=0,

[x=l,\x=0,

解得I或c

[y=l[y=2,

所以ci与C2交点的极坐标分别为（6，g,0,9

思维升华求曲线的极坐标方程的步骤

（1）将已知条件转化到直角坐标系中.

（2）根据已知条件，得到曲线的直角坐标方程.

⑶将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程.

跟踪训练2（2019・全国II）在极坐标系中，O为极点，点M3），仇）3）>。）在曲线C：

p=4sin9上，直线/过点4（4,0）且与OM垂直，垂足为P.

■jr

⑴当仇=断寸，求00及/的极坐标方程；

⑵当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

解（1）因为M（po,a）在C上，

当为=1时，po=4sin5=2小.

JT

由已知得|0P|=|O41cos1=2.

设QS，。)为/上除P的任意一点，连接。Q,

在RtZsOPQ中，pcos(J_§=|OP|=2.

经检验，点P(2,号在曲线pcos(0—§=2上.

所以/的极坐标方程为0cos(6—§=2.

⑵设P(p,(9),在RtAOAP中，|OP|=|OA|cos6»=4cos0,即p=4cos9.

7TTT

因为P在线段0M上，且A-OM,故。的取值范围是2-

所以P点轨迹的极坐标方程为

「兀兀一

p=4cos0,2-

题型三极坐标方程的应用

例3(2018・全国I)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为)'=蛆|+2.以坐标原点为极点，x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p2+20Cos6-3=O.

(1)求C2的直角坐标方程；

⑵若G与C2有且仅有三个公共点，求Ci的方程.

解(1)由》=〃8$仇y=/>sin。得C2的直角坐标方程为(x+1)2+)2=4.

⑵由⑴知C2是圆心为4-1,0),半径为2的圆.

由题设知，G是过点8(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记)，轴右边的射线为/i,y轴左边的

射线为h.

由于点8在圆C2的外面，故G与C2有且仅有三个公共点等价于6与C2只有一个公共点且

/2与C2有两个公共点，或/2与C2只有一个公共点且/1与C2有两个公共点.

当与C2只有一个公共点时，点A到/|所在直线的距离为2,

\—k+2\4

所以/团=2,故k=一可或k=0.

y七十1J

经检验，当&=0时，/］与。2没有公共点；

4.

当％=—1时，/1与。2只有一个公共点，，2与。2有两个公共点.

当/2与。2只有一个公共点时，点A到/2所在直线的距离为2,

所以耳^^=2,故女=0或2=*

经检验，当女=0时，/］与C2没有公共点；

4

当左=1时，,2与C2没有公共点.

4

综上，所求G的方程为y=-/|+2.

【教师备选】

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐

标方程为pcos0=4.

⑴M为曲线Ci上的动点，点P在线段0M上，且满足|OMHOP|=16,求点P的轨迹C2的直

角坐标方程；

⑵设点A的极坐标为(2,号，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.

解(1)设点P的极坐标为s，e)s>。)，

点M的极坐标为Si，0)(pi>O).

4

由题意知|0P|=",|OM\=p1=cosg.

由|0M|・|0P|=16,得Cz的极坐标方程为p=4cosWp>0).

因此C2的直角坐标方程为

(x—2)2+)2=4(XW0).

(2)设点5的极坐标为(PH,G)SB>0).

由题设知|。川=2,pB=4cosa,

于是△O4B的面积S=^0A\-pB-smZA0B

=4cosajsin(a-|

=2卜in(2a-§-坐卜2+9.

当a=—盍时，S取得最大值2+小，

所以△OAB面积的最大值为2+小.

思维升华极坐标方程及其应用的解题策略

(1)求点到直线的距离.先将极坐标系下点的坐标、直线方程转化为平面直角坐标系下点的坐

标、直线方程，然后利用直角坐标系中点到直线的距离公式求解.

(2)求线段的长度.先将极坐标系下的点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐

标、曲线方程，然后再求线段的长度.

[x=9+y[3t,

跟踪训练3在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为<。为参数).以坐标原

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p2=]+；*汨

(1)求C和/的直角坐标方程：

(2)已知P为曲线C上的一个动点，求线段0P的中点M到直线/的最大距离.

解(1)由p2=]।Isin?。，得p2+3p2sin~8=16,

则曲线C的直角坐标方程为x2+4jr=16,

哇+1

直线/的直角坐标方程为X—小y—9=0.

x=4cosa,

(2)可知曲线C的参数方程为(«为参数),

j=2sina

设P(4cosa,2sina),a£[0,2兀)，

则M(2cosa,sina)到直线/：

x—小y—9=0的距离为

12cosc—，5sina-9||巾sin(J_a)-9|

d=2=2

<9±2/Z

、2'

所以线段OP的中点M到直线/的最大距离为号2

课时精练

1.在直角坐标系X。)，中，以。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标

方程为夕8$。一习=1(0・兴2兀)，M,N分别为曲线C与x轴、)，轴的交点.

(1)写出C的直角坐标方程，并求历，N的极坐标；

(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.

解(1)由0cos-4=1得

从而曲线C的直角坐标方程为坐y=1,

即x+y13y—2.

当6=0时,0=2,所以M(2,0).

(2)加点的直角坐标为(2,0),

N点的直角坐标为（0,4弓.

所以P点的直角坐标为（1,用，

则尸点的极坐标为铮，蓼,

所以直线OP的极坐标方程为。弋（pGR）.

2.在直角坐标系xO），中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的

圆心的极坐标为班，?，半径，=正，点尸的极坐标为（2,兀），过P作直线/交圆C于A,

B两点.

（1）求圆C的直角坐标方程；

⑵求解|归用的值.

解（1）；圆C的圆心的极坐标为（啦，；），

.".y-y[2sm1,x—y[2cos^=1,

即圆心的直角坐标为（1,1）,

.•.圆C的直角坐标方程为

。-1）2+（厂1）2=2.

（2）点尸的极坐标为（2,兀），

化为直角坐标为P（—2,0）.

当直线/与圆C相切于点D时，

则|P£）F=[PC]2一户

=（_2_]）2+（（）_1）2_（啦）2=8,

...由切割线定理得照|忖8|=/。|2=8.

3.（2022・洛阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线。的方程为2）?+。-2产=1,直线

C2的方程为y=45x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

⑴求曲线C1和直线C2的极坐标方程；

⑵若直线C2与曲线C1交于A,8两点，求血+苏.

解（1）曲线Ci的方程为（尤一2）2+。-2）2=1,

整理得』+y2—4x—4y+7=0,

转换为极坐标方程为p2—4pcos0—4psin0+7=0.

由于直线C2过原点，且倾斜角为去

故其极坐标方程为e=WseR).

p2—4pcos4psin8+7=0,

⑵由L兀

户不

得"2—(2小+2%+7=0,

设A,8对应的极径分别为pi,pi,

则Pi+。=2"\/5+2,p\pi=1,

.1,1_\OA\+\OB\

•,|OA|十|0却一\OA\\OB\

p\+p22A/3+2

-p\p2—7,

4.(2019・全国Hl)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0),8(啦，《血，用，0(2,TC),弧AB,

BC,CO所在圆的圆心分别是(1,0),(1,5(1，兀)，曲线Mi是弧A8,曲线必是弧BC,

曲线％是弧co.

(1)分别写出Ml，M2,Ma的极坐标方程；

(2)曲线M由Mi，Mi，%构成，若点尸在M上，且|。打=小，求尸的极坐标.

解(1)由题设可得，AB,BC,C。所在圆的极坐标方程分别为p=2cos&p=2sin仇"

=-2cos6,

所以M的极坐标方程为p=