2023届高考数学一轮知识练习：离散型随机变量的数字特征（含答案）

2023届高考数学一轮知识点训练：离散型随机变量的数字特征

一、选择题(共19小题)

1.已知随机变量X的分布列如下，则X的标准差为()

X135

P0.40.1m

A.0.95B.V32C.0.7D.V356

2.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同

学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同

学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分，猜错得。分，则这两个同学各猜1次，得分之

和X的数学期望为()

A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1

3.已知随机变量X〜那么随机变量X的均值E(X)=()

A.-B,-C.2D.-

933

4.设随机变量X~8(2,p),若P(X>1)=I，则E(X)=()

A.-2B.1iC.2D.1

33

5.设f的分布列为

f1234

1111

p____

6633

又设〃=2f+5,则ES)等于()

A.-B.工C.-D.—

6633

6.设一随机试验的结果只有A和彳，P(A)=p,令随机变量X=出现’则X的方差为()

(0,4不出现，

A.pB.2P(1-p)C.-p(l—p)D.p(l—p)

5

7.设104%1V%2V%3〈孙W103%5=10.随机变量fl取值％1，%2,%3,孙，％5的概率均为

0.2,随机变量七取值&尹，^笠唱土，写1的概率也为02.若记分别为

G，七的方差，则()

A.%>g

B.=g

C.g<g

D.DG与D，2的大小关系与修，x2，x3>久4的取值有关

8.一台机器生产某种产品，己知生产出一件甲等品可获利50元；生产出一件乙等品可获利30元,

生产一件次品，要赔20元.若这台机器生产出甲等，乙等和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,

则这台机器每生产一件产品平均预期可获利()

A.36元B.37元C.38元D.39元

9.口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球，以f

表示取出球的最小号码，则Ef=()

A.0.45B.0.5C,0.55D.0.6

10.已知p>0,q>0,随机变量f的分布列如下：

tpq

Pqp

若E(f)=g,则p?+q2=()

415

A.-B.-C.-D.1

929

11.马老师从课本上抄录一个随机变量f的分布列如表：

f123

P?!?

请小牛同学计算f的数学期望.尽管“!”处完全无法看清，且两个”?”处字迹模糊，但能断定这两个“?”

处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E(f)等于()

A.0B.2C.4D.6

12.甲、乙两人通过雅思考试的概率分别为0.5,0.8,两人考试时相互独立互不影响，记X表示两

人中通过雅思考试的人数，则X的方差为()

A.0.41B.0.42C.0.45D.0.46

13.随机变量X的分布列如表，若E(X)=g则。(X)=()

6

X012

1

P-ab

6

717—711

A.—B.—C.-D.—

123666

14.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个

同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,

同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分，猜不对得。分，则这两个同学各猜1次，得

分之和X(单位：分)的均值为()

A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1

15.设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回的抽取，每次抽取一个，记

下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相

同，每次抽取相对独立，则方差D(X)=()

23

A.2B.1C.-D.-

34

16.已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两

个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为则f的

期望为()

A.-B.-C.-D.-

5555

17.已知随机变量f满足P(f=0)=1-p,P(f=l)=p,其中0<p<l.令随机变量一

EG)I,则()

A.E⑺>E(f)B.ES)<E(f)

c.。⑺>0(0D.DS)<D(f)

18.抛掷两个股子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次

数f的期望是()

AA.——10B

3?唁

19.已知随机变量f+4=8,若§〜B(10,0.6),则E?/,。〃分别是()

A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6

二、填空题(共6小题)

20.某射击手射击所得环数f的分布列如下：

f78910

Px0.10.3y

已知f的期望E(f)=8.9,则y的值为.

21.已知离散型随机变量X的分布列为

X012

111

P---

424

则变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.

22.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1个，不放回，

直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为f,则P(f=0)=,

E(f)=.

23.己知随机变量f的分布列为：

<-1012

11

P%WZ"

□O

若E(f)=g,则x+y=,0(f)=.

24.一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个.若从中随机取

球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球''的

概率为;若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为f,则随机变量f的期望

为.

25.随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=i,E(X)=1,则O(X)=_______.

4

三、解答题(共7小题)

26.某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2棵.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为:

和豆且每棵大树是否成活互不影响.求移栽的4棵大树中，

(1)至少有1棵成活的概率；

(2)两种大树各成活1棵的概率.

27.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点4,在点A处投中一球得2分，在距

篮筐3米线外设一点B,在点B处投中一球得3分.己知甲、乙两人在A和B点投中的概率相

同，分别是:和（且在4、B两点处投中与否相互独立，设定每人按先4后B再4的顺序投

篮三次，得分高者为胜.

（1）若甲投篮三次，试求他投篮得分f的分布列和数学期望.

（2）求甲胜乙的概率.

28.某地有A,B,C,D四人先后感染了新型冠状病毒，其中只有A到过疫区.

（1）如果B,C,D受到A感染的概率均为?那么B,C,D三人中恰好有一人受到A感染新

型冠状病毒的概率是多少？

（2）若B肯定受A感染，对于C,因为难以判断他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和

受B感染的概率都是|,同样也假设D受A,B和C感染的概率都是%在这种假定之下，B,

C,D中直接受A感染的人数X为一个随机变量，求随机变量X的均值和方差.

29.某公司为了提升公司业绩，对公司销售部的所有销售员12月份的产品销售量作了一次调查，得

到如下的频数分布表:

销售量/件[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

人数143016282012

附表及其公式:

2

2依>k°)0.150.100.052=n(ad-be)

=

2.0722.7063.84/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

,7i=a+b+c+d.

（1）若将12月份的销售量不低于30件的销售员定义为“销售达人”，否则定义为“非销售达人”,

请根据频数分布表补全以下2x2列联表：

销售达人非销售达人总计

男40

女30

总计

并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关.

（2）在（1）的前提下，从所有“销售达人”中按照性别进行分层抽样，抽取6名，再从这6名

“销售达人”中抽取4名作销售知识讲座，记其中男销售员的人数为X,求X的分布列和数学

期望.

30.某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市

n个人数超过1000的大集团和8个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，己

知一次抽取2个集团，全是小集团的概率为2.

（1）求71的值；

（2）若抽取的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；

（3）若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X,求X的分布列和期望.

31.现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，根据对市场120份样本数据的统计，甲项目

年利润分布如下表：

年利润1.2万元1.0万元0.9万元

频数206040

对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均

为土在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表:

合格次数210

年利润1.3万元1.1万元0.6万元

记随机变量x,y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润.将甲项目年利润的频率作为

对应事件的概率.

(1)求x>丫的概率；

(2)某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由.

32.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，给当地人民造

成了巨大的财产损失，适逢暑假，小张调查了当地某小区的100户居民由于台风造成的经济损

失，将收集的数据分布[0,2000],(2000,4000],(4000,6000],(6000,8000],(8000,10000]五

组，并作出如下频率分布直方图(图I)：

图1

附：临界值表

P(K2>k)0,100.050.025

k2.7063.8415.024

随机变量

K?_(a+b+c+d)(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(I)台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如右下表

格，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于

500元和自身经济损失是否到4000元有关？

经济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计

捐款超过500元60

捐款不超过500元10

合计

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样方法每

次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自身经济损失超过4000元的人数为

若每次抽取的结果是相互独立的，求f的分布列，期望E(f)和方差。G).

答案

1.D

【解析】由题意得，E(X)=1x0.4+3x0.1+5x(1-0.4-0.1)=3.2,

所以方差为(1-3.2)2*0.4+(3-3.2)2x0.1+(5-3.2)2x0.5=1.936+0.004+1.62=3.56,

所以X的标准差为心诿，

故选D.

2.A

【解析】依题意得，X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=(1-0.4)x(1-0.5)=0.3,

P(X=1)=0.4x(1-0.5)+(1-0.4)x0.5=0.5,

P(X=2)=0.4x0.5=0.2.

可得X的分布列如表所示.

X012

P0.30.50.2

所以E(X)=0x0.3+1x0.5+2X0.2=0.9.

3.B

【解析】因为X〜所以有1(X)=4x[=g.

4.A

【解析】因为P(X>1)=1-P(X=0)=I，所以P(X=0)

即(l-p)2=g,所以p=1,E(X)=2p=|.

5.D

【解析】由题意得，E(f)=lx；+2x；+3x：+4x；=],则ES)=E(2f+5)=2E(f)+5=

66336

2x^+5=?.

63

6.D

7.A

8.B

9.B

【解析】f能取的值有0,1,2,而P(f=0)=砥=0.6,p(f=1)=3=0.3,p(f=2)=4=0.1,

CSLSL5

所以，Ef=0x0.6+1x0.3+2x0.1=0.5.

1().C

11.B

【解析】设"?”处的数值为x,则可'处的数值为1一2%,则E(f)=l-%4-2x(l-2x)+3x=x+2-

4%+3%=2.

12.A

【解析】通过雅思考试人数的分布列为：

X012

P0.10.50.4

即E(X)=0x0.1+1x0.5+2x0.4=1.3,

所以

D(X)=(0-1.3)2x0.1+(1-1.3)2x0.54-(2-1.3)2x0.4

=0.169+0.045+0.196

=0.41.

故选A.

13.B

14.A

【解析】由题意得X=0,1,2,则

P(X=0)=0.6x0.5=0.3,

P(X=1)=0.4x0.5+0.6x0.5=0.5,

P(X=2)=0.4x0.5=0.2,

所以E(X)=1x0.5+2x0.2=0.9.

15.C

16.A

17.D

【解析】随机变量f满足P(f=0)=1-p,P(f=1)=p,其中0<p<1.

则随机变量f的分布列为：

f01

P1-pp

所以E(f)=p,D(f)=p(l-p),

随机变量a="-E(§)I，

所以当4=0时，7?=|<-E(f)|=p,当f=1时，v=|-E(f)|=1-p,

所以随机变量r?=lf—EG)|的分布列如下表所示(当p=0.5时，4只有一个情况，概率为1)：

npi-p

p1—pp

则E(TJ)=p(l-p)+(1-p)p=2p(l-p),

D(r)')=[p-2P(1-p)/-(1-p)+[1-p-2P(1-p)K.p

=p(l-p)(2p-l)2,

当E(f)=EG?)即p=2p(l-p),解得p=：.

所以A、B错误.

D(rf)-D(f)=p(l-p)-p(l-p)(2p-l)2=4P2(1-p)2>0恒成立.

所以C错误，D正确.

18.D

【解析】抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现的概率为p=：则在10次试验中，成功次数f

服从二项分布B(10,|),所以期望是np=?.

19.B

20.0.4

21.1,i

2

22.i,1

3

【解析】f=0表示停止取球时没有取到黄球，

所以P(f=0)=；+=%

随机变量f的所有可能取值为0，1,2,贝ijp(f=1)=：x[x：+(x|x；/P(f=2)=

-2x-1x-1+,-1x-2x-1+,-2x-1x-14,-2-x-1x-1=-1,

4324324324323

所以E(f)=0x[+lx：+2xq=l.

23.-

29

24.1

27

25.i

2

【解析】P(x=0)=i,则P(X=1)+P(X=2)=2,E(x)=P(X=1)+2P(X=2)=1,

44

故P(X=1)=|,P(X=2)=；,

所以D(X)=iX(0-l)2+|X(1-l)2+iX(2-l)2=|.

26.(1)至少有1棵成活的概率为

1-P伍•瓦•瓦•瓦)=1-P(否)P(否)P㈤P®)

—翳

(2)每种树的成活问题都是2次独立重复试验，依概率公式知，两种大树各成活1棵的概率为

f>=C2X-X--C2X-xi=—X—=—.

46645536254s

27.(1)设“甲在4点投中”的事件为4,“甲在8点投中，”的事件为B.

根据题意知f的可能取值为0,2,3,4,5,7

pq=0)=p(m)=(1-02x(1-0=1，

P(f=3)=P(7BN)=(1—Jx]x(l-3

=4)=P(>l-B>l)=ix(l-|)x|=i,

=5)=P{AB-A+ABA)=Clx^x(l-^x^=^

P(f=7)=P(A.B.A)=：xgx3=*.

所以f的分布列是：

§023457]11111

11111lE(O=0x-+2x-+3x—+4X-+5X-+7X—=3

r-7————-7---oD1Zoo1Z

(2)甲胜乙包括：甲得2分、3分、4分、5分、7分五种情形.这五种情形之间彼此互斥，因

此，所求事件的概率P为:

Pr.=31X；1+,n1X(Z61+,31)\+,61Xt/I+,51+,H1\)

+功仁+工+工+工)+工*(1-工)

6\63126712V127

_S7_19

-144-48'

28.(1)概率「=禺(丁(1一丁号.

(2)根据题意，X的可能取值为1,2,3,

则P(X=l)=；x|=右

P(X=2)=-x-4--x-=-,

,,23232

P(X=3)=*=：,

Zoo

故X的分布列为

X123

111

p

326

所以E(X)=lx-+2x-+3x-=—.

3266

DXI2117

所以()=(—£)2xX一X-=—

抖(2-于636

29.(1)根据频数分布表补全2X2列联表如下;

销售达人非销售达人总计

男403070

女203050

总计6060120

计算1的观测值为“3.429>2,706,

所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为该公司销售员是否为“销售达人”与性别有关.

(2)由题意知抽取的6名“销售达人”中有4名男职工，2名女职工,

所以X的可能取值为2,3,4；

计算P(X=2)=等=2=|,

/X=3)=等屋,

「。=4)=警=*

所以X的分布列为：

X234

281

P———

51515

数学期望为E(X)=2x1+3x^+4x^=1.

30.(1)由题意知共有(n+8)个集团，抽取2个集团的方法总数是鬣+8,其中全是小集团的情况有

髭种，故全是小集团的概率是黑=扁第=巳

^n+8(九十十15

整理得(n+7)(n+8)=210,即彦+15n-154=0,解得n=75=-22舍去).

(2)若抽取的2个集团全是大集团,则共有询=21种情况；若抽取的2个集团全是小集团，则

共有篇=28种情况.

故所求概率为忌=；.

Zl+Zo7

(3)由题意知，X的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)=

P(X=1)=箸=卷,

P(X=2)=警=

。。=3)=器=意

P(x=4)=甯=襄

故X的分布列为

X01234

1828562

P

39396519539

232

所以E(X)=0x表+lxV+2x||+3x^+4X—=—

3915

31.(1)x>y的所有情况有:

P(X=1,2,r=l.l)=lx2xix|=^

p(y=o.6)=(|)=g,

所以p(x>y)=5+X捺

(2)随机变量X的分布列为

X1.21.00.9

111

P———

623

所以E(X)=1.

P(y=1.3)=ixi=i,

YY、12,214

P(Y=1.1)=-X-+-X-=-,

33339

P(Y=0.6)=-x-=i,

'7339

所以随机变量y的分布列为