2023届高考数学一轮知识点训练：恒成立问题（含答案）

2023届高考数学一轮知识点训练：恒成立问题

一、选择题（共15小题）

1.如果对于xeR,不等式|尤+112依恒成立，则k的取值范围是（）

A.(-oo,0)B.[-1,0]C.[0,1]D.[0,8]

2.当工£[-1,2]时，不等式a>%2-2x-1恒成立，则实数a的取值范围是（)

A,a>2B.a>1C.a>0D.a>-2

3.下列不等式中，解集为R的不等式是()

A.4x2-12x4-9>0B.4x2-12x+9<0

C.2x2+%4-1<0D.3x2—2%4-4>0

4.如果不等式ax24-bx4-c<0(aH0)的解集为空集，那么i()

A.a<0,21>0B.a<0,zl<0C.a>0,21<0D.a>0,J>0

5.不等式|x+3|-|x-l|<a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()

A.(―co,-1]u[4,+oo)B.(—co,-2]U[5,+°o)

C.[1,2]D.(-oo,1]u[2,+oo)

6.在R上定义运算(g):x<8)y=x(l-y).若不等式(x-a)(g)(x+a)<1对任意实数x成立，则

()

122I

A.-1VQ<1B.0<Q<2C.—VqV-D.—VqV-

2222

7.若不等式％2+Q%+1之(J对一切tC(0,1|成立，则Q的最小值为()

A.0B.-2C.一三D.一3

2

8.给出下列四个函数：

①f(x)=sinx；

②f(x)=：;

③f(x)=M；

④/(x)=Inx.

对于八式)定义域中任意的工，满足不等式“式八x+t)-/(%)]20(t>0)”的函数是()

A.①②B.①③C.(2X3)D.③④

9.已知函数/。)=|2/—&》一1|+£1心若/'(x)2-之恒成立，则实数a的取值范围为()

A.[-1,1]B.[-V2)V2]

C.[-V2,-l]u[l,V2]D.(-8,0]u[&,+8)

10.如果不等式/+nix+£>0对一切％ER恒成立，那么实数M的取值范围是()

A.m>2B.m<2C.0<m<2D.mVO或m>2

11.关于x的不等式ax2+lax-4<0对一切%GR恒成立，则a的取值范围是()

A.(-4,0]B.(-8,0]C.(-4,0)D.[0,4)

(—X2+X,X<1c4,、

12.已知函数/(%)=x>V若对任意的％ER，不等式/(%)W瓶？-1加恒成立，则头

I3

数m的取值范围是()

A.(-8,一,B.(-0°,-;]U[1,+8)

c.[1,+8)D.[-i,l]

13.正数a,b满足工+3=1,若不等式a+bN-尤2+4x+18—m对任意实数x恒成立，则实数

ab

m的取值范围是()

A.[3,+oo)B.(-00,3]C.(-co,6]D.[6,+8)

14.数列｛aj中，%=%an+】=an+M；/(n€N*),则数列｛/｝的通项为()

Cc.a=-1d,---n--1--nD.a=-n+1-

n2n2+n+27n1n+2

15.若不等式%24-ax4-1>0对一切x€成立，则a的最小值为（）

A.0B.-2C.--D.-3

2

二、填空题(共8小题)

16.不等式4x2-mx+1>0对一切%6R恒成立，则实数m的取值范围是.

17.对于任意实数%,不等式(a-2)x2-2(a-2)%-4<0恒成立，则实数Q的取值范围

是.

18.已知函数f(x)=｛二;2%;黑，若不等式"J)|一ax-a+1N0恒成立，则实数a的取

值范围是.

19.对于xeR,不等式2炉一aV/一1一1>o恒成立,则实数a的取值范围是.

20.不等式x2+8y22拉(％+y)对于任意的x,y6R恒成立，则实数力的取值范围为.

21.设/一2x+a-8W0对于任意工6｛久|1WxW3｝恒成立，则a的取值范围是.

22.已知不等式|3%-a|>x-1对任意xG(0,2)恒成立，则实数a的取值范围是.

23.若对任意x>0,丁一一Wa恒成立，则a的取值范围是

三、解答题(共5小题)

24.已知关于x的不等式(m—2)x2+2(m—2)x-4<0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范

围.

25.当％W(1,2)时，不等式X24-mx4-4<0恒成立，求m的取值范围.

26.在R上定义运算®y=x(l-y).若不等式(x-a)0(%4-a)<1对任意实数%恒成立，

求Q的取值范围.

27.关于x的不等式3x2-14x+m<0在区间［1,3］上恒成立，求实数m的取值范围.

28.设/(%)=a/++c,若/(l)=问是否存在a,4cWR,使得不等式：x2+1</(x)<

2x2+2x+1对一切实数x恒成立，证明你的结论.

答案

1.c

2.A

3.D

4.C

【解析】只能是开口朝上，最多与x轴一个交点情况...Q>0,1工0.

5.A

6.C

7.C

【解析】分离变量.因为工«0,#所以qNt—%因为y=x+：在（0段上单调递减，在

处取得最小值，最小值为|.所以―卜+用工一支即心一|.

8.D

9.A

10.C

【解析】提示：J=m2-4Xy<0,得0VmV2.

11.A

12.B

13.D

【解析】因为Q>0,h>0,工+9=1，

ab

所以a+b=（a+b）（，+3）—10+>10+2A/9=16,

由题意，得16>一/4-4x+18—m,

即——4%一23-m对任意实数x恒成立，而％2—4%—2=（工一2>一6,

所以/一4%-2的最小值为-6,

所以一6N—zu,即m之6.

14.B

【解析】由已知可得。2—g—。2=［-［，，…，an~an-l=J相

加得dn—=：---三，所以Qn=~~-

“A2n+1"n+1

15.C

【解析】因为%€（0彳］,

所以aNt

XX

由于函数y=x+1在（O,,上单调递减，

所以在处取得最小值也

所以-G+34-*

所以aN—

16.[-4,4]

17.(-2,2]

【解析】当Q=2时，一4Vo恒成立；

、匕,9口卜(a-2<0,

_IQ/2时‘(©a_2)2+16(。-2)<0,

所以一2VQV2,综上得一2<。工2.

18.[-84]

【解析】如图y=/(x)的图象：

因为I/(%)I-a+1之0恒成立，

所以I/(%)INa%+a-1恒成立，

当a=0R寸，I/(x)|>一1恒成立，

当Q<0时，直线y=a%+a—1与y=——2x(x<0)相切，即%2—(2+d)x+1—a=0,故判别

式为(a4-2)2—4(1—a)=0,

解得。=一8或Q=0(舍去)，即有一8WQV0,

当a>0时，直线y=ax+a—1与丫=0*—1(%>0),

设直线y=QX+Q-1与y=e"-1(%>0)相切，切点为(x0,y0)f

ex0=a,

所以yo=眇。-1,

.y0=Q%o+Q—1,

解得x0=-1,

由直线y=ax+a-1过定点(-1,-1).

所以要使留一12。工+0-1在％>0时恒成立，只需Q-1W0即有0VQW1即可.

故一84。工1.

19.a<2V2

20.-8<A<4

21.{a|a<5}

22.(-oo,3)U[7,+oo)

23.a>1

【解析】由x>0,所以a>0,原不等式等价为0<工式立丝匕=%+工+3恒成立，所以有二W

axxa

(%+2+3)=5,即0<^W5,解得a2之

Ix,mina5

24.1<m<2.

25.(-oo,-5].

26.因为(％-a)⑥(%+a)=(%-a)(l-％-a),

又因为不等式(%-a)0(x+a)<1对任意实数%恒成立，

所以(％—a)(l—x—a)<1对任意实数x恒成立，HP%2—%—a2+a+l>0对任意实数x恒成立,

所以4=(—1)2—4(—Q2+Q+1)<0,

解得<a<-|.

即a的取值范围是(一：,I).

27.设/(x)=3/-14*+jn,xe[1,3],则/(x)max<0,

2

而f