初二数学知识点总结(包括八年级人教版上下两册知识内容-非常完整)

八年级上知识点总结第十一章

全等三角复习一、全等角形1、全等三角形有哪些性质（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等理解①长边对长边短边对短边最大角对最大角最小角对最小角②对应角的对边为对应边对应边对的角为对应角。（2）全等三角形的周长相等、面积相等。（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。2、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成SSS)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成”角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成AAS”)方法指引斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“”)3、证明两)（1）

（)

ASA---

AAS)

角AAS)

(ASA)()练习二、角的分线：一个角的顶点得出一条射线把这个角分成两个相等的角，称这条射线为这个角的平分线。1、性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.2、判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。三、学习全等三角形应注意以下几个问题（1)正确区分“应边”“边，“对应角”与对角”的不同含义；（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

知识回顾：知识回顾：BC两个（3）“有个角对应相等”“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”“对顶角”（5）截长补短法证三角形全等。第十二章

轴对称一、轴对图形1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2.

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点叫做对称点3、轴对称图形和轴对称的区别与联系3、轴对称图和轴对称区别与联系轴对图形

轴对图形区别联系

A(1)轴对图形是(个)具有特形状的形,只对(个图形而言;(2)对称不只有一条如果把轴对图形沿称轴分成两部分,么这两个图就关于这条线成轴称.

CB'(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉(两个图形;(2)只有(条)对称轴.如果把两个轴对称图形拼在一起看一个整,那么它就是一轴对称形.4.轴对称与轴对称图形的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。二、线段垂直平分线1.义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。2.质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：1.平面直角坐标系中

①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点横坐标互为相反数纵坐标相等;③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；④与轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；⑤关于与直线或对称的坐标点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_（x,）_____.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为__（）___.2.角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四等腰三角形知识点回顾1.腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合线合一）理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等角对等边）五等边三角形）知识点回1.边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于。2、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。3.直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对直角边等于斜边的一半。第十三章

实数知识点归纳一、数的分类整数

正整数零有理数

负整数

有限小数或无限循环小数分数

正分数负分数

小数1.数

正无理数无理数负无理数2、数轴：规定了、一个不可)

无限不循环小数和

的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺实数与数轴上的点是一一对应的。数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数。3、相反数与倒数；4、绝对值

a|

(a0)()a(a)5、近似数与有效数字；6、科学记数法7、平方根与算术平方根、立方根；8、非负数的性质：若几个非负数之和为零，则这几个数都等于零。二、复习1.无理数：无限不循环小数平方定义如果一个非负的方于a，即那么这个非负数x就叫做a的算术平方根，记为a，算术平方根为非负数a

的平根有个，们互相数平方根平根没有方根无理数的表示：果个的方于，即a，那么这个数就叫做的平方根，记为a的立根是正数立方根负数的立方根是负数立方根是：如一个数x的立方等于，即x就叫a立方根，记为3

，那么这个数x

无理数无理数3.实数及其相关概念

有理数和无理数统称数数或0值、相反数、倒数的义同有理数

实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则运算规律相同。第十四章

一次函数一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。二、函数概念：函数的定义：一般的，在一个变化过程中如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，y是x的函数．三、函数自变量取值范围的求：（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．五、用描法画函数的图象的一步骤1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。2、描点直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。3、连线照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来六、函数三种表示形式（1）列表法（2）图像法（3）解析式法七、正比函数与一次函数的概：一般地，形如为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.中叫做比例系数。

一般地，形如(k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.当=0时,y=kx+b即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.八、正比函数的图象与性质（1)象:正比例函数y=kx(k是常数，k≠0))的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线kx。(2)性当k>0时,线y=kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着的增大y也增大；当k<0时,线y=kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大反而减小。九、求函解析式的方法待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。1.2.3.

一次函数与一元一次方程：从“数”的度看为何值时函数y=的值为0．求ax+b=0(a是常数，≠0)的解，从形的角度看，求直线y=与x轴交点的横坐标一次函数与一元一次不等式：解不等式ax+b＞0(是常数，≠0)．从“数的角度看x为何值时函数y=的值大于0．4.解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0)．“直线y=ax+b轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．十、一次数与正比例函数的图与性质一

次

函

数概图性

念像质

如果y=kx+b（、是常数k≠0么y叫x的一次函数.当时，一次函数y=kx（k≠0）也叫正比例函数一条直线k＞0时，y随x的增大(或减小而增大(或减小)；k＜0时，y随x的增大(或减小而减小(或增大).（1）k>0，＞图像经过一、二、三象限；（2）k>0，＜图像经过一、三、四象限；直线y=kx+b（≠0）（3）k>0，＝图像经过一、三象限；的位置与k、b符号（4）k＜0，b＞图像经过一、二、四象限；之间的关系.（5）k＜0，b＜图像经过二、三、四象限；（6）k＜0，b＝图像经过二、四象限。一次函数表达式的求一次函数y=kx+b（k、b是常数，k0）时，需要由两个点来确定；求正比例函数确定（k≠0）时，只需一个点即可.5.一次函数与二元一次方程组

1111求出这个函数值11a·a＝a0解方程组解方程组

xy2x2y度看，自变量（x）何值时两个函数的值相等．并xyxy“形的角度看，确定两直线交点的坐标.22第十五章整式乘除因式分解一．回顾识点1、主要知识回顾：幂的运算性质：mnmn

（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

＝a

mn

（m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．a

n

b

n

（n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．ma

＝

a

mn

（a≠0，m、n都是正整数，且m＞）同底数幂相除，底数不变，指数相减．零指数幂的概念：a＝1

（a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．负指数幂的概念：1a

＝

a

p

（a≠0，p是正整数）任何一个不等于零的数的－p（p是正整数）指数幂，等于这个数的指数幂的倒数．也可表示为：

m

p

m

p

（m≠0，n≠，p为正整数）单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一

22222222222222222222个因式．多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．2、乘法公式：①平方差公式＋b－b＝a－b文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．②完全平方公式＋b）a＋2ab＋（a－）a－2ab＋b文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．3、因式分解：因式分解的定义．把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练握因式分解的常用方．1、提公因式法（1）掌握提公因式法的概念；（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——项含有的相同字母；③指数——同字母的最低次数；（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底果多项式的第项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：

a－b＝（a＋b－b）②完全平方公式：a＋2ab＋b＝（a＋b）a－2ab＋b＝（a－b）八年级下知识点总结第十六章

分式A1.2.

分式的定：如果A、示两个整式，并且B含有字母，那么式子分式有意、无意义的条件：

B

叫做分式。

BBBB3.4.

分式有意义的条件：分式的分母不等于；分式无意义的条件：分式的分母等于。分式值为的条件：当分式的分子等于0且分母不等0，分式的值为0A（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件A0且B0.）B（分式的值为0的条件是：分子等0分母不等于0二者缺一不可。首先求出使分子为0字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.分母的值不为0时，就是所要求的字母的值分式的基性质：式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的式，分式的值不变。AA用式子表示为（

中BC是整式注意一个不等于0整式”是分式基本性质的一个制约条件；（2应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C（4分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。5.式的通分：和分数类似利用分式的基本性质使分子和分母同乘适当的整式不改变分式的值把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。通分的关键是确定几个式子的最简公分母几个分式通分时通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：（1分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3如果分母是多项式，一般应先分解因式。6.式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。（1约分时注意分式的分子分母都是乘积形式才能进行约分分子分母是多项式时通常将分子分母分解因式，然后再约分；（2找公因式的方法：①当分子、分母都单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。易错点当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以（在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—”放在分数线前；（确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；7.式的运算分式乘法则：式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。分式除法则：分除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。caa;dc用式子表示是：提示分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；（当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变（分式的除法可以转化为分式的乘法运算；（分式的乘除混合运算统一为乘法运算。①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。分式乘方则：式乘方要把分子、分母各自乘方。a)nb

nn用式子表示是：（其中n正整数）注意乘方时，一定要把分式加上括号；（分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂为正，奇次幂为负；

（分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；（在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分。分式的加法则：法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。acac用式子表示为：±＝bbb法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。acadbcad±bc用式子表示为：±＝±＝bdbdbdbd注意把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；（异分母分式相加减通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；（运算时顺序合理、步骤清晰；（运算结果必须化成最简分式或整式。分式的混运算:分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。8.任何一个不等于零的数的零次幂等于即

a

；n为正整数时，

（

a

注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。9.整数指数幂：am1若mn为正整数，，a÷＝＝am.aan又因为a

÷m

＝a

＝a

,以a

＝

1an一般地，当n正整数时a

＝

1an

（a0aa0是an

的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体整数。整数指数幂可具有下列运算性质：是数（1同底数的幂的乘法：

a

m

n

；

（2幂的乘方：

(a

m

)

n

;（3积的乘方：

()

n

a

n

n

；（4同底数的幂的除法：

a

m

n

a

m

(a0)（5商的乘方：

)

nn

；(b≠0)规定：a1（0任何不等于0零次幂都等于1.10.分式方程：含式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：

（1解分式方程的基本思想方法是：分式方程－－－－－→整式方程.（2解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；②解这个整式方程；③检验把整式方程的解代入最简公分母使最简公分母不等于解是原方程的解使最简公分母等于解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。注意：①去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；②解分式方程必须要验根，千万不要忘了！解分式方的步骤：（1）能化简的先化简；(2)程两边同乘以最简公分母，化为整式方程(3)解式方程；验根．分式方程验方法：将整式方程的解带最简公分母，如果最简公分母的值不0则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。11.含有字母的分式方程的解法：在数学式子的字母不仅可以表示未知数也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法也去分母，解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。12.列分式方程解应用题的步骤是：(1)审：审清题意；(2):找出相等关系；(3)设：未知数；(4)：出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。

应用题有种类型；基本公式是么？基本上有五种：(1)程问题

基本公式：路程=度×时间

而行程问题中又分相遇问题、追及问题．(2)数字问题：在数问题中要掌握十进制数的表示法．(3)工问题

基本公式：工作量时×工效．(4)顺逆水问题v=v+v．v=v-v．11.科学记数法：把一个数表示an的形式（其中

1

，n整数）的记数方法叫做科学记数法．用科学记法表示绝对值大于数时，应当表示为a×10

的形式,其中1︱＜10,n为整数部分的位数减用科学记法表示绝对值小于1的数时,可表示a×10

的形式n为原1个为0的数字前面所0的个数括小数点前面的那个，1︱＜10.第十七章反比例函1.定：一般地，如果两个变量x、y间的关系表示成y＝

（k为常数，≠）形式，那么称yx的反比例函数，508m2+1其中是自变量，函数。例如y＝;y＝-;y＝(m为常数。xxx提示y

kx

也可以写作y=kx

的形式或xy=k形式（k为常数且0（反比例函数的自变量x不能为0（k=xy是反比例函数的另一种表示形式，即两变量的积是一个常数。2.像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。称中心是：原点。3.性:k＞时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；当k0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值x的增大而增大。

4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。知识点：k1一般地，如果两个变量、间的关系可表示成（K为常数，0）的形式，那么称y是x反比例函数。反比x例函数的自变量能为零。2反比例函数的图象及其画法反比例函数图象的画法——描点法：⑴列表——自变量取值应以（但x0为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应y值；⑵描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；⑶连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。反比例函y＝

kx

的图象是两支曲线组成的。当k＞0时，两支曲线分别位于第、三象限，当k＜0时，两支曲线分别位于二、四象限内。小注：⑴这两支曲线通常称为双曲线。⑵这两支曲线关于原点对称。⑶反比例函数的图象与xy轴没公共点。反比例函数

(0)k的符号图象（双曲线）x、y取值范围

k>0x的取值范围≠y的取值范围≠

k<0x的取值范围≠0y的取值范围≠0

位置

第一,象限内（1自变量x的取值范围为x≠0

第二,四象限内（1）自变量的取值范围为：≠0；性质

（2函数图象的两个分支分别在第一第三象限在每个（2函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，在每个增减性

限内，y值随x值的增大而减小。每一象限内y随x增大而减小

象限内，y值随x的增大而减小。每一象限内,y随的增大而增大渐近性对称性

反比例函数的图象无限接近于,永远达不到x,y轴画图象时,体现出这个特点反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形比例函数的图象也是轴对称图形.k提示（1）反比例函y（k0为x≠y≠0,故像不经过原点，双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分x支经过第一、第三象限（或第二、第四象限说图像的两个分支分别在第一、第三象限（或第二、第四象限）（反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般是在各自的象限内的增减情况；（反比例函数的图像无限接近坐标轴，但永远不能和坐标轴相交，也不能“翘尾巴（反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和k函数的增减性，也可以推断出的符号。如：已知双曲线在第二、第四象限，则可知k＜0.x第十八章

勾股定理1.股定理：角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别ab，斜边长c，那么2＋b=c。2.股定理逆定理如果三角形三边长满足a3.过证明被确认正确的命题叫做定理。

＋b=c么这个三角形是直角三角形。我们把题设论正好相反的两个命题叫做互逆命题果把其中一个叫做原命题么另一个叫做它的逆命题勾股定理与勾股定理逆定理）4.角三角形的性质（1直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90∠A+∠B=90°（2在直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。∠A=30°可表示如下：

BC=

AB∠C=90°

（3）直角角形斜边上的中线等于斜的一半。A∠ACB=90°可表示如下：

CD=

12

AB=BD=AD

DD为AB中点

C

B5摄影定理在直角三角形中斜上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项每条直角边是它们在斜上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90

CD

ADCD⊥AB

BD6常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC7直角三角形的定1、一个角是直角的三角形是直角三角形。2、果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长b，有关系

a

2

22

，那么这个三角形是直角三角形。8命题、定理、明⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。理解：命题的定义包括两层含义：（1命题必须是个完整的句子；（2这个句子必须对某件事情做出判断。⑵命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。⑶公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。⑷定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。⑸证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。⑹证明的一般步骤①根据题意，画出图形。②根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。9数学口诀平方差公式方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。完全平方公式:全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中

央。第十九章

四边形一、平行边形：㈠.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。㈡.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。㈢.平行四边形的面积：1.平行四边形的面积×高=ah（平行四边形的任何一条边长，必须是边长为a的与其对边的距离）2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。㈣.平行四边形的判定1.组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相的四边形是平行四边形；3.两组对角分别相的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分四边形是平行四边形；5.一组对边平行且等的四边形是平行四边形。提示平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件；（判定方法可作为“画平行四边形”的依据；（一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。㈤三角形中的中位线1三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2三角形中位线定理：三角形的中位线平行三角形的三边，且等于第三边的一半。提示三角形共有三条中位线并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系（2三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。3三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。㈥两条平行线间的距离1定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。2性质：⑴两条平行线间的距离处处相等；⑵两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。二、矩形1矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2矩形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质；⑵矩形的四个角都是直角；⑶矩形的对角线平分且相等；（AC=BD⑷矩形是轴对称图形，它有条对称轴提示：⑴“矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；⑵矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。3矩形判定方法：⑴定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。⑵方法1对角线相等的平行四边形是矩形。⑶方法2有三个角是直角的四边形是矩形。三、菱形1菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2菱形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质；⑵菱形的四条边都相等；⑶菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。⑷菱形是轴对称图。提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。3菱形的判定方法：⑴定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。⑵判断方法1对角线互相垂直的平行四边形是菱形。⑶判断方法2四条边相等的四边形是菱形。

直直角梯4菱形面积的计算：菱形面积=底×高对角线长乘积的一半S菱=1/2×（a、两条对角线）归纳：对角线互相垂直四边形的积等于对角线长乘积一半。四、正方1正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。警示：⑴正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；⑵既是矩形又是菱形的四边形是正方形；⑶正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。2正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。⑴边——四条边都相等，邻边垂直、对边平行；⑵角——四个角都是直角；⑶对角线——对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；⑷对称性——是轴对称图形，有四条对称轴。⑸特殊性质——正方形的一条