大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍-贾谊明)-第12章 气体动理论

7/7大物习题解答-大学物理习题答案(许瑞珍_贾谊明)-第12章气体动理论第十二章气体动理论

12－1一容积为10L的真空系统已被抽成1.0×10-5mmHg的真空，初态温度为20℃。为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使器壁释放出所吸附的气体，如果烘烤后压强为1.0×10-2mmHg，问器壁原来吸附了多少个气体分子?

解：由式nkTp=，有

3

2023

52/1068.1573

1038.1760/10013.1100.1mkTpn个?≈?????==--因而器壁原来吸附的气体分子数为

个183201068.110101068.1?=???==?-nVN

12－2一容器内储有氧气，其压强为1.01?105Pa，温度为27℃，求：（l）气体分子的

数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离。（设分子间等距排列）

分析：在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体。因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解。又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30dV=，由数密度的含意可知dnV,10=即可求出。

解：（l）单位体积分子数

3

25m1044.2-?==kTpn

（2）氧气的密度

3mkg30.1-?===RTpMVmρ

（3）氧气分子的平均平动动能

J1021.62321k-?==kTε

（4）氧气分子的平均距离

m

1045.3193-?==nd

12－3本题图中I、II两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线。试由图中数据求：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）两种气体所处的温度。

分析：由MRTv/2p=可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率pv也就不同。因22OHMMv>0)0)(=vf(v>v0)(1)作速率分布曲线；（2）求常数C；（3）求粒子的平均速率。解：（2）由归一化式

??===∞

1)(vCv

Cdvdvvf

得0

1vC=

（3）2

)(0

vvCdvdvvvfvv=

==?

?∞12－7根据麦克斯韦速率分布律证明：处于平均速率附近一固定小速率区间内的分子数与T成反比。

解：由m

RT

vπ8=

则速率分布函数可化为

2432

222

32

232

24)(ve

vveRTm

vfvvRT

mv?=

??

????=??

?

??ππππ

速率在△v

vv+→区间内分子数?N为ve

vN

vvNfN??=

?=?--π

π4

1

2

32)(

可见：11)(--∝∝?TvN

12－8一密封房间的体积为5×3×3m3，室温为20℃，室内空气分子热运动的平均平

动动能的总和是多少？如果气体温度升高1.0K，而体积不变,则气体的内能变化多少？气体分子方均根速率增加多少？（已知空气的密度ρ=1.29Kg/m3，摩尔质量M=29×10-3Kg/mol，且空气分子可认为是刚性双原子分子。）

解：根据

KT,23

vm212=∴NKTvmN2

3

212=

()()()J.×.=ρVMRTRT=MM=mNRTNmvmNmolmolA62103172

3

232321=()()J×.=iR△R△TMρV=iR△R△TMM△E=

molmol4101642

1

21()

()()

8560312

211212

12

212

sm.=TT

MR=vvvmol-??

???-??

???=?

12－9在容积为2.0?10-3m3的容器中，有内能为6.75?102J的刚性双原子分子理想气体。

（1）求气体的压强；（2）设分子总数为5.4?1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。解：（1）由RTiMmE2=

和RTM

m

pV=可得气体压强Pa

1035.1/25?==iVEp

（2）分子数密度n=N/V为，则该气体的温度

K

1062.3/2?===）（NkpVnkpT

气体分子的平均平动动能为

J1049.72321k-?==kTε

12－10质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gRv2=

，其中R为地球半径。

（1）若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）

说明大气层中为什么氢气比氧气要少。（取R=6.40?106m）分析：气体分子热运动的平均速率MRTvπ/8=。对于摩尔质量M不同的气体分子，为使

v等于逃逸速率

v，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M较小的就容

易达到逃逸速率。

解：（1）由题意逃逸速率grv2=，而分子热运动的平均速率MRTvπ/8=。当vv=时，有

R

Mrg

vR

M

T482ππ=

=

由于氢气的摩尔质量

1

3Hmolkg100.22--??=M，

氧气的摩尔质量

1

2Omolkg102.32--??=M

则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为

K

1089.1,K1018.15O4H22?=?=TT

（2）根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大（约为4倍），因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多。按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程。在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高。因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸。另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率。从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子。

12－11讨论气体分子的平动动能2

2

1mv=

ε的分布函数，归一化条件，及求任意函数)(εg的平均值公式。并由麦克斯韦气体分子速率分布函数导出动能分布函数，求出最可几

动能。

解：在动能空间中取一小区间εεεd+-，小区间内分子数dN占总分子数N之比为

εεdfN

dN

)(=其中)(εf为分子动能分布函数，它满足归一化条件：

1)(0

=?∞

εεdf

任意函数)(εg的平均值公式：

εεεεdfgg?∞

=0

)()()(

令

dvkT

mvvkTmdvvfdf?-?

?

?

??==)2exp(24)()(2

2

2

/3ππεε

可求出

εεεπεεdkTkTdf?-?=

)exp()1(

2

)(2/3

令

0)

(=ε

εddf可得最可几动能2

kTp=

ε12－12已知在单位时间内撞击在容器壁单位面积上的分子数为

vn4

1

。假定一边长为1米的立方箱子，在标准情况下盛有25

103×个氧分子，计算1秒钟内氧分子与箱子碰撞的次数。

解：氧分子在标准状态下算术平均速率v425032

.014.3273

31.888=???==

MRTvπ米/秒每边长为1米的立方箱的总面积

S=6?1?1=6米2则

28251091.164251034

1

41?=*???=?=

SvnN次/秒12－13在标准状态下氦气（He）的内摩擦系数η=1.89×10-5帕秒，摩尔质量M为0.004

千克，平均速率v为1.20×103

米/秒。试求：（1）在标准状态氦原子的平均自由程。（2）氦原子的半径。

解：（1）由公式λρηv3

1

=

，则

v

ρηλ3=

因为气体密度

178.010

4.221043

3=??==--vMρ千克/米3

7

3

51065.21020.1178.01089.133--?=????==∴vρηλ米（2）ρ

πηπλ2

2221dRT

d==Θ由氦原子直径

105

7231079.110013.114.31065.241.1273

1038.12?=???????==

ρλπRT

d米氦原子半径为

101089.02

-?==

d

R米12－14（1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数。（2）若温度不变，气压降到1.33×10-4帕，平均碰撞次数又为多少？（设分子有效直径为10-10米）

解：（1）在标准状态下，氮气分子的算术平均速度454028

.014.3273

31.888=???==MRTvπ米/秒由公式p=nRT得

32523

5/1069.22731038.110013.1米个××××===-RTpn由平均自由程n

d221

πλ=得

()

米×××××λ725

2

101039.81069.21014.321

--==平均碰撞次数

/1042.510

39.81055.4Z87

2

秒次×××λ===-v（2）气压降低之后的平均碰撞次数为Z'

ppZ

Z'

='∵

/71.01042.510

013.11033.1Z8

5

4秒次××××∴=='='-Zpp12－15若在标准压强下，氢气分子的平均自由程为6×10-8米，问在何种压强下，其

平均自由程为1厘米？（设两种状态的温度一样）

解：按p=nKT和212

n

dπλ

=，有

21

2

λ

dnπ=

，λ22dKT

pπ=则

λλλλ00

011==pp

即

()()0.61=1061106166

0帕大气压×××λ

λ--===pp

12－16如果理想气体的温度保持不变，当压