数学能力取决于数学思想方法

数学能力取决于数学思想方法──由分析一道中考数学试题得到的启示应用数学解决问题的能力既是“数学课程标准”中的一个重要的课程目标，也是考查学生综合素质的一个重要依据．2022年安徽省中考数学试题就有这样一个特点：不再只是考查学生积累了多少“双基”，而是考查学生运用“双基”解决具体问题的办法与能力．重视对逻辑推理能力的考查，注意适度论证，加强了计算和推理的有机结合，入口容易，方法多样，不求繁难，也没有出现“偏题”、“怪题”．可以说，与前两年相比，在保持试题难度框架形式相对稳定不变的前提下，仍趋向于通过创设新的问题情境，结合实际问题在运用的过程中考查数学能力，其根本目的是在考查学生的数学思想方法．不妨在此作些简单分析，与大家共同切磋，以利教学．

【试题分析】

2022中考数学试题继续延续了2022年的命题思路，注重基础知识、基本能力和数学思想方法的考查，没有偏题和怪题，题目难易适中，继续坚持“稳中求变，变中求新”这一特点．

首先，试卷整体布局合理，对知识的考查比较合理、全面，注重基础知识的考查．整张试卷共23道题．其中选择题共10道题，每题4分；填空题4道题，每题5分；最后三道题分值分别为12分、12分、14分．代数部分约占48%，几何部分约占52%．其中代数部分对基础知识和基本能力的考查，如简单的实数大小比较（第1题）、科学记数法（第2题）、分式化简（第15题）、一元二次方程的解法（第8题）、一元一次方程的应用（第16题）、新定义运算（第2、14题）；函数部分考查了一次函数与反比例函数的图像和性质（第21题）、二次函数的增减性（第23题的3问）及统计与概率（第5、20题）．几何部分考查了三角形、四边形、圆及图形的变换。其中三角形知识点考查面广，如三角形的性质（第6题）、全等三角形的性质与判定（第23题）、相似三角形的性质与判定（第9、10、22题）、等腰三角形的性质（第22题）、直角三角形的性质及解直角三角形（第13、19题）；四边形知识点的考查较综合（第5、6、9题），圆的知识考查了垂径定理（第13题）、圆周角定理及弧长公式（第7题）；图形变换考查了旋转、平移、位似（第17、22题）．

其次，试题延续2022年的平稳趋势，严格按照考纲出题，试题难易适中，没有出现“怪、偏、繁”题，试卷难题分布合适．如第21题、22题和23题考查了几何推理能力和数学综合分析能力，对学生数学思维能力的考查很全面。第21题是把一次函数与反比例相结合，使二次函数融合在几何题中，既淡化了这类考题的分量，同时又能考查考生的综合能力，命题思路较好．第22题是几何图形的旋转问题，在旋转中找角的度数，线段之间的关系，题目没有突破常规，但是延续了学生在解数学题中的思维难点，让学生“够一够能抓到”，是一道训练思考能力和思想方法的好几何题。第23题，是在一个基本几何图形框架下考查全等三角形及二次函数的问题，是一道代数与几何相结合的好题．

此外，试卷新增了规律探索题、淡化了概率的运用、二次函数和一次函数的应用等中考热点问题．规律探索题是安徽省中考命题的一大特色，在前几年中考中有着很重的分量，但是2022、2022年的考题基本上是把规律探索题放在选择和填空中，而2022年的考题则加大了规律探索题的分量，且出现在大题中，很明显，这是着重对数学能力的考查．

纵观以上试题结构，不难发现，试题仍以考查学生的基本知识与基本能力为主，但考查知识点偏重于几何部分，以凸显学生的逻辑思维能力，其中第9、10、22题的第（3）问有一定的区分度．最明显的是，2022年安徽省中考数学的阅读理解题能较好地考查学生的阅读理解能力与日常生活体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模能力、决策判断能力，是一大亮点．如第12、14、18、20题，试题背景考生较熟悉，很容易入手，问题设置有创新、有变化也是2022年命题的一大特点．

【考题再现】：

例1（2022安徽省中考数学第9题）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝，CD＝，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（

）

A．1

B．2

C．3

D．4

解析：选B。分别过A、C两点作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由勾股定理得，从△ABD的面积计算可得AB·ADAE·BD，，点P到BD的距离为，因此，在边AD、AB上可以分别找到一个点P；而,即，亦即，所以，在边BC、CD上均找不到点P；综上符合条件的点P的个数只有两个，分别在边AD、AB上各一个．

点评：此题设题较为简明，思考方法灵活，体现了由一般到特殊的命题特色，能较好地引导学生掌握从一般到特殊的思想方法．

例2（2022安徽省中考数学第10题）如图2，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．

设，，，△AMN的面积为，则关于的函数图象大致形状是（

）

解析：选C。点P在AC的左半边移动时，即时，，则，即；当点P在AC的右半边移动时，即时，，则，即，综上，选C．

点评：此题图形较为美观，包含了很多几何、代数知识，能真正考查学生的数形结合思想方法及计算能力．但笔者在中考阅卷中也发现这样的问题：当点P在AC的左半边移动时，即时，多数考生都可以得到函数的解析式；当点P在AC的右半边移动时，即时，不少考生产生困难，难以得到函数解析式，从而难以在B、C两个选项中抉择，这反映出有些考生计算能力差的弱点，数形结合思想体会也不够深．

例3（2022安徽省中考数学第18题）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图3所示．

(1)填写下列各点的坐标：A4(

，

)、A8(

，

)、A12(

，

)；

(2)写出点A4n的坐标(n是正整数)；

(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．

解析：（1）A4(

2

，

0

)、A8(

4

，

0

)、A12(

6

，

0

)；

（2）A4n=(

2n

，

0

)．

易得规律为：每4步，则向右行进两个单位长度，因此横坐标为2n，且第四步都回到轴，因此纵坐标为0．

（3）向上．因为100是4的倍数，因此A100到点A101的移动方向与点A4到点的移动方向相同．

点评：本题主要考查考生观察、归纳等数学推理能力．但若发现不了第（2）小题的规律或得出错误的规律后，则影响第（3）小题的解答．自新课程改革实施以来，几乎每年都会出现数学归纳推理考查题，不可否认，学生在这方面的能力已经增强，但还应继续重视．

例4（2022安徽省中考数学第20题）一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上（包括6分）为合格，成绩达到9分为优秀.这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下：

（1）请补充完成下面的成绩统计分析表：

平均分方差中位数合格率优秀率甲组

%%乙组

%%（2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组.但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出三条支持乙组学生观点的理由．

解析：（1）

平均分方差中位数合格率优秀率甲组

7%%乙组

7

7%%（2）①乙组的平均分比甲组高；

②乙组的方差比甲组小；

③乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多．

点评：本题属于基础考查题，但在阅卷中发现考生出现的典型错误是：乙组学生成绩7分以上的人数比甲组多．本题由完成成绩统计分析表出发，到探究分析乙组学生不同意甲组学生说法的原因，进而给出三条支持乙组学生观点的理由，由浅入深，无形之中，既照顾到不同层次的学生，又含有乐趣。这是科学研究、科学探究的重要方法．这种研究、思维模式对学生是十分有益的．学生自我探究后，既有成就感，增强自信心，又可有效地改善、提升思维水平．

例5（2022安徽省中考数学第21题）如图，函数的图象与函数的图象交于A、B两点，与轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）．

（1）求函数的表达式和B点坐标；

（2）观察图象，比较当时，与的大小．

解析：（1）由直线过A、C两点得：

解得，∴

将A点坐标代入，∴

设B点坐标为（m，n），

∵B是函数与图象的交点，

∴，由题知，此时

∴B的点坐标为（1，2）．

（2）由图知：

①当时，；

②当时，；

③当时，．

点评：本题属于基础考查题，难度适中，重视基础知识和基本技能的应用．试题立足于学生发展，体现出人文关怀，既考查了基础知识、基本技能和基本数学思想方法的掌握情况，又考查了学生的基本运算能力、思维能力、创新能力、实践能力，是一道极富思维含量的好题．此题命题意图明确，充分体现出数学学科的应用价值，这对引导学生认清数学知识的本质以及引领初中数学教与学方面都有着较好的导向作用．

例6（2022安徽省中考数学第22题）在△ABC中，∠ACB，∠ABC，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为()，得到△A1B1C．

(1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形；

(2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S21∶3；

(3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，，连接EP．当

°时，EP的长度最大，最大值为

．

解析：（1）因为∠ACB，∠ABC，所以∠BAC，所以∠A1，∠B1；因为AB∥CB1，所以∠BCB1∠ABC，所以∠A1CB∠A1CB—∠BCB1，∠A1DC∠DCB1∠CB1D，所以∠A1∠A1CB∠A1DC，所以△A1CD是等边三角形．

（２）易证得∽,且相似比为，得证．

（３）；．连接CP，易知，∠A1CP．当点E，C，P不在同一直线上时，则EC，CP，EP能构成三角形，在△ECP中，总有EP＜ECCP，因此，当点E，C，P在同一条直线上时，即EPECCP时，EP最大，且等于．此时，．

点评：第（1）小题的难度不大，不再赘述；第（2）小题的关键有两处：一是证明等腰△ACA′∽等腰△BCB′，二是发现相似比等于tan，难度不是很大；最大的问题是在第（3）小题，不少考生找不到等于多少度时，EP长度最大，这反映出两个问题：一是空间想象能力差，二是平时动手能力差．不少考生根本就想不到去剪下两个直角三角形转一转，只要转一转，就会发现随着旋转角的不断增大，EP的长度不断增大．当旋转角达到时，EP的长度最大，若再旋转下去，EP的长度将减小．由此可见动手操作能力的重要性．

例7（2022安徽省中考数学第23题）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)．

（1）求证：h1h3；

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：；

（3）若h1h21，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况．

解析：（1）过A点作AF⊥分别交、于点E、F，过C点作CH⊥分别交、于点H、G，证△ABE≌△CDG即可．

（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h1、h1h2，四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以：

．

(3)由题意，得，所以：

又

解得0＜h1＜

∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；

当时，S取得最小值；

当＜h1＜时，S随h1的增大而增大．

点评：本题作为压轴题，其难度在第（2）小题和第（3）小题，看似代数式的变化，其实倚重于几何图形，数形结合相当完美．第（2）小题其实就是用、的代数式来表示正方形的边长，但这种表示一定要通过图形来实现，而不是通过代数式的变形来完成；第（3）题其实就是二次函数的解析式与增减性问题，只不过是借助几何图形这个载体来呈现的。因思维方式多样，不仅仅局限于由已知探求未知，还促使考生采取由未知到已知的逆向思维方法，既关注了不同数学水平学生的解题需要，又突出了题目应有的选拔作用。因此说该试题的命题技术含量较高，能照顾到考生不同的思维方式和习惯．

【感悟反思】

“数学课程标准”指出：“初中数学的基础知识，主要是概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想方法”．掌握数学思想方法，是培养学生创新意识提升数学素质的必要条件．数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程的思想、函数的思想等．教学中，突出这些基本的思想方法，就相当于抓住了数学知识的精髓。因此作为教师，平时一定要遵循数学教学理念，有意识地在教学中创设发现问题的情境，这是发展学生思维能力的关键一环，也是培养学生创新能力的好途径，同时又可有效地克服学生的思维定势．

但由于初中学生认知能力和初中数学教学内容的限制，而对有些数学思想方法就不宜要求过高，只能将部分重要的数学思想方法落实到数学教学过程中．

此外，数学教学是数学思维过程的教学，学生学习数学的过程是头脑中构建数学认知结构的过程．而基本知识、基本技能是培养和提高学生数学素养、发展实践能力和创新精神的基础，是学生进一步学习和发展的必备条件．

因此我们教师应改变学生单纯接受的学习方式，使学生会采用探究学习、合作学习、体验学习等多样化的学习方式，逐步学会“提出问题──实验探究──开展讨论──形成新知──应用反思”的学习方法．这样不仅能使学生学习的自主性、探究性、合作性得到加强，而且又能使学生体验到学习的乐趣．具体有以下几点建议：

1.继续加强数学思想方法的教学．从2022年安徽省的数学中考试题来看，对数学思想方法的考查力度相当大，对题海战术的冲击也是相当大的．要培养学生数学思维能力，只讲解题方法，只讲题型训练是不够的，要想以不变应万变，提高学生数学思维能力，就必须注意数学思想方法的教学，在培养学生数学思维能力上下功夫．

2.继续落实过程性教学．过程性教学包含两个方面：一是课堂教学中不能满足于学生对所学知识结论的理解与记忆，要十分重视教学过程，一定要让学生经历知识产生的过程，这就要求老师积极引导学生主动参与活动过程，在参与的过程中理解、掌握知识，逐步理解数学思想方法，并用于