挑战中考数学压轴题教师版(2023版)

挑战中考数学压轴题教师版)(2023版)目录第一局部函数图象中点的存在性问题21.1因动点产生的相似三角形问题21.2因动点产生的等腰三角形问题111.3因动点产生的直角三角形问题191.4因动点产生的平行四边形问题311.5因动点产生的面积问题411.6因动点产生的线段和差问题51第二局部函数图象中点的存在性问题562.1由比例线段产生的函数关系问题562.2由面积产生的函数关系问题58第三局部图形运动中的计算说理问题673.1代数计算及通过代数计算进行说理问题673.2几何证明及通过几何计算进行说理问题71第四局部图形的平移翻折与旋转75第一局部函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例12023年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线〔k≠0〕与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．〔1〕求k与m的值；〔2〕此双曲线又经过点B(n,2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；〔3〕在〔2〕的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1总分值解答〔1〕将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2,4)．将点A(2,4)代入，得k＝8．〔2〕将点B(n,2)，代入，得n＝4．所以点B的坐标为(4,2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4,2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2,4)、B(4,2)、C(0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°．图2所以S△ABC＝＝＝8．〔3〕由A(2,4)、D(0,2)、C(0,－2)，得AD＝，AC＝．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当时，CE＝AD＝．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当时，．解得CE＝．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10,8)．图3图4考点伸展第〔2〕题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图5例22023年武汉市中考第24题如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒〔0＜t＜2〕，连接PQ．〔1〕假设△BPQ与△ABC相似，求t的值；〔2〕如图2，连接AQ、CP，假设AQ⊥CP，求t的值；〔3〕试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．图1图2总分值解答〔1〕Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：①如果，那么．解得t＝1．②如果，那么．解得．图3图4〔2〕作PD⊥BC，垂足为D．在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．所以，即．解得．图5图6〔3〕如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．又因为BD＝CQ＝4t，所以BF＝CF．因此F是BC的中点，E是AB的中点．所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上．考点伸展此题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．如图9，当⊙H与AC相切时，直径，半径等于FC＝4．所以．解得，或t＝0〔如图10，但是与0＜t＜2矛盾〕．图7图8图9图10例32023年苏州市中考第29题如图1，抛物线〔b是实数且b＞2〕与x轴的正半轴分别交于点A、B〔点A位于点B是左侧〕，与y轴的正半轴交于点C．〔1〕点B的坐标为______，点C的坐标为__________〔用含b的代数式表示〕；〔2〕请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；〔3〕请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似〔全等可看作相似的特殊情况〕？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕B的坐标为(b,0)，点C的坐标为(0,)．〔2〕如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．因此PD＝PE．设点P的坐标为(x,x)．如图3，联结OP．所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．解得．所以点P的坐标为()．图2图3〔3〕由，得A(1,0)，OA＝1．①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA．当，即时，△BQA∽△QOA．所以．解得．所以符合题意的点Q为()．②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°．所以C、Q、B三点共线．因此，即．解得．此时Q(1,4)．图4图5考点伸展第〔3〕题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置．如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾．例42023年黄冈市中考模拟第25题如图1，抛物线的方程C1：(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．〔1〕假设抛物线C1过点M(2,2)，求实数m的值；〔2〕在〔1〕的条件下，求△BCE的面积；〔3〕在〔1〕的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；〔4〕在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？假设存在，求m的值；假设不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕将M(2,2)代入，得．解得m＝4．〔2〕当m＝4时，．所以C(4,0)，E(0,2)．所以S△BCE＝．〔3〕如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小．设对称轴与x轴的交点为P，那么．因此．解得．所以点H的坐标为．〔4〕①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．由于∠BCE＝∠FBC，所以当，即时，△BCE∽△FBC．设点F的坐标为，由，得．解得x＝m＋2．所以F′(m＋2,0)．由，得．所以．由，得．整理，得0＝16．此方程无解．图2图3图4②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′，由于∠EBC＝∠CBF，所以，即时，△BCE∽△BFC．在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得．解得x＝2m．所以F′．所以BF′＝2m＋2，．由，得．解得．综合①、②，符合题意的m为．考点伸展第〔4〕题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．例52023年义乌市中考第24题如图1，梯形OABC，抛物线分别过点O〔0，0〕、A〔2，0〕、B〔6，3〕．〔1〕直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；〔2〕将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S〔3〕在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由．图1图2总分值解答〔1〕抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为M〔1，〕．〔2〕梯形O1A1B1C1的面积，由此得到．由于，所以．整理，得．因此得到．当S=36时，解得此时点A1的坐标为〔6，3〕．〔3〕设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．由于，，所以．解得．图3图4考点伸展第〔3〕题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假设存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例62023年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B〔1，0)、C〔0，－2〕三点．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？假设存在，请求出符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1总分值解答〔1〕因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B〔1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标〔0，－2〕，解得．所以抛物线的解析式为．〔2〕设点P的坐标为．①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．如果，那么．解得不合题意．如果，那么．解得．此时点P的坐标为〔2，1〕．②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得不合题意．③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．解方程，得．此时点P的坐标为．解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为〔2，1〕或或．图2图3图4〔3〕如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．因此．当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为〔2，1〕．图5图6考点伸展第〔3〕题也可以这样解：如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．设点D的横坐标为〔m，n〕，那么．由于，所以．1.2因动点产生的等腰三角形问题例12023年重庆市中考第25题如图1，在△ABC中，ACB＝90°，∠BAC＝60°，点E是∠BAC的平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点，DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．〔1〕如图1，假设点H是AC的中点，AC＝，求AB、BD的长；〔2〕如图1，求证：HF＝EF．〔3〕如图2，连接CF、CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？假设是，请证明；假设不是，请说明理由．图1图2总分值解答〔1〕如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝，所以AB＝．在Rt△ADH中，∠DAH＝30°，AH＝，所以DH＝1，AD＝2．在Rt△ADB中，AD＝2，AB＝，由勾股定理，得BD＝．〔2〕如图4，由∠DAB＝90°，∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，得∠DAE＝60°，∠DAH＝30°．在Rt△ADE中，AE＝．在Rt△ADH中，DH＝．所以AE＝DH．因为点F是Rt△ABD的斜边上的中线，所以FA＝FD，∠FAD＝∠FDA．所以∠FAE＝∠FDH．所以△FAE≌△FDH．所以EF＝HF．图3图4图5〔3〕如图5，作FM⊥AB于M，联结CM．由FM//DA，F是DB的中点，得M是AB的中点．因此FM＝，△ACM是等边三角形．又因为AE＝，所以FM＝EA．又因为CM＝CA，∠CMF＝∠CAE＝30°，所以△CMF≌△CAE．所以∠MCF＝∠ACE，CF＝CE．所以∠ECF＝∠ACM＝60°．所以△CEF是等边三角形．考点伸展我们再看几个特殊位置时的效果图，看看有没有熟悉的感觉．如图6，如图7，当点F落在BC边上时，点H与点C重合．图6图7如图8，图9，点E落在BC边上．如图10，图11，等腰梯形ABEC．图8图9图10图11例22023年长沙市中考第26题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c〔a、b、c是常数，a≠0〕的对称轴为y轴，且经过(0,0)和两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0,2)．〔1〕求a、b、c的值；〔2〕求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；〔3〕设⊙P与x轴相交于M(x1,0)、N(x2,0)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．图1总分值解答〔1〕抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝ax2．所以b＝0，c＝0．将代入y＝ax2，得．解得〔舍去了负值〕．〔2〕抛物线的解析式为，设点P的坐标为．A(0,2)，所以＞．而圆心P到x轴的距离为，所以半径PA＞圆心P到x轴的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交．〔3〕如图2，设MN的中点为H，那么PH垂直平分MN．在Rt△PMH中，，，所以MH2＝4．所以MH＝2．因此MN＝4，为定值．等腰△AMN存在三种情况：①如图3，当AM＝AN时，点P为原点O重合，此时点P的纵坐标为0．图2图3②如图4，当MA＝MN时，在Rt△AOM中，OA＝2，AM＝4，所以OM＝2．此时x＝OH＝2．所以点P的纵坐标为．③如图5，当NA＝NM时，点P的纵坐标为也为．图4图5考点伸展如果点P在抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0,1)，那么在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．这是因为：设点P的坐标为．B(0,1)，所以．而圆心P到直线y＝－1的距离也为，所以半径PB＝圆心P到直线y＝－1的距离．所以在点P运动的过程中，⊙P始终与直线y＝－1相切．例32023年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．〔1〕求ED、EC的长；〔2〕假设BP＝2，求CQ的长；〔3〕记线段PQ与线段DE的交点为F，假设△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图总分值解答〔1〕在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．〔2〕如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．图2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时．所以．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时．所以．〔3〕如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1〔如图3所示〕．此时．所以．②如图6，当QC＝QD时，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝〔如图2所示〕．此时．所以．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ〔如图5，图6所示〕．图5图6考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解．例42023年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．〔1〕求抛物线的函数关系式；〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；〔3〕在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，假设存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．〔2〕如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．图2〔3〕点M的坐标为(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．考点伸展第〔3〕题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1,1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得．此时点M的坐标为(1,)或(1,)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1,6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3图4图5例52023年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．〔1〕求点B的坐标；〔2〕求经过A、O、B的抛物线的解析式；〔3〕在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．〔2〕因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B，．解得．所以抛物线的解析式为．〔3〕抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．当P在时，B、O、P三点共线〔如图2〕．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．图2图3考点伸展如图3，在此题中，设抛物线的顶点为D，那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形．由，得抛物线的顶点为．因此．所以∠DOA＝30°，∠ODA＝120°．例62023年盐城市中考第28题如图1，一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．求点A和点B的坐标〔2〕过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕解方程组得所以点A的坐标是(3，4)．令，得．所以点B的坐标是(7，0)．〔2〕①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6〔舍去〕．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，为定值，，．如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程，得．如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．图5图6图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用来求解．1.3因动点产生的直角三角形问题例12023年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点〔不与点C重合〕，联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．〔1〕当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；〔2〕设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；〔3〕当AC＝5时，联结EG，假设△AEG为直角三角形，求BG的长．图1总分值解答〔1〕如图2，由CE//AB，得．由于△CEF与△CAF是同高三角形，所以S△CEF∶S△CAF＝3∶13．〔2〕如图3，延长AG交射线CD于M．图2由CM//AB，得．所以CM＝2AB＝26．由CM//AB，得∠EMA＝∠BAM．又因为AM平分∠BAE，所以∠BAM＝∠EAM．所以∠EMA＝∠EAM．所以y＝EA＝EM＝26－x．图3图4〔3〕在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得．由CE//AB，得．所以．又因为∠AFG＝∠BFA，所以△AFG∽△BFA．所以∠FAG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝．在Rt△GBH中，由cos∠B＝，得BG＝÷＝．图5图6考点伸展第〔3〕题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt△AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝PA＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7图8例22023年苏州市中考第29题如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)〔其中a、m是常数，且a＞0，m＞0〕的图像与x轴分别交于A、B〔点A位于点B的左侧〕，与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠〔1〕用含m的式子表示a；〔2〕求证：为定值；〔3〕设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕将C(0,－3)代入y＝a(x2－2mx－3m2)，得－3＝－3am2．因此〔2〕由y＝a(x2－2mx－3m2)＝a(x＋m)(x－3m)＝a(x－m)2－4axm2＝a(x－m)得A(－m,0)，B(3m,0)，F(m,－4)，对称轴为直线x＝m所以点D的坐标为(2m设点E的坐标为(x,a(x＋m)(x－3m))如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D′、E′．由于∠EAE′＝∠DAD′，所以．因此．所以am(x－3m)＝1．结合，于是得到x＝4m当x＝4m时，y＝a(x＋m)(x－3m)＝5am2＝5．所以点E的坐标为(所以．图2图3〔3〕如图3，由E(4m,5)、D(2m,－3)、F(可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3．那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G．证明如下：作FF′⊥x轴于F′，那么．因此．所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形．此时GF′＝4m．所以GO＝3m，点G的坐标为(－考点伸展第〔3〕题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边．此时．因此．所以．此时．例32023年山西省中考第26题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点〔点B在点A的右侧〕，与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m,0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．〔1〕求点A、B、C的坐标；〔2〕当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；〔3〕当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，假设存在，请直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕由，得A(－2,0)，B(8,0)，C(0,－4)．〔2〕直线DB的解析式为．由点P的坐标为(m,0)，可得，．所以MQ＝．当MQ＝DC＝8时，四边形CQMD是平行四边形．解方程，得m＝4，或m＝0〔舍去〕．此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,－2)，Q(4,－6)．所以MN＝NQ＝4．所以BC与MQ互相平分．所以四边形CQBM是平行四边形．图2图3〔3〕存在两个符合题意的点Q，分别是(－2,0)，(6,－4)．考点伸展第〔3〕题可以这样解：设点Q的坐标为．①如图3，当∠DBQ＝90°时，．所以．解得x＝6．此时Q(6,－4)．②如图4，当∠BDQ＝90°时，．所以．解得x＝－2．此时Q(－2,0)．图3图4例42023年广州市中考第24题如图1，抛物线与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点C．〔1〕求点A、B的坐标；〔2〕设D为抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；〔3〕假设直线l过点E(4,0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．图1总分值解答〔1〕由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(－4,0)、B(2,0)．对称轴是直线x＝－1．〔2〕△ACD与△ACB有公共的底边AC，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等．过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D′．设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H．由BD//AC，得∠DBG＝∠CAO．所以．所以，点D的坐标为．因为AC//BD，AG＝BG，所以HG＝DG．而D′H＝DH，所以D′G＝3DG．所以D′的坐标为．图2图3〔3〕过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M．以AB为直径的⊙G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了．联结GM，那么GM⊥l．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△EM1A中，AE＝8，，所以M1A所以点M1的坐标为(－4,6)，过M1、E的直线l为．根据对称性，直线l还可以是．考点伸展第〔3〕题中的直线l恰好经过点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式．在Rt△EGM中，GM＝3，GE＝5，所以EM＝4．在Rt△ECO中，CO＝3，EO＝4，所以CE＝5．因此三角形△EGM≌△ECO，∠GEM＝∠CEO．所以直线CM过点C．例52023年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．〔1〕当k＝－2时，求反比例函数的解析式；〔2〕要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；〔3〕设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．总分值解答〔1〕因为反比例函数的图象过点A(1,k)，所以反比例函数的解析式是．当k＝－2时，反比例函数的解析式是．〔2〕在反比例函数中，如果y随x增大而增大，那么k＜0．当k＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大．抛物线y＝k(x2＋x＋1)＝的对称轴是直线．图1所以当k＜0且时，反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大．〔3〕抛物线的顶点Q的坐标是，A、B关于原点O中心对称，当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为直径的直角三角形．由OQ2＝OA2，得．解得〔如图2〕，〔如图3〕．图2图3考点伸展如图4，经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线〔k＞0〕交于A、B和C、D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形．问平行四边形ABCD能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A、C关于直线y＝x对称时，AB与CD互相平分且相等，四边形ABCD是矩形．因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA与OC无法垂直，因此四边形ABCD不能成为正方形．图4图5例62023年浙江省中考第23题设直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2，假设l1⊥l2，垂足为H，那么称直线l1与l2是点H的直角线．〔1〕直线①；②；③；④和点C(0，2)，那么直线_______和_______是点C的直角线〔填序号即可〕；〔2〕如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，假设l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式．图1答案〔1〕直线①和③是点C的直角线．〔2〕当∠APB＝90°时，△BCP∽△POA．那么，即．解得OP＝6或OP＝1．如图2，当OP＝6时，l1：，l2：y＝－2x＋6．如图3，当OP＝1时，l1：y＝3x＋1，l2：．图2图3例72023年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A，点B(2,n)在这条抛物线上．〔1〕求点B的坐标；〔2〕点P在线段OA上，从点O出发向点A运动，过点P作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD〔当点P运动时，点C、D也随之运动〕．①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；②假设点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位〔当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动〕．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN〔当点Q运动时，点M、N也随之运动〕．假设点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．图1总分值解答(1)因为抛物线经过原点，所以．解得，〔舍去〕．因此．所以点B的坐标为〔2，4〕．(2)①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为(3t,2t)．当点C落在抛物线上时，．解得．②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．图1图2图3例82023年嘉兴市中考第24题如图1，A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．〔1〕求x的取值范围；〔2〕假设△ABC为直角三角形，求x的值；〔3〕探究：△ABC的最大面积？图1总分值解答〔1〕在△ABC中，，，，所以解得．〔2〕①假设AC为斜边，那么，即，此方程无实根．②假设AB为斜边，那么，解得，满足．③假设BC为斜边，那么，解得，满足．因此当或时，△ABC是直角三角形．〔3〕在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，那么．①如图2，假设点D在线段AB上，那么．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得所以〔〕．当时〔满足〕，取最大值，从而S取最大值．图2图3②如图3，假设点D在线段MA上，那么．同理可得，〔〕．易知此时．综合①②得，△ABC的最大面积为．考点伸展第〔3〕题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以防止烦琐的运算：设，例如在图2中，由列方程．整理，得．所以．因此．1.4因动点产生的平行四边形问题例12023年成都市中考第28题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a〔a＜0〕与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．〔1〕直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式〔其中k、b用含a的式子表示〕；〔2〕点E是直线l上方的抛物线上的动点，假设△ACE的面积的最大值为EQ\F(5,4)，求a的值；〔3〕设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？假设能，求出点P的坐标；假设不能，请说明理由．图1备用图总分值解答〔1〕由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1,0)．由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4,5a)．由A(－1,0)、D(4,5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a．〔2〕如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．设E(x,ax2－2ax－3a)，F(x,ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝＝＝＝，得△ACE的面积的最大值为．解方程，得．〔3〕A(－1,0)、D(4,5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论：①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD．由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4,21a)．由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1,26a)．由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2．整理，得7a2＝1．所以．此时P．②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等．由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)．由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1,8a)．由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2．整理，得4a2＝1．所以．此时P．图1图2图3考点伸展第〔3〕题也可以这样解．设P(1,n)．①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以，即．解得．所以P．所以Q．将Q代入y＝a(x＋1)(x－3)，得．所以．②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)．由∠AQD＝90°，得，即．解得．例22023年陕西省中考第24题如图1，抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0,3)两点．将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？图1总分值解答〔1〕将A(－3,0)、B(0,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得b＝－2，c＝3．所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．〔2〕由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．〔3〕抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4．那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′〔如图2〕；抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′〔如图2〕；抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′〔如图3〕；抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′〔如图3〕．图2图3考点伸展此题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m,4)，可得点D的横坐标为．将代入y＝－(x＋1)2＋4，得．所以DH＝．所以S＝．图4例32023年上海市松江区中考模拟第24题如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0,1)、B(4,3)两点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求tan∠ABO的值；〔3〕过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，假设四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．图1总分值解答〔1〕将A(0,1)、B(4,3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得解得，c＝1．所以抛物线的解析式是．〔2〕在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．在Rt△AOH中，OA＝1，，所以．图2所以，．在Rt△ABH中，．〔3〕直线AB的解析式为．设点M的坐标为，点N的坐标为，那么．当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3．解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3．因为x＝3在对称轴的右侧〔如图4〕，所以符合题意的点M的坐标为〔如图3〕．图3图4考点伸展第〔3〕题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM．由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得〔如图5〕．所以符合题意的点M有4个：，，，．图5例42023年福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒〔t≥0〕．〔1〕直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；〔2〕是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？假设存在，求出t的值；假设不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度〔匀速运动〕，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；〔3〕如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1图2总分值解答〔1〕QB＝8－2t，PD＝．〔2〕如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图3在Rt△APE中，，所以．当PQ//AB时，，即．解得．所以点Q的运动速度为．〔3〕以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为〔，t〕．体会证，点M〔，t〕在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝．图4图5图6考点伸展第〔3〕题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．例52023年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．〔1〕直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；〔2〕过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？〔3〕在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内〔包括边界〕存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1总分值解答〔1〕A(1,4)．因为抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，代入点C(3,0)，可得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3．〔2〕因为PE//BC，所以．因此．所以点E的横坐标为．将代入抛物线的解析式，y＝－(x－1)2＋4＝．所以点G的纵坐标为．于是得到．因此．所以当t＝1时，△ACG面积的最大值为1．〔3〕或．考点伸展第〔3〕题的解题思路是这样的：因为FE//QC，FE＝QC，所以四边形FECQ是平行四边形．再构造点F关于PE轴对称的点H′，那么四边形EH′CQ也是平行四边形．再根据FQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形FECQ是否为菱形，根据EQ＝CQ列关于t的方程，检验四边形EH′CQ是否为菱形．，，，．如图2，当FQ＝CQ时，FQ2＝CQ2，因此．整理，得．解得，〔舍去〕．如图3，当EQ＝CQ时，EQ2＝CQ2，因此．整理，得．．所以，〔舍去〕．图2图3例62023年上海市中考第24题平面直角坐标系xOy〔如图1〕，一次函数的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数的图象上，且MO＝MA．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A、M．〔1〕求线段AM的长；〔2〕求这个二次函数的解析式；〔3〕如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．图1总分值解答〔1〕当x＝0时，，所以点A的坐标为(0，3)，OA＝3．如图2，因为MO＝MA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为．将代入，得x＝1．所以点M的坐标为．因此．〔2〕因为抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(0，3)、M，所以解得，．所以二次函数的解析式为．〔3〕如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AE⊥CD，垂足为E．在Rt△ADE中，设AE＝4m，DE＝3m，那么AD＝因此点C的坐标可以表示为(4m，3－2m)．将点C(4m，3－2m)代入，得．解得或者m因此点C的坐标为〔2，2〕．图2图3考点伸展如果第〔3〕题中，把“四边形ABCD是菱形〞改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形〞，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为．图4例72023年江西省中考第24题将抛物线c1：沿x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．〔1〕请直接写出抛物线c2的表达式；〔2〕现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？假设存在，请求出此时m的值；假设不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕抛物线c2的表达式为．〔2〕抛物线c1：与x轴的两个交点为(－1，0)、(1，0)，顶点为．抛物线c2：与x轴的两个交点也为(－1，0)、(1，0)，顶点为．抛物线c1向左平移m个单位长度后，顶点M的坐标为，与x轴的两个交点为、，AB＝2．抛物线c2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为，与x轴的两个交点为、．所以AE＝(1＋m)－(－1－m)＝2(1＋m)．①B、D是线段AE的三等分点，存在两种情况：情形一，如图2，B在D的左侧，此时，AE＝6．所以2(1＋m)＝6．解得m＝2．情形二，如图3，B在D的右侧，此时，AE＝3．所以2(1＋m)＝3．解得．图2图3图4②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，那么AE＝MN＝2OM．而OM2＝m2＋3，所以4(1＋m)2＝4(m2＋3)．解得m＝1〔如图4〕．考点伸展第〔2〕题②，探求矩形ANEM，也可以用几何说理的方法：在等腰三角形ABM中，因为AB＝2，AB边上的高为，所以△ABM是等边三角形．同理△DEN是等边三角形．当四边形ANEM是矩形时，B、D两点重合．因为起始位置时BD＝2，所以平移的距离m＝1．1.5因动点产生的面积问题例12023年河南省中考第23题如图1，边长为8的正方形ABCD的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上A、C两点间的一个动点〔含端点〕，过点P作PF⊥BC于点F．点D、E的坐标分别为(0,6)、(－4,0)，联结PD、PE、DE．〔1〕直接写出抛物线的解析式；〔2〕小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；〔3〕小明进一步探究得出结论：假设将“使△PDE的面积为整数〞的点P记作“好点〞，那么存在多个“好点〞，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点〞．请直接写出所有“好点〞的个数，并求出△PDE周长最小时“好点〞的坐标．图1备用图总分值解答〔1〕抛物线的解析式为．〔2〕小明的判断正确，对于任意一点P，PD－PF＝2．说理如下：设点P的坐标为，那么PF＝yF－yP＝．而FD2＝，所以FD＝．因此PD－PF＝2为定值．〔3〕“好点〞共有11个．在△PDE中，DE为定值，因此周长的最小值取决于FD＋PE的最小值．而PD＋PE＝(PF＋2)＋PE＝(PF＋PE)＋2，因此当P、E、F三点共线时，△PDE的周长最小〔如图2〕．此时EF⊥x轴，点P的横坐标为－4．所以△PDE周长最小时，“好点〞P的坐标为(－4,6)．图2图3考点伸展第〔3〕题的11个“好点〞是这样求的：如图3，联结OP，那么S△PDE＝S△POD＋S△POE－S△DOE．因为S△POD＝，S△POE＝，S△DOE＝12，所以S△PDE＝＝＝．因此S是x的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－6．如图4，当－8≤x≤0时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10．当S＝12时，方程的两个解－8,－4都在－8≤x≤0范围内．所以“使△PDE的面积为整数〞的“好点〞P共有11个．图4例22023年昆明市中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3〔a≠0〕与x轴交于A(－2,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒时△PBQ的面积最大，最大面积是多少？〔3〕当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求点K的坐标．图1总分值解答〔1〕因为抛物线与x轴交于A(－2,0)、B(4,0)两点，所以y＝a(x＋2)(x－4)．所以－8a＝－3．解得．所以抛物线的解析式为．〔2〕如图2，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H．在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5，sinB＝．在Rt△BQH中，BQ＝t，所以QH＝BQsinB＝t．所以S△PBQ＝．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是。〔3〕当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，P(1,0)，BQ＝1。如图3，因为△PBC与△PBQ是同高三角形，S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1。当S△CBK∶S△PBQ＝5∶2时，S△PBC∶S△CBK＝2∶1。因为△PBC与△CBK是同底三角形，所以对应高的比为2∶1。如图4，过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K，那么PB∶DB＝2∶1。因为点K在BC的下方，所以点D在点B的右侧，点D的坐标为．过点K作KE⊥x轴于E．设点K的坐标为．由，得．整理，得x2－4x＋3＝0．解得x＝1，或x＝3．所以点K的坐标为或．图2图3图4考点伸展第〔3〕题也可以这样摸索：由S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，S△PBQ＝，得S△CBK＝．如图5，过点K作x轴的垂线交BC于F．设点K的坐标为．由于点F在直线BC：上．所以点F的坐标为．所以KF＝．△CBK被KF分割为△CKF和△BKF，他们的高的和为OB＝4．所以S△CBK＝．解得x＝1，或x＝3．图5例32023年苏州市中考第29题如图1，抛物线〔b、c是常数，且c＜0〕与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．〔1〕b＝______，点B的横坐标为_______〔上述结果均用含c的代数式表示〕；〔2〕连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．①求S的取值范围；②假设△PBC的面积S为正整数，那么这样的△PBC共有_____个．图1总分值解答〔1〕b＝，点B的横坐标为－2c．〔2〕由，设E．过点E作EH⊥x轴于H．由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．所以．因此．所以．当C、D、E三点在同一直线上时，．所以．整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或〔舍去〕所以抛物线的解析式为．〔3〕①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F．直线BC的解析式为．设，那么，．所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝．因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5．综上所述，0＜S＜5．②假设△PBC的面积S为正整数，那么这样的△PBC共有11个．考点伸展点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为〔5〕，4，3，2，1，〔0〕，1，2，3，4，3，2，1，〔0〕．当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．例42023年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0,1)、B(2,0)、O(0,0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．〔1〕一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；〔2〕设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1总分值解答〔1〕△AOB绕着原点O逆时针旋转90°，点A′、B′的坐标分别为(－1,0)、(0,2)．因为抛物线与x轴交于A′(－1,0)、B(2,0)，设解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，代入B′(0,2)，得a＝1．所以该抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2．〔2〕S△A′B′O＝1．如果S四边形PB′A′B＝4S△A′B′O＝4，那么S四边形PB′OB＝3S△A′B′O＝3．如图2，作PD⊥OB，垂足为D．设点P的坐标为(x，－x2＋x＋2)．．．所以．解方程－x2＋2x＋2＝3，得x1＝x2＝1．所以点P的坐标为(1，2)．图2图3图4〔3〕如图3，四边形PB′A′B是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第〔2〕题求四边形PB′OB的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．．．所以．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P：作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE，那么点E的坐标为(1，2)．而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的，所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．因此点E就是要探求的点P．例52023年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点〔不与点A、B重合〕，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．〔1〕求a、b及sin∠ACP的值；〔2〕设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？假设存在，直接写出m的值；假设不存在，请说明理由．图1思路点拨1．第〔1〕题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第〔2〕题中，PD＝PCsin∠ACP，第〔1〕题已经做好了铺垫．3．△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．总分值解答〔1〕设直线与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．在Rt△AEO中，OA＝2，OE＝1，所以．所以．因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得解得，．〔2〕由，，得．所以．所以PD的最大值为．〔3〕当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，；当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．图2考点伸展第〔3〕题的思路是：△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．而，BM＝4－m．①当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，．解得．②当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，．解得．例62023年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线(x＞0)交于点B(2，1)．过点(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线(x＞0)和(x＜0)于M、N两点．〔1〕求m的值及直线l的解析式；〔2〕假设点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；〔3〕是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？假设存在，请求出所有满足条件的p的值；假设不存在，请说明理由．图1总分值解答〔1〕因为点B(2，1)在双曲线上，所以m＝2．设直线l的解析式为，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得解得所以直线l的解析式为．〔2〕由点(p＞1)的坐标可知，点P在直线上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4〔3〕△AMN和△AMP是两个同高的三角形，底边MN和MP在同一条直线上．当S△AMN＝4S△AMP时，MN＝4MP．①如图3，当M在NP上时，xM－xN＝4(xP－xM)．因此．解得或〔此时点P在x轴下方，舍去〕．此时．②如图4，当M在NP的延长线上时，xM－xN＝4(xM－xP)．因此．解得或〔此时点P在x轴下方，舍去〕．此时．考点伸展在此题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为〔1，2〕，点P的坐标为〔3，2〕．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6例72023年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点〔与端点B、C不重合〕，过点D作直线交折线OAB于点E．〔1〕记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；〔2〕当点E在线段OA上时，假设矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C图1动感体验请翻开几何画板文件名“10广州25”，挈动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA