函数的奇偶性（第二课时） （知识精讲+备课精研） 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

5.4函数的奇偶性（第二课时）课标要求素养要求1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图象的对称轴、对称中心满足的条件.1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.2.通过函数图象的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.新知探究被誉为“上海之鸟”浦东国际机场的设计是一个硕大无比展开双翅的海鸥，它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，一些函数的图象也有着如此美妙的对称性.问题这种对称性体现了函数的什么性质？提示函数的奇偶性.奇函数、偶函数性质(1)奇函数的图象关于______对称，若函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数.偶函数的图象关于______对称，若函数的图象关于y轴对称，则该函数是偶函数.(2)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为________

(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性______.(3)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为________

(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性______.原点y轴增函数相同减函数相反基础自测[判断题]1.若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).(

)3.若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最大值－M.(

)

提示

奇函数的图象关于原点对称，在[a，b]上有最大值M，则在[－b，－a]上有最小值－M.√√×[基础训练]1.定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则(

) A.f(3)<f(－4)<f(－π) B.f(－π)<f(－4)<f(3) C.f(3)<f(－π)<f(－4) D.f(4)<f(－π)<f(3)解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，∴f(3)<f(π)<f(4)，即f(3)<f(－π)<f(－4).答案C2.函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝－f(x)，所以f(x)＝－x－1.答案－x－1[思考]若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数吗？提示不是偶函数，因为只有自身的图象关于y轴对称的函数才是偶函数.题型一利用奇偶性求解析式角度1求对称区间上的解析式【例1－1】

(1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________. (2)函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则f(x)＝________.解析(1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).(2)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)＝0.解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，用－x代替x，规律方法已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).【训练1】

(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式； (2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.解(1)设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.题型二奇偶性与单调性综合应用角度1比较大小【例2－1】

(1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(

)(2)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(

)A.f(π)>f(－3)>f(－2)

B.f(π)>f(－2)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－2)

D.f(π)<f(－2)<f(－3)解析(1)∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).(2)因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2).又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2).答案(1)B

(2)A角度2利用奇偶性、单调性解不等式【例2－2】

(1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围. (2)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围.解(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，所以f(x)在[－3，3]上是减函数.(2)∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，规律方法1.比较大小的方法：(1)自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；(2)自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.2.利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式(组)，同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响.(2)已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1，1)，且在区间[0，1)上为增函数.若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围.(1)解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数.∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0.故所求解集为{x|－3<x<0，或x>3}.答案

{x|－3<x<0，或x>3}(2)解因为f(a－2)＋f(3－2a)<0，所以f(a－2)<－f(3－2a)，又因为f(x)是奇函数，所以f(a－2)<f(2a－3).又因为f(x)在区间[0，1)上为增函数，所以f(x)在区间(－1，1)上为增函数.题型三奇偶性与对称性的应用【例3】若函数y＝f(x)在(0，2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则下列结论正确的是(

)解析∵y＝f(x＋2)是偶函数，∴f(2－x)＝f(2＋x)，故y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3).又f(x)在(0，2)上为增函数，∴f(x)在(2，4)上为减函数.答案

B规律方法(1)要证明函数f(x)的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x).(2)要证明函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x

，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.证明函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞).任取x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，∴f(x)的图象关于点(－1，1)对称.一、课堂小结1.结合图象的对称性，通过奇偶性的应用，提升逻辑推理素养、直观想象素养和数学抽象素养.2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.3.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).4.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等核心是转化.5.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.二、课堂检测1.若函数f(x)是R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则下列关系成立的是(

)A.f(－3)>f(0)>f(1) B.f(－3)>f(1)>f(0)C.f(1)>f(0)>f(－3) D.f(1)>f(－3)>f(0)解析∵f(－3)＝f(3)，且f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(－3)>f(1)>f(0).答案

B2.已知函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则当x<0时，f(x)的解析式是(

) A.f(x)＝－x(x＋2) B.f(x)＝x(x－2) C.f(x)＝－x(x－2) D.f(x)＝x(x＋2)解析设x<0，则－x>0，则f(－x)＝x2＋2x＝－f(x