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文档简介
2.7.2抛物线的几何性质核心素养
1.掌握抛物线的简单几何性质.(直观想象)2.了解抛物线几何性质的简单应用.(数学运算)3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.(逻辑推理)4.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(直观想象、数学运算)思维脉络激趣诱思知识点拨把抛物线沿它的对称轴旋转一周,就会形成一个抛物面.这种抛物面形状,正是我们熟悉的汽车前灯的反射镜的形状.这种形状,使得车灯既能够发射出明亮的、照射很远的平行光束,又能发射出较暗的、照射近距离的光线,这也就是汽车的远光灯和近光灯.那么它的工作原理是什么?激趣诱思知识点拨1.抛物线y2=2px(p>0)的几何性质
激趣诱思知识点拨微思考(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.激趣诱思知识点拨2.抛物线四种形式的标准方程及其性质
激趣诱思知识点拨标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点坐标准线方程顶点坐标O(0,0)离心率e=1激趣诱思知识点拨名师点析
1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的
;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.激趣诱思知识点拨微练习以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(
)A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.答案:C激趣诱思知识点拨微判断(1)抛物线关于顶点对称.(
)(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(
)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(
)答案:(1)×
(2)√
(3)√微思考怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?提示:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.探究一探究二探究三素养形成当堂检测抛物线的几何性质的应用例1(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是(
)A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2(2)如图所示,F是抛物线y2=4x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=4x及圆x2+y2-2x-3=0的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是(
)A.(4,6) B.[4,6]C.(2,4) D.[2,4]探究一探究二探究三素养形成当堂检测解析:(1)因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)由题意知抛物线y2=4x的准线为x=-1,设A,B两点的坐标分别为A(x1,y0),B(x2,y0),则|AF|=x1+1.∵B在图中圆(x-1)2+y2=4的实线部分上运动,∴1<x2<3.∴△FAB的周长为|AF|+|FB|+|BA|=(x1+1)+2+(x2-x1)=x2+3∈(4,6).答案:(1)B
(2)A探究一探究二探究三素养形成当堂检测(3)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2,求抛物线方程.解:由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴A与B关于x轴对称,探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟
研究抛物线的几何性质要从三个方面入手(1)开口:由抛物线的标准方程看图像开口,关键是看准二次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,x≥0.(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,探究一探究二探究三素养形成当堂检测直线与抛物线的关系例2(1)对于抛物线C:y2=4x,我们称满足
<4x0的点M(x0,y0)在抛物线的内部.若点M(x0,y0)在抛物线内部,则直线l:y0y=2(x+x0)与曲线C(
)A.恰有一个公共点B.恰有2个公共点C.可能有一个公共点,也可能有两个公共点D.没有公共点答案:D探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟
1.直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,无公共点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.求抛物线弦长问题的方法(1)一般弦长公式(2)焦点弦长设过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.(3)解决焦点弦问题时,应注意焦点弦的几何性质.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率等问题,注意利用根与系数的关系,设而不求,能避免繁杂的计算.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究
若例2(2)条件不变,求弦AB的中点M到y轴的距离.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2(1)过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,的值为(
)A.- B.-2C.2 D.无法确定探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x.当k为何值时,l与C只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(ⅰ)当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;(ⅱ)当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;(ⅲ)当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,当k=1或0时,l与C有一个公共点;当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;当k>1时,l与C没有公共点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测与抛物线有关的最值问题例3(1)抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是
.
解析:如图所示,设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.过点P作PM⊥l,垂足为M.则|PM|=|PF|.设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.解:方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,则点A到直线4x+3y-8=0的距离探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟
1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.探究一探究二探究三素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测易错点——因不理解抛物线的标准方程的形式而致错案例
设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-;二是得
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