优选课件：人教B版高中数学必修第四册103复数的三角形式及其运算

*10.3复数的三角形式及其运算课标阐释思维脉络1.知道复数的模和辐角的定义.2.会求复数的模和辐角主值.3.能求出复数的三角形式.4.会进行复数三角形式的乘除运算.激趣诱思知识点拨1.如图①,角θ的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角θ和r表示x,y?图①

激趣诱思知识点拨图②

激趣诱思知识点拨知识点一:复数的三角形式由下图可以看出,对于复数z=a+bi,有所以z=a+bi=(rcosθ)+(rsinθ)i=r(cosθ+isinθ).激趣诱思知识点拨一般地,任何一个非零复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中,r是复数z的模,θ是复数z的辐角.r(cosθ+isinθ)叫做非零复数z=a+bi的三角形式,为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数形式.任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地,在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值,记作argz,即0≤argz<2π.激趣诱思知识点拨微练习1激趣诱思知识点拨微练习2答案:BCD激趣诱思知识点拨微练习3已知复数:其中,是三角形式的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4激趣诱思知识点拨答案:A解析:①中,不满足模r≥0;②中,满足复数三角形式的特征;③中,不满足同一个角θ;④中,不满足i与sin

θ相乘;⑤中,不满足cos

θ与isin

θ之间用加号连接.综上可知,只有②是复数的三角形式.故选A.激趣诱思知识点拨知识点二:复数的三角形式与代数形式的互化1.复数的三角形式z=r(cosθ+isinθ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcosθ,b=rsinθ)即可.2.复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤:(3)写出复数的三角形式.激趣诱思知识点拨3.每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等,即z1=z2⇔激趣诱思知识点拨名师点析

复数三角形式的判断依据和变形步骤1.依据:三角形式的结构特征“模非负,角相同,余弦前,加号连”.2.步骤:首先确定复数z的对应点所在象限,其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.可简记为“定点→定名→定角”.激趣诱思知识点拨微思考1把一个复数表示成三角形式时,辐角θ一定要取主值吗?微思考2每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗?提示:

不一定,复数0的辐角主值有无数个,每一个不等于零的复数才有唯一的模与辐角主值.激趣诱思知识点拨微练习1两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案:A解析:当两个复数z1,z2的模与辐角分别相等时,一定可以推出z1=z2,充分性成立;但当z1=z2时,不一定非要z1,z2的辐角相等,它们可以相差2π的整数倍,故必要性不成立.综上,两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的充分不必要条件.故选A.激趣诱思知识点拨微练习2把下列复数表示成代数形式:激趣诱思知识点拨知识点三:复数三角形式的乘法及运算律1.复数三角形式的乘法若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加.激趣诱思知识点拨2.复数乘法运算的几何意义

激趣诱思知识点拨3.复数的三角形式乘法法则有如下推论(1)有限个复数相乘,结论亦成立,即z1z2…zn=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)…rn(cosθn+isinθn)=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.(3)在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ.这个公式叫做棣莫弗公式.激趣诱思知识点拨微思考1使用复数的三角形式进行运算的条件是什么,辐角要求一定是主值吗?提示:使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式,辐角不要求一定是主值.微思考2两个复数的积仍然是一个复数吗?任意多个复数的积呢?提示:

两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.激趣诱思知识点拨微练习计算下列各式,并把结果化为代数形式.激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨知识点四:复数三角形式的除法及运算律1.复数三角形式的除法运算若z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减.激趣诱思知识点拨2.复数除法运算的几何意义

激趣诱思知识点拨微练习1计算下列各式:激趣诱思知识点拨微练习2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测复数的模与辐角

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)A

(2)C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测复数的三角形式与代数形式的互化例2将下列复数化为三角形式:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练

2将下列复数化为三角形式:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测复数乘、除运算及其几何意义

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:(1)B

(2)C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测复数乘、除运算的综合应用

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:B探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测复数代数形式与三角形式转化出错典例下列复数的形式是不是三角形式,若不是,化为三角形式:(1)z1=-2(cosθ+isinθ);(2)z2=cosθ-isinθ;(3)z3=-sinθ+icosθ;(4)z4=-sinθ-icosθ;(5)z5=cos60°+isin30°.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)由“模非负”知不是三角形式.z1=2(-cos

θ-isin

θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)].(2)由“加号连”知不是三角形式.z2=cos

θ-isin

θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos

θ-isin

θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ).(3)由“余弦前”知不是三角形式.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测方法点睛1.复数的三角形式要符合z=r(cos

θ+isin

θ)(r>0).2.如果不符合即利用诱导公式转化为三角形式.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.8i÷[2(cos45°+isin45°)]=

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